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Notations
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
On note \(U\) l’ensemble des éléments \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) de \(\mathbb{R}^n\) vérifiant : \[x_1 < x_2 < \cdots < x_n.\]
On admet que \(U\) est une partie ouverte de \(\mathbb{R}^n\).
On considère la fonction \(F\) qui à tout élément \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) de \(U\) associe : \[F(x) = \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \ln(x_j-x_i).\]
On note \(\mathbb{R}_n[x]\) l’espace vectoriel réel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\) et on rappelle qu’un polynôme non nul est dit unitaire si son coefficient dominant (c’est-à-dire le coefficient de son monôme de plus haut degré) est égal à \(1\).
Dans cette partie uniquement, on suppose que \(n=2\). On a donc : \[U= \{ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \ / \ x < y \}\] et : \[\forall (x,y)\in U,\ F(x,y) = x^2+y^2-2\ln(y-x).\]
Établir que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\) et calculer ses dérivées partielles d’ordre \(1\) et \(2\).
Soit \((x,y)\in U\). Prouver que les valeurs propres de la matrice hessienne \(\nabla^2(F)(x,y)\) de \(F\) en \((x,y)\) sont toutes strictement positives.
Montrer que le gradient de \(F\) s’annule en un unique point \(a=(a_1,a_2)\) de \(U\), que l’on déterminera.
Prouver que \(F(a)\) est l’unique extremum local de \(F\) sur \(U\) et préciser sa nature et sa valeur.
Soit \(h=(h_1,h_2)\) un élément de \(\mathbb{R}^2\) tel que \(a+h\) appartienne à \(U\).
Montrer que, pour tout \(t\) appartenant à \([0,1]\), \(a+th\) appartient à \(U\).
Justifier que la fonction \(g:t\mapsto F(a+th)\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0,1]\) et rappeler une expression de \(g'\) et de \(g''\) à l’aide de \(F,\nabla(F)\) et \(\nabla^2(F)\).
Prouver que : \[g(1) = g(0) + g'(0) + \int_0^1 \left( 1-t\right) g''(t)\,\mathrm{d}t.\]
En déduire que \(F(a)\) est le minimum global de \(F\) sur \(U\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note, sous réserve de convergence : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_n = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\,\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x.\]
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi normale \(\mathcal{N}\!\left( 0,\dfrac{1}{2} \right)\). Donner une densité de \(X\).
Prouver que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(X\) admet un moment d’ordre \(n\) et exprimer \(\mathbb{E}(X^n)\) en fonction de \(I_n\).
En déduire la valeur des intégrales \(I_0,I_1\) et \(I_2\).
Compléter la commande Python suivant
afin qu’elle renvoie une variable X contenant
une simulation de \(1000\) variables
aléatoires \(X_1,\dots,X_{1000}\)
indépendantes et de même loi que \(X\)
:
import numpy as np import numpy.random as rd X=rd.normal(.........)
Si n désigne une variable contenant un
entier naturel non nul entrée par l’utilisateur et
X la variable créée à l’aide de l’instruction
précédente, que renvoie l’instruction
E= np.mean(X**n) ? Justifier la
réponse.
En déduire une instruction permettant de renvoyer une valeur approchée de l’intégrale \(I_n\).
À l’aide d’une intégration par parties, établir : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_{n+2} = \frac{n+1}{2}\,I_n.\]
Compléter la fonction Python suivante
pour qu’elle renvoie la valeur de l’intégrale \(I_n\) :
import numpy as np
def I(n):
if n==0:
return ..........
elif n==1:
return ..........
else:
return ..........Que vaut l’intégrale \(I_n\) si \(n\) est impair ?
Prouver que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ I_{2p} = \frac{(2p)!}{2^{2p}\,p!}\,\sqrt{\pi}.\]
Dans cette partie, on considère l’application \(\Phi\) définie sur \(\mathbb{R}_n[x]\) par : \[\forall P \in \mathbb{R}_n[x],\ \Phi(P) = 2XP' - P''.\]
Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Écrire la matrice représentative \(M\) de \(\Phi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Déterminer les valeurs propres de \(\Phi\) et montrer que \(\Phi\) est diagonalisable.
Prouver que, pour tout entier \(p\) appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe un unique polynôme unitaire \(H_p\) appartenant à \(\mathbb{R}_n[x]\) et vérifiant : \[H_p'' - 2XH_p' + 2pH_p=0.\]
Montrer que, pour tout \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), le polynôme \(H_p\) est de degré \(p\).
Expliciter les polynômes \(H_0,H_1,H_2\) et \(H_3\).
Déterminer le coefficient de \(X^{p-1}\) (si \(1\leqslant p \leqslant n\)) et celui de \(X^{p-2}\) (si \(2\leqslant p \leqslant n\)) dans l’expression du polynôme \(H_p\).
Prouver que, pour tout couple \((P,Q)\) d’éléments de \(\mathbb{R}_n[x]\), l’intégrale \(\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}P(x) Q(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) est absolument convergente. Dans la suite, cette intégrale est notée \(\left \langle P, Q \right \rangle\).
Prouver que l’application \((P,Q)\mapsto \left \langle P, Q \right \rangle\) définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[x]\).
En appliquant la méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille \((1,X,X^2)\), déterminer une base orthonormale \((G_0,G_1,G_2)\) de \(\mathbb{R}_2[x]\).
Calculer la norme des polynômes \(H_0,H_1\) et \(H_2\). Que constate-t-on ?
Pour tout \(P\in\mathbb{R}_n[x]\), calculer la dérivée de la fonction \(x\mapsto P'(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}\) puis prouver que : \[\forall (P,Q) \in (\mathbb{R}_n[x])^2,\ \left \langle \Phi(P), Q \right \rangle = \left \langle P', Q' \right \rangle = \left \langle P, \Phi(Q) \right \rangle \tag{1}\]
En déduire que \((H_0,H_1,\dots,H_n)\) est une base orthogonale de \(\mathbb{R}_n[x]\) pour \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
Démontrer que : \[\forall p\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \forall Q\in \mathbb{R}_{p-1}[x],\ \left \langle H_p, Q \right \rangle = 0.\]
Dans cette question, \(p\) désigne un entier appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
En remarquant que \(\left \langle H_p, H_0 \right \rangle=0\), prouver que le polynôme \(H_p\) s’annule au moins une fois sur \(\mathbb{R}\) en changeant de signe. On note alors \(m\) le nombre de racines réelles de \(H_p\) en lesquelles \(H_p\) change de signe et on note \(a_1,a_2,\dots,a_m\) ces racines et on note : \[P_m(X)= \prod_{k=1}^m (X-a_k) = (X-a_1)(X-a_2) \cdots (X-a_m).\]
On suppose que \(m\) est strictement inférieur à \(p\). En remarquant que \(\left \langle H_p, P_m \right \rangle=0\), établir une contradiction.
Prouver finalement que \(H_p\) admet exactement \(p\) racines, toutes réelles et simples.
Soit \(p\) un entier appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On note \(D_p\) la droite vectorielle de \(\mathbb{R}_p[x]\) orthogonale à \(\mathbb{R}_{p-1}[x]\).
Justifier que : \[D_p = \mathrm{Vect}(H_p).\]
En déduire que \(X^p-H_p\) est le projeté orthogonal de \(X^p\) sur \(\mathbb{R}_{p-1}[x]\).
En remarquant que \((H_0,H_1,\dots, H_{p-1})\) est une base orthogonale de \(\mathbb{R}_{p-1}[x]\), prouver alors que : \[H_p = X^p - \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\left \langle X^p, H_k \right \rangle}{\left\| H_k \right\|^2}\, H_k.\]
Soit \(p\) un entier appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
On suppose que \(p\) est supérieur ou égal à \(3\). Prouver que : \[\forall Q \in \mathbb{R}_{p-3}[x],\ \left \langle XH_{p-1}, Q \right \rangle = 0 \quad\text{et}\quad\left \langle H_p - XH_{p-1}, Q \right \rangle = 0.\]
Exprimer le polynôme \(H_p - XH_{p-1}\) dans la base \((H_0,H_1,\dots,H_n)\) puis en déduire : \[2H_p - 2XH_{p-1} + (p-1)H_{p-2} = 0. \tag{2}\]
En déduire que : \[\forall p\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ H_{p}(0)=(-1)^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor}\, \frac{I_{p}}{\sqrt{\pi} }.\]
Soit \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Prouver que : \[\forall Q\in \mathbb{R}_{p-2}[x],\ \left \langle H_p', Q \right \rangle = 0.\]
En déduire que, pour tout \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \[H_p'=pH_{p-1}. \tag{3}\]
En langage Python, un polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) peut être représenté par un vecteur
ligne P de longueur \(n+1\) tel que, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n}
\right]\kern-0.15em\right]\), P(k) soit
le coefficient du monôme de degré \(k\)
de \(P\). Par exemple, le vecteur
[1,2,0,-3] représente le polynôme \(1+2X-3X^3\).
On rappelle que la commande np.size(X)
permet de renvoyer le nombre de coefficients d’un vecteur
X. Par exemple, si
X=[-1,1,0,7], alors l’instruction
np.size(X) renvoie la valeur \(4\).
On précise enfin que, dans la bibliothèque
numpy, on dispose d’une fonction permettant de
concaténer deux tableaux. Ainsi, si x et
y sont des variables contenant des vecteurs
unidimensionnels \((x_1,\dots,x_p)\) et
\((y_1,\dots,y_q)\), la commande
np.concatenate((x,y)) renvoie le vecteur
obtenu par concaténation de x et
y, c’est-à-dire le vecteur \((x_1,\dots,x_p,y_1,\dots,y_q)\).
On suppose que les coefficients de la variable
A sont \(a_0,a_1,
\dots,a_{r-1}\), c’est-à-dire que : \[A=\displaystyle\sum_{k=0}^{r-1} a_kX^{k}\]
Que contient la variable Q après l’exécution
de la commande suivante ?
Q=np.concatenate(([0],A/np.arange(1,r+1)))
En utilisant la fonction I de la
question 5, compléter la fonction Python
suivante pour qu’elle renvoie les coefficients du polynôme \(H_n\) :
import numpy as np
def H(n):
A=np.array([1])
for k in range(1,n+1):
r=np.size(A)
A=k*np.concatenate(([0],A/np.arange(1,r+1)))
A[0]=...............
return A
Soit \(a=(a_1,\dots,a_n)\) un élément de \(U\). On définit le polynôme \(P_a\) par : \[P_a(X) = \prod_{k=1}^n (X-a_k) = (X-a_1)(X-a_2)\cdots (X-a_n).\]
Prouver que, pour tout réel \(x\) distinct de \(a_1,a_2,\dots,a_n\), on a : \[\frac{P_a'(x)}{P_a(x)} = \sum_{j=1}^n \frac{1}{x-a_j}.\]
En déduire, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la limite de \(\displaystyle\frac{P_a'(x)}{P_a(x)} - \frac{1}{x-a_i}\) lorsque \(x\) tend vers \(a_i\).
Déterminer le développement limité à l’ordre \(2\) en \(0\) des fonctions suivantes : \[f:t\mapsto t\, P_a'(a_i+t) - P_a(a_i+t) \quad\text{et}\quad g:t \mapsto t \,P_a(a_i+t).\]
En déduire que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^n \frac{1}{a_i-a_j} = \frac{P_a''(a_i)}{2P_a'(a_i)}.\]
Justifier que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\) et déterminer ses dérivées partielles d’ordre \(1\).
Soit \(a=(a_1,\dots,a_n)\) un élément de \(U\). On suppose que \(a\) est un point critique de \(F\).
Prouver que \(2XP_a' - P_a''\) admet pour racines \(a_1,\dots,a_n\).
En déduire qu’il existe un réel \(\lambda\) tel que : \[2XP_a' - P_a'' = \lambda P_a.\]
Comparer \(P_a\) et \(H_n\).
Prouver que \(F\) admet un unique point critique \(a\) sur \(U\).
Montrer que, si \(x\) et \(y\) appartiennent à \(U\), alors \(tx + \left( 1-t \right) y\) appartient aussi à \(U\) pour tout \(t\in [0,1]\).
On dit qu’une fonction \(f\) définie sur \(U\) est convexe si elle vérifie : \[\forall (x,y)\in U^2,\ \forall t\in [0,1],\ f( tx + \left( 1-t \right) y ) \leqslant tf(x) + \left( 1-t \right) f(y).\]
Montrer que la fonction \(z \mapsto z^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
En déduire que, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la fonction \(x=(x_1,\dots,x_n) \mapsto x_i^2\) est convexe sur \(U\).
Montrer que la fonction \(z\mapsto -\ln(z)\) est convexe sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
En déduire que, pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i<j\), la fonction \(x=(x_1,\dots,x_n) \mapsto -\ln(x_j-x_i)\) est convexe sur \(U\).
Établir finalement que \(F\) est convexe sur \(U\).
On désigne par \(a\) le point critique de \(F\) et \(x\) un élément de \(U\). On pose alors : \[\forall t\in [0,1],\ \psi(t) = F(tx + \left( 1-t \right) a) = F(a+ t\left( x-a \right)).\]
Justifier que \(\psi'(0)=0\).
Établir : \[\forall t\in \left] 0,1\right],\ \frac{\psi(t) - \psi(0)}{t} \leqslant F(x) - F(a).\]
En déduire que \(F(a)\) est le minimum global de \(F\) sur \(U\).
On suppose dans cette question que \(n\) est supérieur ou égal à \(3\) et, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(y_1^{(k)},\dots,y_{k}^k\) les racines de \(H_{k}\).
En utilisant (2), établir les relations suivantes : \[\left| \prod_{i=1}^{n-1} H_n(y_i^{(n-1)}) \right| = \left( \frac{n-1}{2} \right)^{n-1} \left| \prod_{i=1}^{n-2} H_{n-1}(y_i^{(n-2)}) \right|\]
et : \[\left| \prod_{i=1}^{n-1} H_n(y_i^{(n-1)}) \right| = \frac{1^1 \times 2^2 \times 3^3 \times \cdots \times (n-1)^{n-1}}{2^{\frac{n \left( n-1 \right)}{2}}}.\]
Prouver que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \left| H_n'(a_i) \right| = \left| \prod_{\substack{ j=1 \\ j \neq i}} (a_j-a_i) \right|\]
et évaluer \(p_n= \displaystyle\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_j-a_i)\) en fonction de \(\displaystyle\prod_{i=1}^n H_n'(a_i)\).
En utilisant (3), prouver que : \[p_n^2 = n^n \left| \prod_{i=1}^{n-1} H_n(y_i^{(n-1)}) \right|.\]
En déduire une expression de \(p_n\) en fonction de \(n\).
Exprimer les coefficients des monômes de degrés \(n-1\) et \(n-2\) de \(H_n\) en fonction de \(a_1,\dots,a_n\) puis en déduire les valeurs des sommes suivantes: \[\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} a_i,\quad \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_ia_j \quad\text{et}\quad\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} a_i^2.\]
En déduire finalement la valeur du minimum \(F(a)\) de \(F\) sur \(U\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.