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Notations et définitions
Dans tout ce problème, on considère un entier naturel \(n\) non nul.
Pour toute matrice \(M\), on note \({}^t\!M\) sa transposée.
On identifie l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\), muni de sa base canonique, à l’ensemble des matrices colonnes à \(n\) lignes ; ainsi pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) et pour tout \(i \in\{1, \ldots, n\}\), on note \(x_{i}\) sa \(i^{\text {ème }}\) coordonnée et \(x= \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\\vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\).
Pour toute matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on identifie la matrice \(M\) et l’endomorphisme \(x \mapsto Mx\) de \(\mathbb{R}^n\) ; en particulier, on notera donc : \[\mathrm{Im}(M) = \{ Mx,\ x\in \mathbb{R}^n \} \quad \text{et} \quad \mathrm{Ker}(M) = \{ x\in \mathbb{R}^n ,\ Mx=0 \}\]
On munit \(\mathbb{R}^{n}\) de son produit scalaire canonique défini par : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^n) ^2,\ \left \langle x, y \right \rangle = {}^t\!xy\] et la norme euclidienne associée est notée \(\left\| \cdot \right\|\).
On admet que l’intersection finie de deux parties fermées de \(\mathbb{R}^n\) est encore une partie fermée.
On dit qu’une partie \(P\) de \(\mathbb{R}^n\) est convexe si, pour tout \((a,b)\in P^2\), le segment \([a,b]\) est inclus dans \(P\), c’est-à-dire si : \[\forall (a,b)\in P^2,\ \forall t\in [0,1],\ ta + \left( 1-t \right) b \in P\]
On désigne par \(U\) une partie non vide de \(\mathbb{R}^{n}\). À toute fonction \(f\) continue de \(U\) dans \(\mathbb{R}\) et tout vecteur \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on associe la fonction \(F_{y}\) définie sur \(U\) par: \[\forall x\in U,\ F_y(x) = \left \langle x, y \right \rangle - f(x)\]
et on note \(U(f)\) l’ensemble, éventuellement vide, des vecteurs \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\) pour lesquels \(F_{y}\) admet un maximum. Lorsque \(U(f)\) est non vide, on appelle fonction conjuguée de \(f\) la fonction notée \(f^{*}\) définie sur \(U(f)\) par : \[f^{*}(y)=\max \left\lbrace F_{y}(x),\ x \in U \right\rbrace\]
Dans cette partie, on suppose que \(n=1\) et que \(U\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\); ainsi le produit scalaire se confond avec le produit naturel sur \(\mathbb{R}\) et la fonction \(F_{y}\) est définie sur l’intervalle \(U\) par \(F_{y}(x)=x y-f(x)\).
Quel est l’ensemble de définition de \(f^\ast\) lorsque \(U\) est un segment de \(\mathbb{R}\) ?
Quelques exemples.
Après avoir étudié les variations de \(F_{y}\), préciser \(U(f)\) et \(f^{*}\) dans les cas suivants :
\(U=\mathbb{R}\) et \(f :x \mapsto a \, \dfrac{x^{2}}{2}\) où \(a\) est un réel fixé strictement positif.
\(U=\mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(f :x \mapsto \dfrac{x^{\alpha}}{\alpha}\) où \(\alpha\) est un réel fixé strictement supérieur à \(1\) (on pourra introduire le réel \(\beta\) vérifiant : \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1\)).
\(U=\mathbb{R}\) et \(f: x\mapsto \mathrm{e}^{x}\).
Pour chacun des cas précédents, déterminer \(\left(f^{*}\right)^{*}\) ainsi que son ensemble de définition. Quel constat peut-on faire ?
Plus généralement, on suppose que \(U=\mathbb{R}\) et que \(f\) est une application de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[f'(\mathbb{R})=\mathbb{R} \quad \text{et} \quad \forall x\in\mathbb{R},\ f''(x)>0\]
Établir que \(f^{\prime}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) l’application réciproque de \(f'\).
Après avoir dressé le tableau de variations de l’application \(F_{y}\) associée à \(f\) et \(y\), montrer que \(U(f)=\mathbb{R}\) et que : \[\forall x \in \mathbb{R} ,\ f^{*}(x)=x g(x)-f(g(x))\] Justifier la dérivabilité de \(f^{*}\) et exprimer \(\left(f^{*}\right)^{\prime}\) en fonction de \(g\).
Après avoir étudié, pour tout réel \(y\), les variations de l’application \(x \mapsto x y-f^{*}(x)\), en déduire que : \[\left(f^{*}\right)^{*}=f\]
On revient aux notations du préambule. Dans toute la suite du problème, \(A\) désigne une matrice symétrique réelle d’ordre \(n\) dont toutes les valeurs propres sont strictement positives et on rappelle que : \[\forall (x, x^{\prime}) \in (\mathbb{R}^{n} )^2,\ \left \langle x, Ax' \right \rangle = \left \langle x', Ax \right \rangle\]
On suppose dans cette question que \(U=\mathbb{R}^{n}\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ f(x) = \left\| x \right\|\]
Pour tout réel \(t\) strictement positif et pour tout \(y \in \mathbb{R}^{n}\), calculer \(F_{y}(t y)\) et préciser \(\lim\limits_{t \to +\infty} F_{y}(t y)\).
Comparer les ensembles \(U(f)\) et \(\left\{y \in \mathbb{R}^{n}, \ \|y\| \leqslant 1\right\}\).
Prouver que, si \(y\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) tel que \(\left\| y \right\| \leqslant 1\), alors : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ F_{y}(x) \leqslant F_{y}(0)\]
En déduire \(U(f)\) et \(f^{*}\).
Préciser \(\left(f^{*}\right)^{*}\).
On suppose dans cette question que \(U=\mathbb{R}^{n}\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ f(x)= \frac{\left \langle x, Ax \right \rangle}{2}\]
Pour tout \(y \in \mathbb{R}^{n}\), on définit ainsi \(F_{y}\) sur \(\mathbb{R}^{n}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ F_{y}(x)= \left \langle x, y \right \rangle -\frac{\left \langle x, Ax \right \rangle}{2}\]
On note respectivement \(\lambda\) et \(\mu\) la plus petite et la plus grande des valeurs propres de \(A\). En utilisant un changement de base orthonormale, établir l’encadrement: \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \lambda \left\| x \right\|^2 \leqslant \left \langle x, Ax \right \rangle \leqslant \mu \left\| x \right\|^2\]
Pour tous vecteurs \(x\) et \(h\) de \(\mathbb{R}^{n}\), exprimer \(F_{y}(x+h)-F_{y}(x)\) en fonction de \(\left \langle h, Ah \right \rangle\) et \(\left \langle h, y-Ax \right \rangle\) et établir que : \[F_{y}(x+h)-F_{y}(x) \leqslant \left \langle h, y-Ax \right \rangle\]
Montrer que, pour tout vecteur \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\), \(F_{y}\) admet un maximum, atteint en \(x=A^{-1} y\) et préciser \(U(f)\), \(f^{*}\) et \(\left(f^{*}\right)^{*}\).
On reprend la même fonction \(f\) que dans la question précédente, mais dans cette question, on suppose que \(U\) est une partie convexe, fermée non vide de \(\mathbb{R}^{n}\). On prolonge, de façon naturelle et pour tout \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\), \(F_{y}\) à \(\mathbb{R}^{n}\) en posant : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ F_{y}(x)= \left \langle x, y \right \rangle -\frac{\left \langle x, Ax \right \rangle}{2}\]
Montrer que : \[\forall y \in \mathbb{R}^{n},\ \lim _{\|x\| \to \infty} F_{y}(x)=-\infty\]
et en déduire que, pour tout \(x_{0} \in U\), il existe \(r\) strictement positif vérifiant : \[\|x\|>r \Rightarrow F_{y}(x)<F_{y} (x_0)\]
Établir que l’ensemble \(U_{0}=U \cap\left\{x \in \mathbb{R}^{n},\|x\| \leqslant r\right\}\) est une partie fermée et bornée de \(\mathbb{R}^{n}\) et en déduire que : \(U(f)=\mathbb{R}^{n}\).
Établir, pour tous vecteurs \(x\) et \(x'\) de \(U\) et \(y \in \mathbb{R}^{n}\) : \[F_{y} \! \left(\frac{x+x^{\prime}}{2}\right)-\frac{F_{y}(x)}{2}-\frac{F_{y}(x')}{2}=\frac{ \left \langle x-x^{\prime}, A\left(x-x^{\prime}\right) \right \rangle}{8}\]
En supposant que \(x\) et \(x'\) sont deux vecteurs distincts réalisant le maximum de \(F_{y}\), montrer que : \[f^{*}(y) < F_{y} \!\left(\frac{x+x'}{2} \right)\]
établir une contradiction.
Dans toute cette partie, \(c\) désigne un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) et \(B\) une matrice carrée non nulle à \(n\) lignes et \(n\) colonnes. On note \(U\) l’ensemble des vecteurs \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifiant : \(B x=c\). On admet que \(U\) est une partie fermée de \(\mathbb{R}^n\).
Que peut-on dire de \(U\) si \(c\) n’appartient pas à \(\mathrm{Im}(B)\) ?
Dans la suite, on suppose désormais que \(c\) appartient à \(\mathrm{Im}(B)\).
Prouver que \(U\) est une partie convexe et non vide de \(\mathbb{R}^n\).
Dans la suite, on reprend la même fonction et les mêmes conventions que dans la question 7. D’après les résultats obtenus dans la partie II, on sait que pour tout \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\), \(F_{y}\) admet un maximum sur \(U\), atteint en un unique vecteur \(\overline{x}\).
L’objectif de cette partie est de donner une caractérisation de \(\overline{x}\) et d’établir un algorithme de recherche.
Vérifier que : \[\forall (x,x')\in (\mathbb{R}^n)^2,\ \left \langle x, Bx' \right \rangle = \left \langle {}^t\!Bx, x' \right \rangle\]
puis montrer que : \[\mathrm{Im}({}^t\!B) = \left[ \mathrm{Ker}(B) \right]^\perp\]
Établir, pour tout vecteur \(h\) de \(\mathrm{Ker}(B)\) et pour tout réel \(t\) : \[F_{y}(\overline{x}+t h)-F_{y}(\overline{x})=t \left \langle y-A \overline{x}, h \right \rangle -t^{2}\,\frac{ \left \langle h, A h \right \rangle}{2}\]
En déduire que \(\overline{x}\) est caractérisé par les deux conditions: \[B \overline{x}=c \quad \text{et} \quad \exists\, \overline{z} \in\mathbb{R}^n,\ y-A \overline{x}= {}^t\!B \overline{z}\]
Dans la suite, on considère donc un vecteur \(\overline{z}\) de \(\mathbb{R}^n\) tel que : \(y-A \overline{x}= {}^t\!B \overline{z}\).
On désigne par \(r\) un réel strictement positif et \(z_{0}\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) et on définit les suites \(\left(z_{p}\right)_{p \in \mathbb{N}}\) et \(\left(x_{p}\right)_{p \in \mathbb{N}}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) par: \[\forall p \in \mathbb{N},\ A x_{p}-y+ {}^t\!B z_{p}=0 \quad \text{et} \quad z_{p+1}=z_{p}+r\left(B x_{p}-c\right)\]
Montrer que les deux suites sont bien définies et qu’elles vérifient les deux relations : \[A\left(x_{p}-\overline{x}\right)= {}^t\!B\left(\bar{z}-z_{p}\right) \quad \text{et} \quad z_{p+1}-\bar{z}=z_{p}-\overline{z}+r B\left(x_{p}-\overline{x}\right)\]
Montrer que : \[\forall p \in \mathbb{N},\ \left\|z_{p+1}-\overline{z}\right\|^{2}=\left\|z_{p}-\overline{z}\right\|^{2}-2 r \left \langle x_{p}-\overline{x}, A\left(x_{p}-\overline{x}\right) \right \rangle+r^{2}\left\|B\left(x_{p}-\overline{x}\right)\right\|^{2}\]
Démontrer l’existence d’une matrice carrée d’ordre \(n\) symétrique à valeurs propres strictement positives notée \(A^{1 / 2}\) et vérifiant \(\left(A^{1 / 2}\right)^{2}=A\). On note \(A^{-1 / 2}\) la matrice inverse de \(A^{1 / 2}\).
Montrer la relation : \(\left\|B A^{-1 / 2} x\right\|^{2}= \left \langle x, A^{-1 / 2} \,{}^t\!B B A^{-1 / 2} x \right \rangle\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\).
Prouver que la matrice \(A^{-1 / 2} \,{}^t\!B B A^{-1 / 2}\) est symétrique et que sa plus grande valeur propre \(\alpha\) est strictement positive.
En déduire que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \|B x\|^{2} \leqslant \alpha \left \langle x, A x \right \rangle\]
On choisit \(r \in \left] 0, \frac{2}{\alpha} \right[\).
Montrer que : \[\left\|z_{p+1}-\overline{z}\right\|^{2}-\left\|z_{p}-\overline{z}\right\|^{2} \leqslant r(r \alpha-2) \left \langle x_{p}-\overline{x}, A\left(x_{p}-\overline{x}\right) \right \rangle \leqslant 0\]
En déduire que finalement que : \[\lim_{p\to {+\infty}} \left\| x_p - \overline{x} \right\| = 0\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
