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L’objectif de ce problème est l’étude de la modélisation de l’accroissement d’une population, tant par les naissances que par l’immigration.
Cette étude est effectuée dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on établit des résultats préliminaires.
Étude des séries dérivées de la série géométrique.
Dans toute cette question, on désigne par \(x\) un nombre réel \(x\) tel que \(0 \leqslant x<1\).
Calculer pour tout nombre entier naturel \(n\) les deux sommes suivantes: \[\sum_{k=0}^n x^k \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^n k x^{k-1}\]
Que valent les limites respectives de \(x^n\), de \(n x^n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ? Retrouver ainsi la nature et la somme de la série \(\sum x^n\) ainsi que celles de la séries \(\sum n x^{n-1}\).
On admet qu’il est licite, pour \(0 \leqslant x<1\), de dériver \(k\) fois terme à terme l’égalité : \[\sum_{m=0}^{+\infty} x^m=\frac{1}{1-x}\]
autrement dit que pour tout \(k \in \mathbb{N}\), la série \(\displaystyle \sum_{n \geqslant k} n \left( n-1 \right) \cdots \left( n-k+1 \right) x^{n-k}\) est convergente et que, si \(f\) désigne la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\) : \[\tag{$R$} \sum_{m=k}^{+\infty} m \left( m-1 \right) \cdots \left( m-k+1 \right) x^{m-k}= f^{(k)}(x)\]
Exprimer ainsi \(\dfrac{1}{(1-x)^3}\) sous la forme de la somme d’une série.
Expliciter la dérivée \(k^{\grave{e}me}\) de la fonction \(f : x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\).
En effectuant dans la relation \((R)\) le changement d’indice \(n=m-k\), déduire de ces résultats l’existence et la valeur de la somme \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n+k}k x^n\) en fonction de \(k\) et \(x\).
Application à l’étude de la loi binomiale négative.
On considère une suite d’épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, chacune menant au succès avec la probabilité \(p\) (\(0<p<1\)).
Pour tout nombre entier \(k \geqslant 1\), on désigne par \(X_{k}\) la variable aléatoire indiquant le numéro de l’épreuve où intervient le \(k^{\grave{e}me}\) succès si celui-ci arrive et prenant la valeur \(0\) s’il n’y a pas de \(k^{\grave{e}me}\) succès.
On suppose \(k=1\). Préciser la loi de \(X_{1}\), la probabilité \(\mathbb{P}(X_{1}=n+1)\) pour tout nombre entier naturel \(n\) et l’espérance \(\mathbb{E}(X_{1})\) de la variable aléatoire \(X_{1}\).
Dans cette question, on suppose que \(k\) est supérieur ou égal à \(2\).
Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), déterminer la probabilité d’obtenir \(k-1\) succès en \(n+k-1\) épreuves, puis en déduire la probabilité \(\mathbb{P}(X_{k}=n+k)\).
Vérifier alors, à l’aide des résultats précédents, que : \[\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}( X_k = n+k) = 1\]
Que vaut \(\mathbb{P}(X_k=0)\) ?
On dit que la variable aléatoire \(X_{k}\) suit la loi binomiale négative de paramètres \(p\) et \(k\).
Calculer l’espérance \(\mathbb{E}(X_{k})\) de la variable aléatoire \(X_{k}\) en fonction de \(p\) et \(k\). Comment peut-on interpréter ce dernier résultat?
On étudie dans cette partie la croissance d’une population au cours du temps. À cet effet, on introduit pour tout nombre réel positif \(t\) la variable aléatoire \(X(t)\) indiquant le nombre des individus de la population à l’instant \(t\), et l’on suppose que l’on a \(X(0)=k\), autrement dit que la population compte \(k\) individus \((k \geqslant 0)\) à l’instant initial \(t=0\).
Croissance de la population par les naissances \((k>0)\).
On suppose dans cette question qu’il existe un nombre réel strictement positif \(\lambda\) tel que l’on ait, pour tout couple \((t, h)\) de nombres positifs avec \(h>0\) et pour tout nombre entier naturel \(n\) :
\(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)<n+k)=0\)
\(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)=n+k+1)=\lambda \left( n+k \right) h+h \, \varepsilon_{n}^{\prime}(h)\)
\(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)>n+k+1)=h \, \varepsilon^{\prime \prime}_{n}(h)\)
où \(h \mapsto \varepsilon_{n}^{\prime}(h)\) et \(h \mapsto \varepsilon_{n}^{\prime \prime}(h)\) désignent deux fonctions de la variable \(h\) (indépendantes de \(t\) ) tendant vers 0 lorsque \(h\) tend vers 0.
Ces hypothèses signifient que la population ne peut pas diminuer, que la probabilité pour qu’une naissance se produise pendant une courte durée \(h\) est proportionnelle à cette durée \(h\) et au nombre \(n+k\) des individus présents à l’instant \(t\), et qu’enfin la probabilité pour que plusieurs naissances se produisent pendant une courte durée \(h\) est négligeable devant la probabilité d’une seule naissance.
Préciser, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)=n+k )\).
Établir à l’aide de la formule des probabilités totales le résultat suivant: \[\mathbb{P}(X(t+h)=k)= \left( 1-\lambda k h \right) \mathbb{P}(X(t)=k)+h \, \varepsilon_{0}(h)\]
où \(h \mapsto \varepsilon_{0}(h)\) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque \(h\) tend vers 0.
En déduire que la fonction \(p_k\) définie par \(p_{k}(t)=\mathbb{P}(X(t)=k)\) est dérivable à droite sur \(\mathbb{R}_+\) et que l’expression de sa dérivée à droite en \(t\) est: \[p_{k}^{\prime}(t)=-\lambda k \, p_{k}(t)\]
On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction \(p_{k}\).
En déduire l’expression de \(p_{k}(t)\) en fonction de \(k\), \(\lambda\) et \(t\).
Établir le résultat suivant pour \(n \geqslant 1\) : \[\begin{gathered} \mathbb{P}(X(t+h)=n+k) = \left( 1-\lambda \left( n+k \right) h \right) \mathbb{P}(X(t)=n+k) \\+\lambda \left( n+k-1 \right) h \, \mathbb{P}(X(t)=n+k-1)+h \, \varepsilon_{n}(h) \end{gathered}\]
où \(h \mapsto \varepsilon_{n}(h)\) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque \(h\) tend vers 0.
En déduire que, pour tout \(n \in\mathbb{N}\), la fonction \(p_{n+k}\) définie par \(p_{n+k}(t)=\mathbb{P}(X(t)=n+k)\) est dérivable à droite sur \(\mathbb{R}_+\) pour \(k\geqslant 1\) et que l’expression de sa dérivée à droite en \(t\) est: \[p_{n+k}^{\prime}(t)=-\lambda \left( n+k \right) p_{n+k}(t)+\lambda \left(n+k-1 \right) p_{n+k-1}(t)\]
On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction \(p_{n+k}\).
Dériver la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(t \mapsto \exp (\lambda \left( n+k \right) t) \, p_{n+k}(t)\) et en déduire par récurrence sur \(n\) le résultat suivant: \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall t \in \mathbb{R}_+,\ p_{n+k}(t)= \mathbb{P}(X(t)=n+k)=\binom{n+k-1}{k-1} \mathrm{e}^{-\lambda k t}\left(1- \mathrm{e}^{-\lambda t}\right)^{n}\]
Reconnaître la loi de la variable aléatoire \(X(t)\) et déterminer son espérance \(\mathbb{E}(X(t))\) en fonction de \(\lambda, k\) et \(t\).
Croissance de la population par l’immigration.
On suppose dans cette question qu’il existe un nombre réel strictement positif \(\mu\) tel que l’on ait pour tout couple \((t, h)\) de nombres positifs avec \(h>0\) et pour tout nombre entier naturel \(n\) :
\(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)<n+k)=0\)
\(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)=n+k+1)=\mu h +h \, \varepsilon_{n}^{\prime}(h)\)
\(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)>n+k+1)=h \, \varepsilon^{\prime \prime}_{n}(h)\)
où \(h \mapsto \varepsilon_{n}^{\prime}(h)\) et \(h \mapsto \varepsilon^{\prime \prime}(h)\) désignent deux fonctions de la variable \(h\) (indépendantes de \(t\) ) tendant vers 0 lorsque \(h\) tend vers 0.
Ces hypothèses signifient que la population ne peut pas diminuer, que la probabilité d’arrivée d’un immigré pendant une courte durée \(h\) est proportionnelle à cette durée \(h\) (mais indépendante du nombre \(n+k\) des individus déjà présents à l’instant \(t\)), et qu’enfin la probabilité d’arrivée de plusieurs immigrés pendant une courte durée \(h\) est négligeable devant la probabilité d’arrivée d’un seul immigré.
Préciser, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[X(t)=n+k]}(X(t+h)=n+k )\).
Établir à l’aide de la formule des probabilités totales le résultat suivant: \[\mathbb{P}(X(t+h)=k)= \left( 1-\mu h \right) \mathbb{P}(X(t)=k)+h \, \varepsilon_{0}(h)\]
où \(h \mapsto \varepsilon_{0}(h)\) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque \(h\) tend vers 0.
En déduire que la fonction \(q_k\) définie par \(q_{k}(t)=\mathbb{P}(X(t)=k)\) est dérivable à droite sur \(\mathbb{R}_+\) et que l’expression de sa dérivée à droite en \(t\) est: \[q_{k}^{\prime}(t)=-\mu \, q_{k}(t)\]
On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction \(q_{k}\).
En déduire l’expression de \(q_{k}(t)\) en fonction de \(\mu\) et \(t\).
Établir le résultat suivant pour \(n \geqslant 1\) : \[\mathbb{P}(X(t+h)=n+k)= \left( 1-\mu h \right) \mathbb{P}(X(t)=n+k)+\mu h \, \mathbb{P}(X(t)=n+k-1)+h \, \varepsilon_{n}(h)\]
où \(h \mapsto \varepsilon_{n}(h)\) désigne une fonction tendant vers 0 lorsque \(h\) tend vers 0.
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), la fonction \(q_{n+k}\) définie par \(q_{n+k}(t)=\mathbb{P}(X(t)=n+k)\) est dérivable à droite sur \(\mathbb{R}_+\) pour \(k \geqslant 1\) et que l’expression de sa dérivée à droite en \(t\) est: \[q_{n+k}^{\prime}(t)=-\mu \, q_{n+k}(t)+\mu \, q_{n+k-1}(t)\]
On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonction \(q_{n+k}\).
Dériver la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(t \mapsto \exp (\mu t) \, q_{n+k}(t)\) et en déduire \(q_{n+k}(t)\) pour \(n=1,2\), et \(3\), puis dans le cas général.
Reconnaître la loi de la variable aléatoire \(X(t)-k\) et donner l’espérance \(\mathbb{E}(X(t))\) en fonction de \(\mu, k\) et \(t\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet original sur la forme, mixant probabilités et développements limités notamment.
À faire absolument.