ESSEC 1992 Maths 1Maths approfondies

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on désigne par \(E_{n}\) l’espace vectoriel sur \(A\) des applications \(f\) de classe \(\mathcal C^{n}\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) telles que \(f\) et sa dérivée \(n^{\grave{e}me}\) \(f^{(n)}\) soient bornées sur \(\mathbb{R}\). On note alors pour tout élément \(f\) de \(E_{n}\) :

\[M_{0}=\sup _{x \in \mathbb{R}}|f(x)| \quad \text { et } \quad M_{n}=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|f^{(n)}(x)\right|\]

L’objet du problème est d’établir que \(E_{n}\) est inclus dans \(E_{k}\) pour tout entier \(k\) tel que \(1 \leqslant k \leqslant n\), puis d’obtenir une majoration de \(M_{k}\) en fonction de \(M_{0}\) et \(M_{n}\).

Partie I

On suppose dans cette partie que \(n=2\) et soit \(f\) un élément de \(E_{2}\).

1. Une première majoration de \(M_{1}\).

   1. Justifier l’inégalité suivante pour tout réel \(x\) et tout réel \(h\) : \[\left|f(x+h)-f(x)-h f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M_{2} h^{2}}{2} \tag{1}\]

   2. En déduire que, pour tout réel \(x\) et tout réel \(h\) strictement positif, on a: \[\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M_{0}}{h}+\frac{M_{2} h}{2}\]

      puis en déduire que \(E_{2}\) est inclus dans \(E_{1}\).

   3. Établir que: \[M_{1} \leqslant 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}\]

      On pourra étudier les variations de la fonction \(u\) définie pour \(t>0\) par: \[u(t)=\frac{2 M_{0}}{t}+\frac{M_{2} t}{2}\]

2. Une seconde majoration de \(M_{1}\).

   1. Soit \(t\) un nombre réel strictement positif. En appliquant l’inégalité (1) avec \(h=t\), puis \(h=-t\), établir que, pour tout nombre réel \(x\) : \[\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M_{2} t}{2}+\frac{M_{0}}{t}\]

   2. En procédant comme précédemment, en déduire une nouvelle majoration de \(M_{1}\) en fonction de \(M_{0}\) et de \(M_{2}\).

Partie II

On suppose dans cette partie que l’entier \(n\) est supérieur ou égal à 2, et l’on désigne par \(f\) un élément de \(E_{n}\), par \(h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n-1}\), \(n-1\) nombres réels non nuls et deux à deux distincts, et l’on pose pour tout nombre réel \(x\) : \[\begin{pmatrix} F_{1}(x) \\ F_{2}(x) \\ \vdots \\ F_{n-1}(x) \end{pmatrix} =H_{n-1} \begin{pmatrix} f^{\prime}(x) \\ f^{\prime \prime}(x) \\ \vdots \\ f^{(n-1)}(x) \end{pmatrix} \text { avec } H_{n-1}=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{h_{1}}{1 !} & \dfrac{h_{1}^{2}}{2 !} & \cdots & \dfrac{h_{1}^{n-1}}{(n-1) !} \\ \displaystyle \frac{h_{2}}{1 !} & \dfrac{h_{2}^{2}}{2 !} & \cdots & \dfrac{h_{2}^{n-1}}{(n-1) !} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \displaystyle \frac{h_{n-1}}{1 !} & \dfrac{h_{n-1}^{2}}{2 !} & \cdots & \dfrac{h_{n-1}^{n-1}}{(n-1) !} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{pmatrix}\]

3. Inversibilité de la matrice \({H}_{n-1}\).

   1. On considère le système d’équations suivant: \[H_{n-1} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\]

      Montrer que \(x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n-1}=0\). On pourra considérer la fonction-polynôme:

      \[P(t)=\frac{x_{n-1}}{(n-1) !} \, t^{n-2}+\frac{x_{n-2}}{(n-2) !} \, t^{n-3}+\ldots+\frac{x_{2}}{2 !} \, t+x_{1}\]

   2. En déduire que la matrice \(H_{n-1}\) est inversible.

4. Les inclusions de \(E_{n}\) dans \(E_{k}\) \((1 \leqslant k \leqslant n)\).

   1. Soit \(x\in \mathbb{R}\) et \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\). En majorant \(\left|f(x+h_{k})-f(x)-F_{k}(x)\right|\) avec l’inégalité de Taylor-Lagrange, établir que: \[\left|F_{k}(x)\right| \leqslant 2 M_{0}+\frac{\left|h_{k}\right|^{n}}{n !} \, M_{n}\]

   2. En déduire l’inclusion de \(E_n\) dans \(E_k\) pour tout \(k \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).

Partie III

5. Majoration de \(M_{1}\) et \(M_{2}\) en fonction de \(M_0\) et de \(M_{3}\).

   On suppose dans cette question que \(n=3\) et soit \(f\) un élément de \(E_{3}\).

   En appliquant les résultats de la question I.2 aux fonctions \(f^{\prime}\) et \(f\), majorer \(M_{2}\) en fonction de \(M_{1}\) et de \(M_{3}\), puis \(M_{1}\) en fonction de \(M_{0}\) et de \(M_{2}\), et enfin \(M_{1}\) et \(M_{2}\) en fonction de \(M_{0}\) et de \(M_{3}\).

6. Une seconde majoration de \(M_{1}\) et \(M_{2}\) en fonction de \(M_{0}\) et de \(M_{3}\).

   On suppose dans cette question que \(n=3\) et soit \(f\) un élément de \(E_{3}\).

   1. En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à \(f(x+h)\) et à \(f(x-h)\), montrer que, pour tout réel \(x\) et tout réel strictement positif \(h\), on a: \[\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M_{3} h^{2}}{6}+\frac{M_{0}}{h} \quad \text { et } \quad\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{M_{3} h}{3}+\frac{4 M_{0}}{h^{2}}\]

   2. En déduire de nouvelles majorations de \(M_{1}\) et de \(M_{2}\) en fonction de \(M_{0}\) et de \(M_{3}\).

7. Majoration de \({M}_{{n}-1}\) en fonction de \(M_0\) et de \({M }_{{n}}\).

   On suppose dans cette question que \(n \geqslant 2\) et soit \(f\) un élément de \(E n\).

   1. En appliquant les résultats de la question I.2 à la fonction \(f^{(n-2)}\), majorer \(M_{n-1}\) en fonction de \(M_{n-2}\) et de \(M_{n}\).

   2. En déduire par récurrence sur l’entier \(n\) \((n \geqslant 2)\) que : \[M_{n-1} \leqslant a_{n} M_{0}^{\frac{1}{n}} M_{n}^{1-\frac{1}{n}}\] où \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est la suite définie par : \[a_1=1 \quad \text{et} \quad \forall n \in\left[\kern-0.15em\left[ {2,{+\infty}} \right[\kern-0.15em\right[,\ a_n = (2a_{n-1})^{1-\frac{1}{n}}\]

   3. En déduire que: \[M_{n-1} \leqslant 2^{\frac{n-1}{2}} M_{0}^{\frac{1}{n}} M_{n}^{\frac{n-1}{n}}\]

   4. Majoration de \(M_{k}\) en fonction de \(M_0\) et de \(M_{n}\) \((0 \leqslant k \leqslant n)\).

      On suppose dans cette question que \(n \geqslant 2\) et soit \(f\) un élément de \(E_{n}\).

      Déduire par récurrence de la majoration obtenue précédemment pour \(M_{n-1}\) que, pour tout entier \(k\) compris entre 0 et \(n\), on a : \[M_{k} \leqslant 2^{\frac{k(n-k)}{2}} M_{0}^{\frac{n-k}{n}} M_{n}^{\frac{k}{n}}\]

Partie IV

On se propose enfin d’établir que les majorations obtenues en I.2 et III.6 sont optimales. À cet effet, on considère pour tout entier \(p \geqslant 1\) la fonction \(w_{p}\) définie sur \([0,1]\) par: \[w_{p}(x)= \begin{cases} \hfill 2 \hfill & \text { si } \displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1-\frac{1}{2 p} \\ 2 \sin (p \pi \left( 1-x \right)) & \text { si }\displaystyle 1-\frac{1}{2 p} \leqslant x \leqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{15pt}\end{cases}\]

et prolongée à par: \[w_{p}(-x)=w_{p}(x) \quad \text{et} \quad w_{p}(2+x)=-w_{p}(x)\]

8. Étudier la continuité et la périodicité de \(w_{p}\). Représenter graphiquement \(w_{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

9. Soit \(v_{p}\) la primitive de \(w_{p}\) s’annulant en 0.

   1. Donner l’expression de \(v_{p}(x)\) pour \(0 \leqslant x \leqslant 1\).

   2. Exprimer \(v_{p}(-x)\) et \(v_{p}(2+x)\) en fonction de \(v_{p}(x)\).

10. Soit \(u_{p}\) la primitive de \(v_{p}\) s’annulant en 1.

    1. Donner l’expression de \(u_{p}(x)\) pour \(0 \leqslant x \leqslant 1\).

    2. Exprimer \(u_{p}(-x)\) et \(u_{p}(2+x)\) en fonction de \(u_{p}(x)\).

11. 1. Déterminer les réels suivants: \[M_{0}(p)=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|u_{p}(x)\right|, \quad M_{1}(p)=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|u_{p}^{\prime}(x)\right|, \quad M_{2}(p)=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|u_{p}^{\prime \prime}(x)\right|\]

    2. Quelles sont les limites de \(M_{0}(p), M_{1}(p)\) et \(M_{2}(p)\) lorsque \(p\) tend vers l’infini? En déduire que la majoration de \(M_{1}\) en fonction de \(M_{0}\) et de \(M_{2}\) obtenue à la question I.2 est optimale.

    3. On désigne par \(U_{p}\) la primitive s’annulant en 0 de la fonction \(u_{p}\). Montrer à l’aide de cette fonction \(U_{p}\) que les majorations de \(M_{1}\) et de \(M_{2}\) obtenues précédemment en III.6 sont optimales.