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On considère dans ce problème un guichet auquel se présentent aléatoirement des clients.
L’objectif est d’étudier la file d’attente se formant à ce guichet au cours du temps, ce qui est traité dans la partie 2. Dans la partie 1, on étudie une suite récurrente utilisée ultérieurement.
On considère un nombre réel strictement positif \(a\) et la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x) = \mathrm{e}^{a(x-1)}\]
On définit alors une suite \((u_k)_{k\in\mathbb{N}}\) par son premier terme \(u_0 = 0\) et la relation:\[\forall k\in\mathbb{N},\ u_{k+1} = f(u_k)\]
Dans le préambule d’un programme
Python, on suppose avoir importé la
bibliothèque numpy à l’aide de la commande
import numpy as np.
Compléter la fonction en langage Python
suivante pour que l’appel de f(x) renvoie la
valeur de \(f(x)\) :
def f(x):
return ..........Compléter la fonction en langage Python
suivante pour que l’appel de U(n) renvoie la
valeur de \(u_n\) :
def U(n):
if n==0:
return ..........
else:
return ..........Prouver que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ 0 \leqslant u_k \leqslant 1 \quad\text{et}\quad u_k \leqslant u_{k+1}\]
En déduire que la suite \(u\) converge vers une limite que l’on notera \(L(a)\).
On suppose, dans cette question uniquement, que : \(0<a<1\).
À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, établir que: \[\forall k\in\mathbb{N},\ 0 \leqslant 1-u_{k+1} \leqslant a \left( 1-u_k \right)\]
En déduire que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ 0\leqslant 1-u_k \leqslant a^k\]
En déduire finalement la valeur de \(L(a)\) lorsque \(0<a<1\).
Justifier l’existence d’un entier naturel \(n\) tel que : \(0\leqslant 1-u_n\leqslant 10^{-2}\).
Écrire un programme en langage Python déterminant et affichant le plus petit entier naturel \(n\) tel que : \(0\leqslant 1-u_n\leqslant 10^{-2}\) pour une valeur de \(a\) appartenant à \(]0,1[\) entrée par l’utilisateur.
On suppose, dans cette question uniquement, que : \(a\geqslant 1\).
On étudie ici les racines de l’équation \(f(x)=x\) lorsque \(a\geqslant 1\).
Prouver que : \[0\leqslant 1-\frac{\ln a}{a} \leqslant 1\]
Montrer que l’équation \(f'(x)=1\) admet une unique solution, que l’on exprimera en fonction de \(a\).
En déduire les variations de la fonction \(g:x \mapsto f(x)-x\) pour \(a = 1\), puis pour \(a>1\).
Préciser dans ces deux cas le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=x\). On convient désormais de noter \(r(a)\) la plus petite racine de l’équation \(f(x)=x\). On vérifiera en particulier que \(0<r(a)<1\) pour \(a>1\), et que \(r(1)=1\).
On étudie ici la plus petite racine \(r(a)\) de l’équation \(f(x)=x\) lorsque \(a\geqslant 1\).
Étudier et représenter graphiquement la fonction \(\varphi: x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}^+\). On précisera notamment, s’il y a lieu, les éventuels points d’inflexion.
Comparer les images des nombres \(a\) et \(a\,r(a)\) par \(\varphi\).
En déduire que la fonction \(\Phi:x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}\) réalise une bijection de \([0,1]\) sur \([0,1/\mathrm{e}]\) et justifier que la fonction \(\Phi^{-1}\) est continue et préciser sa monotonie sur \([0,1/\mathrm{e}]\).
Dresser le tableau de variation de \(\Phi^{-1}\).
Prouver que \(\displaystyle r(a)=\frac{1}{a}\Phi^{-1}(a\mathrm{e}^{-a})\), puis déterminer la limite de \(r(a)\) en \(+\infty\).
On étudie maintenant la limite de la suite \((u_k)\) lorsque \(a\geqslant 1\).
Démontrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ 0 \leqslant u_k \leqslant r(a)\]
En déduire la limite \(L(a)\) de la suite \((u_k)\) pour \(a \geqslant 1\).
Écrire un programme en langage Python permettant de déterminer une valeur approchée de \(L(a)\) à \(10^{-2}\) près pour un réel \(a\) strictement supérieur à \(1\) entré par l’utilisateur.
On obtient ainsi \(L(2) = 0,20\), \(L(4) = 0,02\), etc.
Dans cette partie, le temps est supposé discrétisé et se présente donc comme une succession d’instants \(0,1,2,3,\) \(\dots,n,\dots\) et l’on considère un guichet auquel peut se présenter au plus un client dans un intervalle de temps \([n-1, n[\), c’est à dire entre deux instants consécutifs quelconques \(n-1\) et \(n\) (\(n \geqslant 1\)).
On suppose qu’un premier client est au guichet à l’instant \(0\), et, pour tout nombre entier \(n \geqslant 1\), on désigne par \(B_n\) la variable aléatoire prenant la valeur \(1\) si un client se présente au guichet entre les instants \(n-1\) et \(n\), et \(0\) sinon (et le client ainsi arrivé se place au bout de la file d’attente devant le guichet).
Ces variables aléatoires \(B_1, B_2,\dots,B_n,\dots\) sont supposées indépendantes et prennent la valeur \(1\) avec la probabilité \(p\) (où \(0<p<1\)).
On appelle durée de service d’un client au guichet le temps passé par l’employé du guichet à le servir (une fois son attente dans la file achevée).
Pour préciser, si la durée de service du premier client est égale à \(n\), le guichet est libre pour le service du client suivant à partir de l’instant \(n\). Les variables aléatoires indiquant les durées de service au guichet des clients successifs sont supposées indépendantes et suivent la même loi de Poisson de paramètre \(\lambda > 0\).
En particulier, on notera \(D\) la variable aléatoire indiquant la durée de service au guichet du client initial. \(D\) suit donc la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
On convient d’appeler première vague de clients l’ensemble de ceux arrivés au guichet pendant la durée de service du client initial, puis, de façon générale, on appelle \((k+1)^{\grave{e}me}\) vague de clients l’ensemble de ceux arrivés pendant la durée de service des clients de la \(k^{\grave{e}me}\) vague, étant entendu que, s’il n’y a pas de client de \(k^{\grave{e}me}\) ou si la durée de service des clients de la \(k^{\grave{e}me}\) vague est nulle, il n’y aura pas de client de \((k+1)^{\grave{e}me}\) vague.
On désigne alors par \(N_k\) le nombre aléatoire des clients de la \(k^{\grave{e}me}\) vague (étant entendu que l’on pose \(N_k=0\) s’il n’y a pas de client de \(k^{\grave{e}me}\) vague). Par convention, on pose \(N_0=1\).
Pour tout entier naturel \(n\), déterminer la loi conditionnelle de la variable aléatoire \(N_1\) sachant que \(D=n\). On donnera une expressions de la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[D=n]}(N_1=k)\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\).
En déduire, à l’aide de la formule des probabilités totales, que \(N_1\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda p\) et rappeler son espérance.
Dans toute la suite du problème, on convient de poser : \[\forall k\in\mathbb{N},\ q_k=\mathbb{P}(N_k =0)\]
Exprimer l’événement « la file d’attente au guichet s’achève au bout d’un temps fini » (autrement dit: « il n’y a plus personne au guichet au bout d’un temps fini ») en fonction des événements \([N_k=0]\), pour \(k \geqslant 1\).
Montrer que cette suite d’événements \((N_k=0)_{k\geqslant 1}\) est croissante, et en déduire :
que la suite \((q_k)_{k\geqslant 1} = (\mathbb{P}(N_k = 0)_{k\geqslant 1}\) converge vers une limite \(L \leqslant 1\),
que la probabilité pour que la file d’attente au guichet s’achève au bout d’un temps fini est égale à cette limite \(L\).
Justifier, pour tout couple \((j,k)\) de nombres entiers naturels, les formules: \[\mathbb{P}_{[N_1=1]}(N_{k+1}=0) = \mathbb{P}(N_k = 0) \quad\text{et}\quad\mathbb{P}_{[N_1=j]}(N_{k+1}=0)=(\mathbb{P}(N_k=0))^j\]
En déduire une expression de \(q_{k+1}=\mathbb{P}(N_{k+1}=0)\) en fonction de \(q_k\), préciser \(q_0\) et, à l’aide des résultats de la partie 1, la limite de la suite \((q_k)\) et la probabilité pour que la file d’attente au guichet s’achève au bout d’un temps fini.
On discutera et interprétera le résultat obtenu en fonction des valeurs de \(\lambda p\).
Déterminer les valeurs exactes ou approchées à \(10^{-2}\) près des probabilités pour que la file d’attente au guichet s’achève au bout d’un temps fini lorsque la durée moyenne de service d’un client au guichet est égale à \(1\), \(2\), \(4\) ou \(8\) instants tandis que la probabilité pour qu’un client se présente au guichet entre deux instants consécutifs donnés est égale à \(0,5\) d’abord, à \(0,25\) ensuite.
Soit \(k\in\mathbb{N}\). On suppose l’événement \([N_k=i]\) réalisé. Déterminer alors la loi de la durée de service de ces \(i\) clients de la \(k^{\grave{e}me}\) vague en distinguant les cas \(i=0\) et \(i \geqslant 1\).
En déduire la loi conditionnelle de la variable aléatoire \(N_{k+1}\) sachant l’événement \([N_k=i]\) et vérifier que : \[\mathbb{E}(N_{k+1}\,\vert\,N_k=i)=i\lambda p.\]
Soit \(k\in\mathbb{N}\). On suppose, dans cette question uniquement, que l’espérance \(\mathbb{E}(N_k)\) existe. À l’aide de la formule de l’espérance totale, établir que \(\mathbb{E}(N_{k+1})\) existe et que : \[\mathbb{E}(N_{k+1})=\lambda p\;\mathbb{E}(N_k).\]
En déduire que, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(N_k\) admet une espérance que l’on déterminera.
Déterminer l’espérance du nombre de clients qui se présentent au guichet jusqu’à ceux de la \(n^{\grave{e}me}\) vague incluse.
Discuter et interpréter la limite de cette espérance quand \(n\) tend vers \(+\infty\) pour \(\lambda p<1\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.