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On désigne par \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs, et l’on considère l’intégrale \(I(a, b)\) définie par: \[I(a, b)=\int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1} \, \mathrm{d}x\]
Le problème a pour objet d’exprimer cette intégrale \(I(a, b)\) à l’aide de la fonction \(\Gamma\) définie pour tout nombre réel strictement positif \(p\) par:
\[\Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \, t^{p-1} \, \mathrm{d}t\]
On étudie dans cette partie préliminaire l’intégrale impropre \(\Gamma(p)\), avec \(p>0\).
Convergence de l’intégrale \(\Gamma(p)\) avec \(p>0\).
Déterminer la limite quand \(t\) tend vers \(+\infty\) de la fonction \(t \rightarrow \mathrm{e}^{-t} \, t^{p+1}\).
En déduire la convergence de l’intégrale de la fonction \(t \rightarrow \mathrm{e}^{-t} \, t^{p-1}\) sur \([1,+\infty[\).
Établir pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \(] 0,1]\) la double inégalité:
\[0 \leqslant \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-t} \, t^{p-1} \, \mathrm{d}t\leqslant \frac{1}{p}\]
En déduire la convergence de l’intégrale de la fonction \(t \rightarrow \mathrm{e}^{-t} t^{p-1}\) sur \(] 0,1]\).
En déduire la convergence de l’intégrale \(\Gamma(p)\) pour tout nombre réel \(p>0\).
Expression de \(\Gamma(p+1)\) pour \(p\) entier naturel.
À l’aide d’une intégration par parties que l’on justifiera, exprimer \(\Gamma(p+1)\) en fonction \(\Gamma(p)\).
Calculer \(\Gamma(1)\) et en déduire \(\Gamma(p+1)\) lorsque \(p\) est un entier naturel.
On désigne dans cette partie par \(p\) un nombre réel strictement positif, par \(x\) un nombre el tel que \(0 \leqslant x<1\), et on note, sous réserve de convergence : \[g_{p}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} n^{p-1} x^{n}\]
Convergence de la série définissant \(g_{0}(x)\).
Déterminer la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(n \mapsto n^{p+1} x^{n}\) lorsque \(x\) est fixé dans \([0, 1[\).
En déduire la convergence de la série définissant \(g_{p}(x)\) lorsque \(0 \leqslant x<1\).
Que vaut \(g_{p}(0)\) ? Peut-on définir \(g_{p}(x)\) pour \(x=1\) ?
Étude des cas particuliers \(p=1\) et 2.
Donner l’expression (sans signe \(\Sigma\)) de \(g_{1}(x)\) et \(g_{2}(x)\) pour \(0 \leqslant x<1\).
Donner le sens de variation, la limite et un équivalent de \(g_{1}(x)\) et \(g_{2}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1\) (\(x<1\)).
Étude de la variation de \(g_0\) sur \([0, 1[\).
Comparer \(g_{p}(x)\) et \(g_{p}(y)\) lorsque \(0 \leqslant x \leqslant y<1\). En déduire le sens de variation de la fonction \(g_{p}\) sur \([0,1[\), et l’existence d’une limite \(L\), éventuellement égale à \(+\infty\), de \(g_{p}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1\) (\(x<1\)).
En considérant les sommes partielles de la série définissant \(g_{p}(x)\), établir l’inégalité suivante pour tout \(x\) de \([0,1 [\) et tout entier \(N \geqslant 1\) : \[g_{p}(x) \geqslant \sum_{n=1}^{N} \frac{x^{n}}{n}\]
En déduire la limite \(L\) de \(g_{p}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1\) (\(x<1)\).
On détermine maintenant un équivalent de \(g_{p}(x)\) quand \(x\) tend vers 1.
Étude du cas \(0<p \leqslant 1\).
Étudier le sens de variation sur \(] 0,+\infty[\) de la fonction \(t \mapsto t^{p-1} x^{t}=t^{p-1} \, \mathrm{e}^{t \cdot \ln (x)}\) lorsque le nombre réel \(x\) est fixé dans l’intervalle \(] 0,1[\) (et \(0<p \leqslant 1\)).
En déduire l’inégalité suivante pour tout entier naturel non nul \(n\) : \[(n+1)^{p-1} x^{n+1} \leqslant \int_{n}^{n+1} t^{p-1} x^{t} \, \mathrm{d}t\leqslant n^{p-1} x^{n}\]
En sommant ces inégalités pour \(n \geqslant 1\), puis en effectuant le changement de variable \(=-t \cdot \ln (x)\) dans l’intégrale obtenue, en déduire que, pour \(0<x<1\) : \[\int_{-\ln (x)}^{+\infty} u^{p-1} \, \mathrm{e}^{-u}\, \mathrm{d}u\leqslant |\ln (x)|^{p} \, g_{p}(x) \leqslant \int_{-\ln (x)}^{+\infty} u^{p-1} \, \mathrm{e}^{-u}\, \mathrm{d}u+x \left| \ln (x) \right|^{p}\]
En déduire la limite de \(\left| \ln(x) \right|^p g_p(x)\) quand \(x\) tend vers 1 (et \(0<p \leqslant 1\)).
En déduire que \(g_{p}(x)\) équivaut \(\dfrac{ \Gamma(p)}{(1-x)^{p} }\) quand \(x\) tend vers 1 (et \(0<p \leqslant 1\)).
Étude du cas général.
Établir la relation suivante pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \([0, 1[\) : \[\left( 1-x \right) g_{p+1}(x)=x+\sum_{n=1}^{+\infty}\left[(n+1)^{p}-n^{p}\right] x^{n+1}\]
Établir à l’aide de l’inégalité des accroissements finis l’inégalité suivante pour tout entier \(n \geqslant 1\) lorsque \(0<p \leqslant 1\) : \[p \left( n+1 \right)^{p-1} \leqslant (n+1)^{p}-n^{p} \leqslant p n^{p-1}\]
Comment celle-ci doit-elle être modifiée lorsque \(p>1\) ?
En déduire l’inégalité suivante pour \(0 \leqslant x<1\) lorsque \(0<p \leqslant 1\) : \[p \, g_{p}(x)+(1-p) x \leqslant \left( 1-x \right) g_{p+1}(x) \leqslant p x \, g_{p}(x)+x\]
Comment celle-ci doit-elle être modifiée lorsque \(p>1\) ?
On suppose à nouveau que \(p\) est un nombre réel strictement positif quelconque. Montrer que \(g_{p}(x)\) équivaut encore à \(\dfrac{ \Gamma(p)}{(1-x)^{p} }\) quand \(x\) tend vers 1.
On se propose enfin, dans cette partie, d’appliquer les résultats précédents au calcul de l’intégrale \(I(a, b)\) où a et b désignent deux réels strictement positifs.
Calcul de \(I( a, b)\) pour \(a \geqslant 2\) et \(b \geqslant 2\).
On considère une application \(h:[\alpha, \beta] \to \mathbb{R}\), de classe \(\mathcal C^{1}\), et on désigne par \(M_{1}\) le maximum de \(\left|h^{\prime}(x)\right|\) lorsque \(x\) décrit \([\alpha, \beta]\).
En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à la primitive de \(h\) s’annulant en \(\alpha\), établir: \[\left|\int_{\alpha}^{\beta} h(x) \, \mathrm{d}x- \left( \beta-\alpha \right) h(\alpha)\right| \leqslant \frac{M_{1}(\beta-\alpha)^{2}}{2}\]
On rappelle que, dans cette question, les réels a et \(b\) sont supérieurs ou égaux à 2. Établir que la fonction \(x \mapsto x^{a-1}(1-x)^{b-1}\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \([0,1]\).
En lui appliquant le résultat précédent sur chacun des segments \(\left[x_{k}, x_{k+1}\right]\) où \(x_{k}=\frac{k}{n}\) avec \(0 \leqslant k<n\), et en notant encore \(M_{1}\) le maximum de la valeur absolue de sa dérivée lorsque \(x\) décrit \([0,1]\), montrer que: \[\left|I(a, b)-u_{n}\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2 n} \quad \text { avec } \quad u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{a-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{b-1}\]
On admet le résultat suivant:
Étant données deux séries convergentes à termes réels positifs \(\sum a_{n}\) et \(\sum b_{n}\) (définis pour \(n \geqslant 1\)) et de sommes respectives \(A\) et \(B\), la série \(\sum c_{n}\) où \(c_{n}\) est défini pour \(n \geqslant 2\) par \(c_{n}=a_{1} b_{n-1}+a_{2} b_{n-2}+\ldots+a_{n-1} b_{1}\), est convergente et sa somme est \(A B\).
En déduire le résultat suivant pour \(0 \leqslant x<1\) : \[g_{a}(x) \, g_{b}(x)=\sum_{n=2}^{+\infty} u_{n} n^{a+b-1} x^{n}\]
À l’aide des résultats précédents, montrer enfin que: \[\left|g_{a}(x) \, g_{b}(x)-I(a, b) \, g_{a+b}(x)\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2} \, g_{a+b-1}(x)\]
Multiplier l’inégalité précédente par \((1-x)^{a+b}\), faire tendre \(x\) vers 1 et montrer, en utilisant l’équivalent en 1 de \(g_{p}(x)\) obtenu dans la partie II, que: \[I(a, b)=\frac{\Gamma(a) \, \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\]
Calcul de \(I(a, b)\) dans le cas général.
On étend ce résultat au cas où \(a>0\) et \(b>0\).
Prouver que l’intégrale \(I(a,b)\) est convergente.
Établir à l’aide d’un changement de variable simple que \(l(a, b)=I(b, a)\).
Prouver que \(I(a+1, b)+I(a, b+1)=I(a, b)\).
Par intégration par parties, exprimer \(l(a, b+1)\) en fonction de \(I(a+1, b)\).
En déduire \(I(a+1, b)\) en fonction de \(I(a, b)\).
En déduire que la formule obtenue précédemment pour \(I(a, b)\) reste valable lorsque \(a >0\) et \(b>0\).
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