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Dans tout le problème, \(E\) désigne un espace euclidien de dimension \(p\) supérieure ou égale à \(2\). Le produit scalaire sur \(E\) est notée \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) et la norme euclidienne associée est notée \(\left\| \cdot \right\|\).
On note alors :
\({\cal L}(E)\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des endomorphismes de \(E\).
\({\cal S}(E)\) le sous-espace vectoriel de \({\cal L}(E)\) constitué des endomorphismes symétriques de \(E\).
\(T(E)\) l’ensemble des éléments \(u\) de \({\cal S}(E)\) de rang inférieur ou égal à \(1\) et qui vérifient : \[\forall x\in E,\ \left \langle u(x), x \right \rangle \geqslant 0.\]
On rappelle que :
Un vecteur unitaire de \(E\) est un vecteur \(x\) de \(E\) tel que : \(\left\| x \right\| = 1\).
Pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\), la trace de \(M\), notée \(\mathrm{Tr}(M)\), est égale à la somme des coefficients diagonaux de \(M\) et \(\mathrm{Tr}\) est une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\).
Un hyperplan de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) dont la dimension est égale à \(p-1\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)\) est une base orthonormale de \(E\) et que \(u\) est l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(J\) dont tous les coefficients sont égaux à \(1\).
Justifier que \(u\) appartient à \(T(E)\).
\(T(E)\) est-il un sous-espace vectoriel de \({\cal L}(E)\) ?
Prouver que : \[\forall (A,B) \in \left( {\cal M}_p(\mathbb{R}) \right)^2,\ {\rm Tr}(AB)={\rm Tr}(BA).\]
En déduire que deux matrices semblables ont la même trace.
Dans la suite, on appellera trace d’un endomorphisme \(f\) de \(E\) la valeur de la trace de l’une de ses matrices relativement à une base quelconque de \(E\).
Pour tout couple \((f,g)\) d’éléments de \(\mathcal{S}(E)\), on note : \[\left[ f, g \right] = \mathrm{Tr}(f\circ g).\]
Montrer que l’on a ainsi défini un produit scalaire sur \(\mathcal{S}(E)\). Dans la suite, on note \(N\) la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
Dans cette partie, on considère une matrice \(M\) appartenant à \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\), de rang égal à \(1\). On note dans cet ordre \(C_1,\dots,C_p\) les vecteurs colonnes de \(M\) et \(L_1,\dots,L_p\) ses vecteurs lignes.
Soit \(U=(u_i)_{1\leqslant i \leqslant p}\) un élément non nul de \(\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})\). On note \(A=U \, {}^t\!\, U\).
Prouver que \(A\) est une matrice symétrique réelle.
Justifier que \(A\) appartient à \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) et exprimer ses coefficients en fonction de ceux de \(U\).
Montrer que le rang de \(A\) est égal à \(1\).
Justifier l’existence d’un entier \(j_0\) et de réels \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\) tels que : \[\forall j \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ C_j = \alpha_j C_{j_0}.\]
En déduire qu’il existe deux matrices non nulles \(U\) et \(V\) de \(\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})\) telles que : \(M=U \, {}^t\!\, V\).
Exprimer \(V\) en fonction de l’une des lignes de \(M\) et de l’un des coefficients de \(U\).
On suppose dans cette question que \(M\) est une matrice symétrique (toujours de rang \(1\)) et on considère un couple \((U,V)\) d’éléments non nuls de \(\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})\) tel que : \(M=U\,{}^t\!\, V\).
Prouver que qu’il existe \(\alpha \in\mathbb{R}^\ast\) tel que : \(V=\alpha U\).
Démontrer que : \[\mathrm{Tr}(M) \neq 0.\]
On rappelle qu’en langage Python, on
peut faire des opérations algébriques sur des variables de type booléen
(c’est-à-dire des variables ne pouvant prendre que les valeurs
True pour « vrai » ou
False pour « faux ») et qu’alors
True est considéré comme \(1\) et False est
considéré comme \(0\). Par exemple
:
True+True=2
True+False=1
False+False=0
On considère le programme Python suivant (et on suppose
qu’au préalable une matrice \(M\)
carrée d’ordre \(p\) et de rang \(1\) a été stockée dans la variable
M) :
import numpy as np
def Recherche(M):
j=0
while np.sum(M[:,j]!=0)==0:
j=j+1
i=0
while .......... and .....:
i=..........
return i,j
i0,j0=Recherche(M)
U=M[:,j0:j0+1]
V=..................
print(U,V)
On suppose, dans cette question uniquement, que le vecteur
M contient la matrice suivante : \[M = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -1 & 0 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1 \\
4 & 2 & 0 & 2
\end{pmatrix}.\]
Que renvoie la commande M!=0 ? la commande
np.sum(M!=0) ?
Que contient j à l’issue de la boucle
while des lignes (4) et (5) ?
Compléter les lignes (7) à (12) pour que l’exécution de ce script renvoie des matrices colonnes \(U\) et \(V\) non nulles telles que : \(M=U\,{}^t\!\,V\).
Avec la matrice proposée dans la question 8a, est-il vrai que l’exécution du script renvoie les matrices suivantes ? \[U= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\2 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad V= \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\]
Dans cette partie, on considère un vecteur \(a\) de \(E\) et on note \(u_a\) l’endomorphisme de \(E\) défini par : \[\forall x\in E,\ u_a(x)= \left \langle x, a \right \rangle a.\]
Montrer que \(u_a\) appartient à \(T(E)\).
On suppose, dans cette question uniquement, que : \(a\neq 0\).
Justifier l’existence d’une base orthogonale \(\mathcal{B}_a\) de \(E\) constituée du vecteur \(a\) et d’une base de \({\rm Vect}(a)^\perp\) puis écrire la matrice \(M_a\) de \(u_a\) dans cette base.
Déterminer alors \({\rm Tr}(u_a)\) et \({\rm Tr}(u_a\circ u_a)\) en fonction de \(a\).
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\). Déterminer les éléments diagonaux de la matrice \(f\circ u_a\) dans la base \({\cal B}_a\) définie précédemment. Indication : on pourra utiliser les coordonnées de \(f(a)\) dans la base \(\mathcal{B}_a\).
Exprimer alors \({\rm Tr}(f\circ u_a)\) en fonction de \(a\).
Soit \(u\) un élément non nul de \(T(E)\) et \(b\) un vecteur non nul de \({\rm Im}(u)\).
Montrer que \(b\) est un vecteur propre de \(u\) associé à une valeur propre \(\mu\) positive.
Prouver que : \[\forall x\in E,\ u(x)=\frac{\mu}{ \left\| b \right\|^2}\left \langle x, b \right \rangle b.\]
En déduire que : \(\mu >0\).
Montrer finalement qu’il existe au moins un vecteur \(a\) de \(E\) tel que \(u=u_a\).
L’application \(\varphi\) de \(E\) dans \(T(E)\) qui à \(a\) associe \(u_a\) est-elle injective ? Surjective ?
On rappelle que \(N\) est la norme euclidienne associée au produit scalaire \(\left[ \cdot , \cdot \right]\) dans \(S(E)\) défini dans la partie I.
Dans cette partie, on considère un élément \(f\) fixé de \({\cal S}(E)\) et on pose : \[\forall x\in E,\ \Phi(x)=[N(f-u_x)]^2\ \makebox{ et }\ m(f)=\inf_{x\in E}\Phi(x).\]
Justifier l’existence de \(m(f)\).
Prouver que : \[\forall x\in E,\ \Phi(x)=[N(f)]^2-2 \left \langle x, f(x) \right \rangle+ \left\| x \right\|^4.\]
Justifier l’existence d’une base orthonormale \({\cal C}=(e_1,\dots,e_p)\) de \(E\) et de réels \((\lambda_i)_{1\leqslant i \leqslant p}\) vérifiant \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ f(e_i)=\lambda_i e_i \quad\text{et}\quad\lambda_1\leqslant \lambda_2\leqslant \cdots\leqslant \lambda_p.\]
Déterminer alors une expression de \(N(f)\) en fonctions des réels \(\lambda_1,\dots,\lambda_p\).
En exprimant un vecteur unitaire \(z\) de \(E\) dans la base \(\mathcal{C}\), justifier l’existence du maximum de la fonction \(z\mapsto \left \langle z, f(z) \right \rangle\) sur \(\mathcal{D} = \{z\in E \ / \ \left\| z \right\|=1 \}\) et exprimer ce maximum, noté \(\alpha\), en fonctions des réels \(\lambda_1,\dots,\lambda_p\).
Déterminer l’ensemble des vecteurs unitaires \(z\) de \(E\) tels que : \(\left \langle z, f(z) \right \rangle = \alpha\).
On suppose qu’il existe \(a\in E\) tel que : \(m(f) = \Phi(a)\). Pour tout vecteur \(y\) de \(E\) tel que \(\left\| y \right\|=1\), on note alors \(h_y\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ h_y(t) =\Phi(a+ty).\]
Soit \(y\) un vecteur unitaire de \(E\).
Montrer que \(h_y\) est une fonction polynomiale et préciser ses coefficients.
Déterminer \(h_y'(0)\) puis en déduire : \[\left \langle y, f(a) \right \rangle = \left \langle y, a \left\| a \right\|^2 \right \rangle.\]
Démontrer alors que : \[f(a)= \left\| a \right\|^2 a.\]
Prouver enfin que, pour tout réel \(t\) et tout vecteur unitaire \(y\) de \(E\) : \[\Phi(a+ty)-\Phi(a)= t^2 \left[ (t+2 \left \langle y, a \right \rangle)^2+2 \left( \left\| a \right\|^2-\left \langle y, f(y) \right \rangle \right) \right].\]
Démontrer finalement que, pour tout vecteur \(a\) de \(E\) : \[m(f)=\Phi(a) \Leftrightarrow \begin{cases} f(a)=\left\| a \right\|^2a\\ \forall y\in E \ / \ \left\| y \right\| = 1,\ \left \langle y, f(y) \right \rangle \leqslant \left\| a \right\|^2 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}.\]
On suppose, dans cette question, que : \(\lambda_p\leqslant 0\). Prouver que \(m(f)=\Phi(a)\) si et seulement si \(a=0\).
On suppose, dans cette question, que : \(\lambda_p>0\).
Démontrer que : \[m(f)=\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i^2.\]
Prouver que : \[m(f)=\Phi(x)\Leftrightarrow \begin{cases} x\in \mathrm{Ker}(f-\lambda_p \,\mathrm{id}_E)\\ \left\| x \right\|=\sqrt{\lambda_p} \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}.\]
Dans cette question, on suppose que \(f_A\) est l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à la matrice : \[A=\begin{pmatrix} -5&1&1\\1&-5&1\\1&1&-5 \end{pmatrix}.\]
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(A\).
Déterminer une matrice orthogonale \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que : \(A=PD \, {}^t\!P\).
Calculer enfin \(m(f_A)\).
Dans cette partie, on munit \(E=\mathbb{R}^p\) de sa structure euclidienne usuelle.
Un premier exemple. Soit \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant p}\) une matrice symétrique de \({\cal M}_p(\mathbb{R})\) telle que \[\begin{cases} \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ m_{i,j} > 0\\ \displaystyle\forall i\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ \sum_{j=1}^pm_{i,j}=1 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^p\) canoniquement associé à la matrice \(M\).
Prouver que \(\lambda=1\) est valeur propre de \(M\) et donner un vecteur propre associé.
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) et \(X=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant p}\) un vecteur propre associé. On note \(k\) un élément de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que : \[\left| x_k \right| = \max( \left| x_1 \right|,\dots,\left| x_p \right|).\]
Démontrer que : \[\mathrm{Sp}(M) \subset [-1,1].\]
Prouver que, si \(a_1,\dots,a_p\) sont des réels, alors \(\displaystyle\left| \sum_{i=1}^p a_i \right| = \sum_{i=1}^p \left| a_i \right|\) si et seulement si \(a_1,\dots,a_p\) sont tous de même signe.
En déduire que, si \(\left| \lambda \right| = 1\), alors \(\lambda =1\).
Prouver enfin que le sous-espace propre de \(M\) associé à la valeur propre \(1\) est de dimension \(1\).
Déterminer l’ensemble des vecteurs \(a\) de \(\mathbb{R}^p\) tels que \(\Phi(a)=m(f)\).
Prouver qu’il existe un unique endomorphisme \(u_a\) de \(T(E)\) tel que \([N(f -u_a)]^2=m(f)\) et donner sa matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^p\).
Que peut-on dire de \(u_a\) ?
Un deuxième exemple. Soit \(B\in {\cal M}_p(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent \(1\) et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^p\) canoniquement associé à \(B\).
Calculer \(m(g)\).
Donner un vecteur \(b\in \mathbb{R}^p\) tel que \([N(g-u_b)]^2=m(g)\).
Un dernier exemple. Dans cette question, on suppose que \(p\) est supérieur ou égal à \(2\) et on note \(h\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^p\) canoniquement associé à la matrice \(C\) de \({\cal M}_p(\mathbb{R})\) dont les coefficients sont tous égaux à \(1\), sauf les coefficients diagonaux, qui sont tous nuls : \[C=\begin{pmatrix} 0&1&\dots &\dots&1\\ 1&0&1&\dots&1\\ \vdots&1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&\dots&1&0 \end{pmatrix} .\]
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice \(C\).
Calculer \(m(h)\).
Donner un vecteur \(c\) de \(\mathbb{R}^p\) tel que \(\Phi(c)=m(h)\) et un endomorphisme \(v\in T(E)\) tel que \(m(h)=[N(h-v)]^2\).
Cet endomorphisme \(v\) est-il unique ?
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