ESSEC 2001 Maths 1Maths approfondies

Le but de ce problème est d’étudier la convergence de la série de terme général \(\sum \dfrac{1}{n^2}\), c’est-à-dire la convergence de la suite \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) définie par : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ S_n=\sum_{p=1}^n \frac{1}{p^2}.\]

Dans la première partie, on prouve la convergence et on détermine la somme \(S\) de cette série. Dans les deuxième et troisième parties, on explicite deux méthodes indépendantes permettant d’accélérer la convergence de la suite \((S_{n})_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) vers \(S\).

Partie I

1. 1. Prouver que : \[\forall p\in\mathbb{N}\ / \ p\geqslant 2,\ \frac{1}{p^2}\leqslant \frac{1}{p-1}-\frac{1}{p}.\]

   2. En déduire la convergence de la série de terme général \(\dfrac{1}{p^2}\) et déterminer un majorant de sa somme \(S\).

2. On considère les suites \((I_p)_{p\in\mathbb{N}}\) et \((J_p)_{p\in\mathbb{N}}\) définies par : \[\forall p\in\mathbb{N},\ I_{p}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p}(t)\,\mathrm{d}t \quad\text{et}\quad J_{p}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t^2\cos^{2p}(t)\,\mathrm{d}t.\]

   1. Démontrer que : \[\forall t\in\left[ 0,\frac{\pi}{2}\right],\ t\leqslant \frac{\pi}{2} \sin t.\]

   2. Prouver que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ 0\leqslant J_{p}\leqslant \frac{\pi^2}{4}(I_{p}-I_{p+1}).\]

   3. Pour tout \(p\in\mathbb{N}\), déterminer une expression de \(I_{p+1}\) en fonction de \(I_{p}\). Indication : on pourra procéder à une intégration par parties.

   4. En déduire finalement que : \[\lim_{p\to +\infty} \frac{J_p}{I_p}=0.\]

3. 1. Calculer \(J_{0}\) et \(I_{0}\).

   2. Pour tout \(p\in \mathbb{N}^\ast\), déterminer une expression de \(I_{p}\) en fonction de \(J_{p}\) et \(J_{p-1}\).

   3. En déduire que : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ \frac{J_{p-1}}{I_{p-1}}-\frac{J_{p}}{I_{p}}=\dfrac{1}{2p^2}.\]

   4. Déterminer finalement la valeur de \(S=\displaystyle\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{1}{p^2}\).

Partie II

On accélère ici la convergence de la suite \((S_{n})_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) vers sa limite \(S\) par une méthode due à Stirling. Pour cela, on désigne par :

• \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \(\mathbb{R}_+^\ast\) dans \(\mathbb{R}\) et de limite nulle en \(+\infty\),

• \((f_{k})_{k\in\mathbb{N}}\) la suite de fonctions appartenant à \(E\) et définies par : \[f_{0}(x)=\dfrac{1}{x} \quad\text{et}\quad \forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f_{k}(x)=\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+k)},\]

• \(\Delta\) l’application qui à toute fonction \(f\) de \(E\) associe la fonction \(\Delta( f)\) définie pour \(x>0\) par \[\forall x\in \mathbb{R}_+^\ast,\ \Delta(f)(x)= f(x+1)-f(x).\]

1. 1. Prouver que \(\Delta\) est un endomorphisme de \(E\).

   2. Montrer que, pour toute fonction \(f\) appartenant à \(E\), la série \(\sum\Delta (f)(p)\) converge et calculer, pour tout entier naturel \(n\), les sommes suivantes: \[\sum\limits_{p=1}^{+\infty}\Delta (f)(p) \quad\text{et}\quad \sum\limits_{p=n+1}^{+\infty}\Delta (f)(p).\]

   3. Pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), exprimer \(\Delta (f_{k-1})\) en fonction de \(k\) et de \(f_{k}\).

   4. Établir, pour tout entier naturel \(k\) non nul, la convergence de la série \(\sum f_{k}(p)\) et vérifier que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \sum\limits_{p=n+1}^{+\infty}f_{k}(p)=\dfrac{1}{k}\times \dfrac{1}{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}.\]

2. 1. Démontrer que : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall q\in\mathbb{N}^\ast,\ \dfrac{1}{p^2}-\sum\limits_{k=1}^q(k-1)!\,f_{k}(p)=\frac{q!}{p}\,f_{q}(p).\]

   2. En déduire que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall q\in\mathbb{N}^\ast,\ 0\leqslant \sum\limits_{p=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{p^2}-\sum\limits_{k=1}^q\frac{(k-1)!}{k(n+1)\cdots(n+k)}\leqslant \frac{(q-1)!}{(n+1)^2(n+2)\cdots(n+q)}.\]

   3. En déduire finalement, \(q\) étant un entier naturel non nul fixé, une suite \((S'_{n})_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de nombres rationnels telle que: \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ 0\leqslant \frac{\pi^2}{6}-S'_{n}\leqslant \frac{(q-1)!}{(n+1)^2(n+2)\cdots(n+q)}.\]

   4. Expliciter la suite \((S'_{n})_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et l’inégalité précédente lorsque \(q=2\).

Partie III

On accélère ici la convergence de la suite \((S_{n})_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) vers sa limite \(S\) en effectuant un développement asymptotique de \(S_{n}\) suivant les puissances de \(\dfrac{1}{n}\).

1. 1. Prouver qu’il existe une unique suite de réels \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) telle que : \[u_0=1 \quad\text{et}\quad \forall n\geqslant 2,\ \sum\limits_{p=1}^n\frac{u_{n-p}}{p!}=0\]

   2. Établir que, les termes de la suite \(u\) sont rationnels et déterminer \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\), \(u_{4}\).

2. On considère la suite de polynômes \((U_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) définie par: \[U_{0}(X)=1 \quad\text{et}\quad \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ U_{n}(X)=\sum\limits_{p=0}^n\frac{u_{n-p}\,X^p}{p!}.\]

   1. Préciser \(U_{1}\), \(U_{2}\), \(U_{3}\), \(U_{4}\).

   2. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ U'_{n}=U_{n-1}.\]

   3. Prouver que : \[\forall n\geqslant 2,\ U_{n}(0) = U_{n}(1).\]

3. On considère une suite de polynômes \((V_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) vérifiant :

   • \(V_{0}=1\),

   • \(\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ V'_{n}= V_{n-1}\),

   • \(\forall n\geqslant 2,\ V_{n}(0)=V_{n}(1)\).

   1. Prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall p\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ V_{n}^{(p)}(0)=V_{n-p}(0).\]

   2. En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ ,\ V_{n}(X)=\sum\limits_{p=0}^n\frac{V_{n-p}(0)\,X^p}{p!}.\]

   3. Démontrer que : \[\forall n\geqslant 2,\ \sum\limits_{p=1}^n\frac{V_{n-p}(0)}{p!}=0.\]

   4. En déduire finalement que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ V_n=U_n.\]

4. 1. Prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ U_{n}(X)= (-1)^nU_{n}(1-X).\]

   2. Que peut-on en déduire quant à la représentation graphique de la fonction polynôme \(x\mapsto U_n(x)\) dans un repère orthonormé ?

   3. Calculer alors \(u_{2p+1}\) pour tout \(p\in\mathbb{N}^\ast\).

5. 1. Soit \(p\in\mathbb{N}^\ast\). Démontrer que, pour tout \(q\in\mathbb{N}^\ast\) : \[\begin{gathered} \int_{0}^1\frac{\mathrm{d}x}{(x+p)^2}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\right]+ \sum\limits_{k=1}^q(2k)!\,u_{2k}\left[\dfrac{1}{p^{2k+1}}-\dfrac{1}{(p+1)^{2k+1}}\right]\\= (2q+2)!\int_{0}^1\frac{U_{2q+1}(x)}{(x+p)^{2q+3}}\,\mathrm{d}x. \end{gathered}\]

   2. En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall q\in\mathbb{N}^\ast,\ \left| \sum\limits_{p=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n^2}-\sum\limits_{k=1}^q\frac{(2k)!\,u_{2k}}{n^{2k+1}} \right| \leqslant \frac{(2q+1)!\,M_{2q+1}}{n^{2q+2}}\] où \(M_{2q+1}\) désigne le maximum de la fonction continue \(x\mapsto\left| U_{2q+1}(x) \right|\) sur le segment \([0,1]\).

   3. En déduire, \(q\) étant un entier naturel non nul fixé, une suite \((S''_{n})_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de nombres rationnels telle que: \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| \frac{\pi^2}{6}-S''_{n} \right|\leqslant \frac{(2q+1)!M_{2q+1}}{n^{2q+2}}.\]

   4. Expliciter \(S''_{n}\) et l’inégalité précédente lorsque \(q=2\).

   5. Écrire en Python un algorithme calculant et affichant \(S''_{n}\) pour \(q = 2\) lorsque \(n\) est donné.