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Le but du problème est de déterminer la probabilité pour qu’un entier naturel appartienne à certains sous-ensembles de \(\mathbb{N}\), ce qui fait l’objet de la partie II. Dans la partie I, on établit des résultats préliminaires d’analyse.
Dans tout le problème, on désigne par \(x\) une variable réelle appartenant à \([0,1[\) et les fonctions considérées sont définies uniquement sur \([0,1[\).
En particulier, les limites ou équivalents en 1 supposent \(x\) inférieur à 1.
Étant données deux suites réelles à termes positifs \(\left(x_{n}\right)\) et \(\left(y_{n}\right)\), on pose: \[z_{n}=x_{0} y_{n}+x_{1} y_{n-1}+x_{2} y_{n-2}+\ldots+x_{n-1} y_{1}+x_{n} y_{0}=\sum_{k=0}^{n} x_{k} y_{n-k}\]
Prouver que, pour tout entier naturel \(n\), on a: \[\sum_{k=0}^{n} z_{k} \leqslant \left(\sum_{k=0}^{n} x_{k}\right) \left(\sum_{k=0}^{n} y_{k}\right) \leqslant \sum_{k=0}^{2 n} z_{k}\]
En déduire que, si les séries \(\sum x_{n}\) et \(\sum y_{n}\) sont convergentes de sommes respectives \(X\) et \(Y\), alors la série \(\sum z n\) est convergente de somme \(Z=X Y\).
On considère dans cette partie les deux suites de nombres réels \((u_n)\) et \((J_n)\) définies respectivement par: \[u_0=1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \frac{3.5 .7 \ldots(2 n+1)}{2.4 .6 \ldots(2 n)}=\prod_{k=1}^{n} \frac{2 k+1}{2 k}\] et : \[\forall n \in \mathbb{N},\ J_n =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n}(t) \,\mathrm{d}t\]
Étudier le sens de variation de la suite \((J_n)\) et prouver sa convergence.
À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une relation de récurrence entre \(J_{n}\) et \(J_{n-2}\) pour \(n \geqslant 2\).
Calculer \(J_0\) et \(J_1\). En déduire les valeurs de \(J_{2 n+1}\) et \(J_{2 n}\) en fonction de \(u_n\).
Déduire successivement des résultats précédents les inégalités: \begin{align*} &\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ 1 \leqslant \frac{\pi}{2} \cdot \frac{u_{n}^{2}}{2 n+1} \leqslant \frac{2 n+1}{2 n} \\ &\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ 0 \leqslant u_{n}-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{n} \leqslant \frac{u_{n}}{2 n+1} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{align*}
Déduire de (1) un équivalent de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Calculer l’intégrale suivante: \[I(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{d}t}{1-x \cos ^{2}(t)}\]
On pourra poser \(\tan (t)=\sqrt{1-x} \cdot \tan (u)\).
Démontrer que: \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=0}^{n} J_{2 k} x^{k}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{d}t}{1-x \cos ^{2}(t)}-x^{n+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2 n+2}(t) }{1-x \cos ^{2}(t)} \,\mathrm{d}t\]
Établir l’inégalité : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ 0 \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2 n+2}(t)}{1-x \cos ^{2}(t)}\,\mathrm{d}t\leqslant \frac{J_{2 n+2}}{1-x}\]
En déduire que: \[\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u_{n} x^{n}}{2 n+1}\]
Établir par récurrence que: \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{u_{k}}{2 k+1}\]
À l’aide du résultat préliminaire, en déduire que: \[\frac{1}{(1-x)^{\frac{3}{2}}}=\sum_{k=0}^{+\infty} u_{n} x^{n}\]
En utilisant les inégalités (2), établir:
la convergence de la série \(\sum \sqrt{n} \, x^{n}\) (\(n\geqslant 0\)), dont la somme sera notée \(S(x)\),
la double inégalité: \[x \leqslant \frac{2}{\sqrt{\pi}}(1-x)^{\frac{3}{2}} S(x) \leqslant 1\]
On donnera alors un équivalent de \(S(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1.
À toute partie \(A\) de \(\mathbb{N}\) on associe la suite \((a_n)\) définie par: \[\forall n \in \mathbb{N},\ a_{n}= \begin{cases}1 & \text { si } n \in A \\ 0 & \text { si } n \notin A \end{cases}\]
On pose alors, sous réserve d’existence de ces nombres: \[f_{A}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n} \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(A)=\lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f_{A}(x)\]
Prouver que la série définissant \(f_{A}(x)\) est convergente.
On notera \(S\) l’ensemble des parties \(A\) de \(\mathbb{N}\) pour lesquelles \(\mathbb{P}(A)\) existe.
Établir les propriétés suivantes:
Si \(A\) appartient à \(S\), alors \(0 \leqslant \mathbb{P}(A) \leqslant 1\).
\(\varnothing\) et \(\mathbb{N}\) appartiennent à \(S\). On précisera \(\mathbb{P}(\varnothing)\) et \(\mathbb{P}(\mathbb{N})\).
Si \(A\) appartient à \(S\), alors son complémentaire \(\overline{A}\) appartient à \(S\). On précisera \(\mathbb{P}(\overline{A})\) en fonction de \(\mathbb{P}(A)\).
Si \(A, B\) tels que \(A \cap B=\varnothing\) appartiennent à \(S\), alors \(A \cup B\) appartient à \(S\). On précisera \(\mathbb{P}(A \cup B)\) en fonction de \(\mathbb{P}(A)\) et \(\mathbb{P}(B)\).
On admettra désormais que \(( \mathbb{N},S, \mathbb{P})\) est un espace probabilisé.
Montrer que les parties \(A\) suivantes appartiennent à \(S\) et préciser \(\mathbb{P}(A)\) :
\(A\) partie finie de \(\mathbb{N}\).
\(A=q \mathbb{N}=\{q k ,\ k \in \mathbb{N}\}\) où \(q\) est un entier naturel non nul.
\(A=q \mathbb{N}+t=\{q k+t ,\ k \in \mathbb{N}\}\) où \(t\) et \(q\) sont deux entiers naturels avec \(q \neq 0\).
On se propose dans cette question d’établir que la partie \(C\) de \(\mathbb{N}\) constituée des carrés d’entiers naturels non nuls appartient à \(S\), et de calculer \(\mathbb{P}(C)\).
La suite \(\left(c_{n}\right)\) et la fonction \(f_C\) associées à \(C\) sont donc définies par: \[\forall n \in \mathbb{N},\ c_n = \begin{cases} 1 & \text { si } n \in C \ \left(\text {soit : } \exists k>0, \ k^{2}=n\right) \\ 0 & \text { si } n \notin C \end{cases} \quad \text{et} \quad f_C (x)=\sum_{n=0}^{+\infty} c_{n} x^{n}=\sum_{n=1}^{+\infty} x^{n^{2}}\]
À l’aide de la question préliminaire, établir que: \[\frac{f_C(x)}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor x^{n}\]
où \(\left\lfloor a \right\rfloor\) désigne ici la partie entière de \(a\), c’est à dire l’entier tel que \(\left\lfloor a \right\rfloor \leqslant a< \left\lfloor a \right\rfloor+1\).
Démontrer la double inégalité suivante: \[0 \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} \sqrt{n} \, x^{n}-\frac{f_C(x)}{1-x} \leqslant \frac{1}{1-x}\]
À l’aide des résultats de la partie I, en déduire un équivalent de \(f_C(x)\) quand \({x}\) tend vers 1. Prouver alors que \({C}\) appartient à \({S}\) et donner \(\mathbb{P}({C})\).
On admet dans cette question que la partie \(D\) de \(N\) constituée des entiers qui sont la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls appartient à \(S\), et l’on se propose de majorer \(\mathbb{P}(D)\).
La suite \(\left(d_{n}\right)\) et la fonction \(f_D\) associées à \(D\) sont donc définies par : \[\forall n \in \mathbb{N},\ d_n = \begin{cases} 1 & \text { si } n \in D \ \left(\text {soit : } \exists p>0, \ \exists q>0,\ p^{2}+q^2=n\right) \\ 0 & \text { si } n \notin D \end{cases} \quad \text{et} \quad f_D (x)=\sum_{n=0}^{+\infty} d_{n} x^{n}\]
On note \(v(n)\) le nombre des couples d’entiers naturels non nuls \((p, q)\) tels que : \[p^{2}+q^{2}=n\]
Établir que : \[\left(f_C(x) \right)^{2}=\sum_{n=0}^{+\infty} v(n) x^{n}\]
Établir que : \[f_{D}(x) \leqslant \left( f_C(x)\right)^{2}\]
En déduire un majorant de \(\mathbb{P}(D)\).
En comparant \(d_{n}\) et \(v(n)\), montrer que l’on a plus précisément : \[2 f_{D}(x) \leqslant \left(f_C(x) \right)^{2}+f_{C}(x^{2})\]
En déduire un nouveau majorant de \(\mathbb{P}(D)\).
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