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Soit \(a\) un nombre réel. On note \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\) l’ensemble des suites réelles définies sur \(\Bbb{N}\), et \(F\) le sous- ensemble de \(% \Bbb{R}^{\Bbb{N}}\) formé des suites \(\left( u_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) qui vérifient : \[\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+3}=3a\,u_{n+1}+\left( 1-3a\right) u_{n}\]
L’objet de ce problème est l’étude de l’ensemble \(F\).
Soit \(\left( u_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) la suite définie par ses trois premiers termes \(u_{0},\;u_{1},u_{2}\), et la relation de récurrence \[\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+3}=3\,u_{n+1}-2\,u_{n}\]
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(X_{n}= \begin{pmatrix} u_{n} \\ u_{n+1} \\ u_{n+2} \end{pmatrix}\) et on note \(M\) la matrice carrée \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}\).
Reconnaître, pour tout entier naturel \(n\), le produit \(M X_{n}\).
En déduire l’expression de \(X_{n}\) en fonction des matrices \(M\), \(X_{0}\) et de l’entier naturel \(n\).
Déterminer les valeurs propres de la matrice \(M\) et leur sous-espace propre associé.
La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?
On note \(f\) l’endomorphisme de \(\Bbb{R}^{3}\) canoniquement associé à \(M\), c’est-à-dire tel que \(M\) soit la matrice de \(f\) dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\Bbb{R}^{3}\).
Déterminer une base \(\mathcal{B}^{\prime }=\left( e_{1}^{\prime },e_{2}^{\prime },e_{3}^{\prime }\right)\) telle que la matrice \(T\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}^{\prime }\) vérifie \(T= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), et que les vecteurs \(e_{1}^{\prime },\;e_{2}^{\prime },\;e_{3}^{\prime }\) aient respectivement pour première composante \(1, 1\) et \(0\).
Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(T^{n}\).
Soit \(P\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}'\). Exprimer \(M\) en fonction de \(T\), \(P\) et \(P^{-1}\), puis \(% M^{n}\) en fonction des mêmes matrices et de l’entier naturel \(n\).
Calculer \(P^{-1}\) (les calculs devront figurer sur la copie)
Pour tout entier naturel \(n\), calculer les coefficients de la première ligne de \(M^{n}\) ; en déduire l’expression de \(u_{n}\) en fonction de \(u_{0},\;u_{1},\;u_{2}\) et de l’entier naturel \(n\).
On revient au cas général où \(a\) est un réel quelconque.
Structure de \(F\).
Démontrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N% }}\)
On considère l’application \[\varphi : \[\begin{array}[t]{|cll} F & \rightarrow & \Bbb{R}^{3} \\ \left( u_{n}\right) _{n} & \mapsto & \left( u_{0},u_{1},u_{2}\right) \end{array}\]\]
Démontrer que \(\varphi\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels ; en déduire que \(F\) est de dimension finie et préciser sa dimension.
Justifier que des suites \(\left( u_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\), \(% \left( v_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}},\) \(\left( w_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) de \(F\) forment une base de \(F\) si, et seulement si, la matrice \(\begin{pmatrix} u_{0} & v_{0} & w_{0} \\ u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \end{pmatrix}\) est inversible.
On suppose dans cette question: \(a=0\).
On note \(s,\;s^{\prime },s^{\prime \prime }\) les suites définies par :
\[s=\varphi ^{-1}\left( \left( 1,0,0\right) \right),\ s^{\prime }=\varphi ^{-1}\left( \left( 0,1,0\right) \right),\ s^{\prime \prime }=\varphi ^{-1}\left( \left( 0,0,1\right) \right)\]
Déterminer \(s,s^{\prime },s^{\prime \prime }\) (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la forme générale d’un élément de \(F\).
Reprendre la question précédente dans le cas \(a=1/3\).
Suites géométriques de \(F\).
Démontrer que la suite \(\left( r^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) appartient à \(F\) si, et seulement si, le réel \(r\) est racine de la fonction polynomiale \(p:x\mapsto x^{3}-3a x+3a-1\) (avec la convention : \(0^{0}=1\)).
Déterminer, en fonction du réel \(a\), le nombre de racines de la fonction \(p\) ainsi que leur valeur.
Cas où \(p\) admet trois racines distinctes.
Démontrer que, lorsque la fonction \(p\) admet trois racines distinctes 1, \(r_{1}\) et \(r_{2}\), les suites \(\left( 1\right) _{n\in \Bbb{N}}\), \(\left( r_{1} ^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) et \(\left( r_{2} ^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) forment une base de l’espace vectoriel \(F\).
Dans le cas où \(a=7\), exprimer, en fonction de l’entier naturel \(n\), le terme général \(u_{n}\) de la suite, appartenant à \(F\), qui vérifie: \(u_{0}=1,\;u_{1}=10,\;u_{2}=-8\).
Cas où \(p\) admet une racine double.
Soit \(r\) un nombre réel et \(\left( u_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) la suite de terme général \(nr^{n}\). Démontrer que, pour tout \(n\) de \(\Bbb{N}\): \[u_{n+3}-3a\,u_{n+1}-\left( 1-3a\right) u_{n}=r^{n}\left[ n\,p( r) +r\,p^{\prime }( r) \right]\]
En déduire que, lorsque \(p\) admet une racine double \(r_{0}\) et une racine simple \(r_{1}\) la suite \(\left( n r_{0} ^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) appartient à \(F\), et démontrer que les suites \(% \left( r_{0} ^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\), \(\left( n r_{0} ^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) et \(\left( r_{1} ^{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\) forment une base de \(F\).
Dans le cas où \(a=1/4\), exprimer le terme général \(u_{n}\) d’ un élément quelconque \((u_{n})_{n\in \Bbb{N}}\) de \(F\) en fonction de \(u_{0},\;u_{1}\) et \(u_{2}\) et de l’entier naturel \(n\) ; préciser la limite de \(\left( u_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}\).
Dans cette partie, on s’intéresse à une expérience consistant à effectuer une suite de lancers mutuellement indépendants d’un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\). On admet qu’il existe un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) permettant de modéliser cette expérience et sur lequel toutes les variables aléatoires envisagées dans cet exercice sont définies.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(X_n\) la variable aléatoire égale au numéro affiché par le dé à l’issue du \(n^{\grave{e}me}\) lancer et \(S_n\) la somme des numéros affichés lors des \(n\) premiers lancers, c’est-à-dire : \[S_n=\sum_{k=1}^n X_k.\]
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(T_k\) la variable aléatoire égale au nombre d’entiers \(n\) tels que \(S_n\) prenne une valeur inférieure ou égale à \(k\). Ainsi, si les cinq premiers lancers ont donné, dans cet ordre, \(3,1,2,3,6\), alors on a :
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(X_n\) | 3 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| \(S_n\) | 3 | 4 | 6 | 9 | 15 |
De plus, dans ce cas, les événements \([T_1=0]\), \([T_2=0]\), \([T_3=1]\), \([T_9=4]\) et \([T_{12}=4]\) sont réalisés.
On s’intéresse dans cette question à la variable aléatoire \(T_{12}\).
Donner l’ensemble \(T_{12}(\Omega)\) des valeurs prises par \(T_{12}\).
Calculer la probabilité \(\mathbb{P}(T_{12}=12)\).
Compléter le script Python suivant pour
qu’il simule l’expérience et affiche la valeur prise par \(T_{12}\) :
import numpy.random as rd
S=0; T=0;
while ..........:
X=..........
S=..........
T=..........
print('T=',T)On s’intéresse dans cette question à la variable aléatoire \(T_2\).
Déterminer la loi de \(T_2\).
Quelles sont les valeurs affichées à l’issue de l’exécution du
script Python ci-dessous ?
import numpy as np
L=np.zeros(3)
for i in range(1,7):
for j in range(1,7):
if i>2: L[0]=L[0]+1
elif i+j>2: L[1]=L[1]+1
else: L[2]=L[2]+1
print(L/36)Dans la suite de cet exercice, on considère une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes, de même loi, à valeurs dans \(\mathbb{R}^+\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose alors : \[S_n=\sum_{k=1}^n X_k\]
et on note \(F_n\) la fonction de répartition de \(S_n\).
On fixe alors un réel \(x\) strictement positif et on s’intéresse au nombre \(T_x\) des variables aléatoires \(S_n\) telles que \([Y_n \leqslant x]\) soit réalisé.
Prouver que la suite \(\left( F_n(x) \right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est monotone et convergente.
Exprimer \(\mathbb{P}(T_x=0)\) en fonction de \(F_1(x)\).
Prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(T_x=n)=F_n(x) - F_{n+1}(x).\]
En déduire l’équivalence : \[\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(T_x=n) = 1 \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}F_n(x) = 0\]
Ainsi on peut considérer que \(T_x\) est une variable aléatoire si et seulement si \(\lim\limits_{n\to+\infty}F_n(x) = 0\).
Dans cette partie, on suppose que \(X_1\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}^\ast\) et suit la loi géométrique de paramètre \(p\) (où \(p\) est un élément de \(]0,1[\)) et on note \(q=1-p\). On suppose également que \(x\) est un réel supérieur ou égal à \(1\).
Compléter le script Python suivant pour
qu’il renvoie une réalisation de la variable aléatoire \(T_x\) :
import numpy.random as rd
x=float(input('x='))
p=float(input('p='))
S=0
T=0
while ........:
X=........
S=S+X
T=T+1
print(T)Préciser \(Y_n(\Omega)\).
Déterminer la loi de \(S_2\) et celle de \(S_3\).
Montrer que : \[\forall (n,m)\in\mathbb{N}^2 \ / \ m\geqslant n,\ \sum_{k=n}^m \binom kn = \binom{m+1}{n+1}.\]
À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer alors que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {n,{+\infty}} \right[\kern-0.15em\right[,\ \mathbb{P}(S_n=k) = \binom {k-1}{n-1} q^{k-n}p^n.\]
Justifier que l’on peut considérer que \(T_x\) est une variable aléatoire et préciser \(T_x(\Omega)\).
Calculer \(\mathbb{P}(T_x=0)\).
Vérifier les égalités suivantes : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ F_n(x) = p^n \sum_{k=n}^{\left\lfloor x \right\rfloor} \binom kn q^{k-n} - qp^n \sum_{k=n+1}^{\left\lfloor x \right\rfloor} \binom {k-1}n q^{k-n-1}\] et : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ F_{n+1}(x) = p^{n+1} \sum_{k=n+1}^{\left\lfloor x \right\rfloor} \binom {k-1}n q^{k-n-1}\]
Reconnaître la loi de \(T_x\) et préciser son espérance et sa variance.
Dans cette dernière partie, les variables aléatoires \(X_n\) suivent la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) de paramètre \(\lambda>0\).
On admettra qu’alors \(Y_n\) admet pour densité la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f_n(t)=\left\{ \[\begin{array}{cc} \hfill 0 \hfill & \text { si } t<0 \\ \displaystyle \frac{\lambda^n}{(n-1)!} \,\e^{-\lambda t} t^{n-1} & \text { si } t \geqslant 0 \evg \end{array}\] \right.\]
À l’aide de la partie B, calculer \(\mathbb{P}(T_x=0)\), puis \(\mathbb{P}(T_x=n)\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
Reconnaître la loi de \(T_x\); préciser son espérance et sa variance.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.