ESSEC 1991 Maths 2Générale

Dans tout le problème, on désigne par \(n\) un entier donné, supérieur ou égal à 2, et par \(j\) un entier supérieur ou égal à 1.

Partie I

Dans cette partie, on désigne par \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\) l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(n-1\), et l’on considère l’application \(F\) associant à toute fonction polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\) la fonction polynôme \(Q\) définie pour tout réel \(t\) par

\[Q(t)=P(t)+\frac{1-t}{n} \, P^{\prime }(t)\]

1. Étude de l’application \(F\).

   1. Montrer que \(F\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\).

   2. On considère pour \(1\leqslant k\leqslant n\) la fonction polynôme \(P_{k}\) définie par \(P_{k}(t)=t^{n-k}\). Expliciter la fonction polynôme \(% Q_{k}=F(P_{k}).\)

   3. Déterminer la matrice \(M\) de \(F\) dans la base \(B=(P_{1},P_{2},\dots ,P_{n})\) de \(\mathbb{R}_{n-1}[x].\)

2. Étude des éléments propres de \(F\).

   1. Donner les valeurs propres de \(F\). L’endomorphisme \(F\) est-il diagonalisable ?

   2. Déterminer le sous-espace propre de \(F\) associé à la valeur propre \(1\).

   3. Soit \(k\) un entier tel que \(1\leqslant k<n\) et \(P\) un élément non nul de \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\) tel que: \[F(P)=\dfrac{n-k}{n} \, P\]

      Montrer que \(P(1)=0\).

      On convient alors de poser \(P(t)=(t-1)^{r}R(t)\), avec \(1\leqslant r<n\) et \(% R(1)\neq 0\).

      Quelle relation vérifient alors \(r\) et \(R\) ? En déduire que \(r=k\) et préciser le degré de \(R\).

   4. Déterminer les sous-espaces propres de \(F\) associés aux différentes valeurs propres de \(F\).

3. Étude d’une suite \(U_{i+1} =F(U_{i})\).

   On considère la suite de fonctions polynômes définie par \(U_{1}(t)=t^{n-1}\), puis \(U_{j+1}=F(U_{j})\).

   1. Établir l’égalité suivante pour tout réel \(t\) : \[U_{1}(t)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}k (t-1)^{k}\]

   2. En déduire \(U_{2}(t),U_{3}(t)\), puis, plus généralement, \(U_{j}(t)\) comme combinaisons linéaires de \(1\), \(t-1,\dots ,(t-1)^{n-1}\).

      Expliciter alors \(U_{j}(0)\) sous forme d’une somme.

Partie II

Dans toute la suite du problème, on considère un marché sur lequel \(n\) fournisseurs proposent des biens identiques à des consommateurs. Les commandes de ces derniers arrivent, successivement et de façon indépendante, auprès de ces \(n\) fournisseurs, chacun d’eux étant choisi de façon équiprobable.

On modélise cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et on désigne par :

• \(X_{j}\) la variable aléatoire indiquant le nombre des fournisseurs ayant reçu au moins une commande de l’un des \(j\) premiers consommateurs.

• \(\mathbb{P}(X_{j}=k)\) la probabilité de l’événement \([X_{j}=k]\), où \(k=1,2,\dots ,n\).

• \(\mathbb{E}(X_{j})\) et \(\mathbb{V}(X_{j})\) l’espérance et la variance de \(X_{j}\).

4. Étude de la loi des variables aléatoires \({X}_{j}\).

   1. Soit \(k\) un entier tel que \(1\leqslant k\leqslant n\). Donner les probabilités conditionnelles \(\mathbb{P}_{[ X_j=k]}(X_{j+1}=k)\) et \(\mathbb{P}_{[ X_j=k-1]}(X_{j+1}=k)\) (lorsque \(k\geqslant 2\)).

      Que vaut \(\mathbb{P}_{[ X_j=i]}(X_{j+1}=k)\) lorsque \(1\leqslant i\leqslant n\), l’entier \(i\) étant distinct de \(k-1\) et de \(k\) ?

   2. À l’aide de la formule des probabilités totales, en déduire l’expression de \(\mathbb{P}(X_{j+1}=k)\) en fonction des probabilités \(\mathbb{P}(X_{j}=i)\) où \(% 1\leqslant i\leqslant n\).

      On convient, dans la suite de cette partie, de poser pour tout entier \(% j\geqslant 1\) : \[G_{j}(t)=\sum\limits_{k=1}^{n} \mathbb{P}(X_{j}=k) \, t^{n-k}\]

5. Étude de la suite \((G_{j} )\).

   1. Préciser \(G_{1}\), puis déduire de la question précédente que \(% G_{j+1}=F(G_{j})\).

      Vérifier alors que cette suite \((G_{j})\) n’est autre que la suite \((U_{j})\) définie dans la question 3.

   2. En déduire l’expression de \(\mathbb{P}(X_{j}=n)\).

      À l’aide d’un raisonnement probabiliste, établir que, si \(1\leqslant j<n\) : \[\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k} \binom{n-1}k \left( 1-\dfrac{k}{n}\right) ^{j-1}=0\]

   3. Prouver que \(\mathbb{P}(X_{j}=n)\) tend vers \(1\) lorsque \(j\) tend vers \(+\infty\) , et en déduire quelles sont les limites de \(\mathbb{E}(X_{j})\) et \(\mathbb{V}(X_{j})\) lorsque \(j\) tend vers \(+\infty\).

6. Calcul de l’espérance de \({X}_{j}\).

   1. Calculer \(G_{j}(1)\), puis exprimer \(G_{j}^{\prime }(1)\) en fonction de \(\mathbb{E}(X_{j})\) et de \(n\).

   2. À l’aide de la relation \(G_{j+1}=F(G_{j})\), exprimer \(% G_{j+1}^{\prime }(1)\) en fonction de \(G_j^{\prime }(1).\)

      Que vaut \(G_1^{\prime }(1)\) ?

   3. En déduire \(G_j^{\prime }(1)\), puis \(\mathbb{E}(X_{j})\) en fonction de \(j\) et de \(n\). Retrouver ainsi la limite de \(\mathbb{E}(X_{j})\) lorsque l’entier \(j\) tend vers \(+\infty\).

Partie III

On désigne par \(T\) la variable aléatoire indiquant le nombre de consommateurs ayant déjà procédé à une commande lorsque, pour la première fois, chacun des \(n\) fournisseurs a reçu au moins une commande.

7. Étude de la loi de la variable aléatoire \(T\).

   1. Comparer les deux événements \([T\leqslant j]\) et \([X_{j}=n]\). En déduire \(\mathbb{P}(T=j+1)\) en fonction de \(\mathbb{P}(X_{j+1}=n)\) et \(\mathbb{P}(X_{j}=n)\).

      On a, bien entendu, \(\mathbb{P}(T=1)=\mathbb{P}(X_{1}=n)\), ces deux quantités étant évidemment nulles).

   2. Évaluer \(\mathbb{P}(T=1)+\mathbb{P}(T=2)+\dots +\mathbb{P}(T=j)\) en fonction de \(\mathbb{P}(X_{j}=n)\).

      En déduire que : \[\sum\limits_{j=1}^{+\infty }\mathbb{P}(T=j)=1\]

   3. Déduire enfin de l’expression de \(\mathbb{P}(X_{j}=n)\) obtenue dans la question 5 que : \[\mathbb{P}(T=j+1)=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1} \binom{n-1}k \left( \dfrac{k}{n}\right) \left( 1-\dfrac{k}{n}\right) ^{j-1}\]

8. Étude de l’espérance de \(T\).

   1. Donner l’expression, pour \(1\leqslant k<n\), de la somme suivante: \[S=\sum\limits_{j=1}^{+\infty }j\left( 1-\dfrac{k}{n}\right) ^{j-1}\]

   2. En déduire que : \[\mathbb{E}(T-1)=n\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\dfrac{\binom{n-1}{k}}{k}\]

   3. Établir pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \([0,1]\) la formule suivante : \[\sum\limits_{k=1}^{n-1} \binom{n-1}{k} (x-1)^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}x^{k-1}\]

   4. En déduire, par intégration de l’égalité précédente sur \([0,1]\) que : \[\mathbb{E}(T)=n\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n}\right)\]

9. Évaluation asymptotique de \(\mathbb{E}(T)\).

   1. On considère le programme Python suivant :

      import numpy as np
      import matplotlib.pyplot as plt
      
      def ET(n):
          ..........
      
      n=np.arange(1,101)
      E=np.array([ET(k) for k in n])
      plt.plot(n,E/(n*np.log(n)))

      Compléter la ligne (4) afin que l’appel de ET(n) renvoie la valeur de \(\mathbb{E}(T)\).

   2. Une exécution de ce programme a renvoyé le graphique suivant :

      Quelle conjecture peut-on faire ?

   3. Établir pour tout entier \(k\geqslant 1\) l’inégalité suivante : \[\dfrac{1}{k+1}\leqslant \int_{k}^{k+1}\dfrac{dt}{t}\leqslant \dfrac{1}{k}\] En déduire un équivalent de \(\mathbb{E}(T)\) lorsque l’entier \(n\) tend vers \(+\infty\).