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Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul supérieur ou égal à \(2\).
Une urne contient \(n\) boules numérotées \(1,2,3, \dots, n\). On effectue dans cette urne une suite de tirages au hasard et avec remise.
On admet que l’on peut modéliser cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) pour lequel à chaque tirage toutes les boules ont la même probabilité d’être choisies et les résultats des différents tirages sont mutuellement indépendants.
L’objet du problème est l’étude du nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules. Pour cela on note \(X_{n}\) la variable aléatoire indiquant le numéro du tirage où, pour la première fois, chacune des \(n\) boules a été obtenue au moins une fois si cela se produit, et prenant la valeur \(0\) si au moins une boule n’est jamais obtenue dans la suite de tirages.
Dans cette partie, on se propose de modéliser l’expérience et de la simuler un grand nombre de fois pour conjecturer le comportement de \(X_n\).
Compléter la fonction en langage Python suivante pour que l’appel
de X(n) simule l’expérience et renvoie la
valeur prise par \(X_n\).
import numpy as np
import numpy.random as rd
def X(n):
B=np.zeros(n)
x=0
while np.min(B)==0:
x=..........
T=..........
B[T]=B[T]+1
return .........
On complète le programme précédent avec les instructions
suivantes, utilisant la fonction X :
n=int(input("n="))
Exp=np.ones(10**3)
for k in range(10**+1):
Exp[k]=X(n)
print(np.mean(Exp))
Proposer une interprétation du résultat affiché.
On suppose avoir ajouté au début du programme l’instruction
import matplotlib.pyplot as plt et on exécute
le programme suivant, utilisant encore la fonction
X définie dans la première question :
N=np.arange(1,41)
E=np.zeros(40)
for n in N:
Exp=np.ones(10**3)
for k in range(10**3):
Exp[k]=X(n)
E[n-1]=np.mean(Exp)
plt.plot(N,E/(N*np.log(N)),'x')
On obtient le graphique suivant :
Quelle conjecture peut-on faire ?
On note \((H_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\), \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) les suites définies par : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+ \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n},\quad u_n = H_n - \ln(n) \quad \text{et} \quad v_n = u_n - \frac{1}{2n}\]
En utilisant l’inégalité des accroissements finis, prouver que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \dfrac{1}{n+1} \leqslant \ln (n+1)-\ln (n) \leqslant \dfrac{1}{n}\]
Prouver que la suite \(u\) est monotone.
Démontrer que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ 0 \leqslant u_n \leqslant 1\]
En déduire que la suite \(u\) est convergente. Dans la suite, on notera \(\gamma\) sa limite.
Prouver que la suite \(\left( u_n - \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est monotone et en déduire : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ u_{n}-\dfrac{1}{n}\leqslant \gamma \leqslant u_{n}\]
En utilisant le résultat précédent, donner une condition sur \(n\) pour que \(v_n\) soit une valeur approchée de \(\gamma\) à \(\varepsilon\) près.
Écrire un programme en langage Python calculant et affichant une valeur approchée de \(\gamma\) à \(\varepsilon\) près, \(\varepsilon\) étant un réel strictement positif saisi par l’utilisateur.
Prouver que la série de terme général \(v_{n+1}-v_n\) est convergente et déterminer sa somme. On note alors : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ r_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty}(v_{k+1} - v_k)\]
Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ 0\leqslant \dfrac{x}{2 \left( 1+x \right)}+\dfrac{x}{2}-\ln (1+x) \leqslant \dfrac{x^{3}}{6}\]
Prouver alors que : \[\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {2,{+\infty}} \right[\kern-0.15em\right[,\ 0 \leqslant v_{k+1} - v_k \leqslant \frac{1}{6k^3} \leqslant \frac{1}{12} \left[ \frac{1}{(k-1)^2} - \frac{1}{k^2} \right]\]
En déduire : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ 0 \leqslant r_n \leqslant \frac{1}{12n^2}\]
Expliquer pourquoi cet encadrement permet de fournir une valeur approchée de \(\gamma\). Cette méthode est-elle plus intéressante que celle proposée dans la question ?????? ?
Prouver finalement qu’il existe une suite \((\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) convergeant vers \(0\) telle que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ H_n = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} + \frac{ \varepsilon_n}{n}\]
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On note \(B_k\) la variable aléatoire prenant la valeur \(i\in\mathbb{N}^\ast\) si l’on obtient la boule numéro \(k\) pour la première fois au \(i^{\grave{e}me}\) tirage et prenant la valeur \(0\) si l’on n’obtient jamais la boule numéro \(k\) dans la suite de tirages.
De plus on note, pour tout \(i\in\mathbb{N}^\ast\), \(B_{k,i}\) l’événement « on obtient la boule numéro \(k\) au \(i^{\grave{e}me}\) tirage ».
Que vaut \(\mathbb{P}(B_k=1)\) ?
Soit \(p\) un entier naturel non nul.
Exprimer l’événement \([B_k > p ] \cup [B_k=0]\) en fonction des événements \(B_{k,1},\dots,B_{k,p}\).
En déduire la probabilité \(\mathbb{P}( [B_k > p ] \cup [B_k=0])\).
Justifier que, pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à \(2\) : \[\mathbb{P}(B_k = p) = \mathbb{P}(B_k > p-1) - \mathbb{P}(B_k > p)\]
En déduire que la valeur de \(\mathbb{P}(B_k=p)\) puis vérifier que le cas \(p=1\) rejoint le cas général.
Démontrer que : \[\sum_{p=1}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k =p ) = 1\]
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(B_k=0)\).
Les résultats de la partie III permettent d’affirmer que, presque sûrement, toutes les boules seront obtenues au moins une fois dans la suite de tirages et donc, en particulier, que : \[\mathbb{P}(X_n=0)=0\]
Dans toute la suite, on conviendra donc de négliger les éventualités pour lesquelles \(X_n\) prend la valeur \(0\), ce qui revient à considérer que \(X_n\) ne peut pas prendre la valeur \(0\).
On désigne par \(p\) un entier naturel non nul. Pour tout entier \(i\) tel que \(% 1\leqslant i\leqslant n\), on considère l’événement \(B_{i}\) défini par : « la boule numérotée \(i\) n’est pas apparue au cours des \(p\) premiers tirages ».
Déterminer \(X_n(\Omega)\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(n=2\), ce qui revient à supposer que l’urne ne contient que deux boules, numérotées \(1\) et \(2\).
Soit \(x\) un nombre réel appartenant à l’intervalle \([0,1[\). On note : \[S_p(x) = \sum_{k=0}^p x^k = 1+x+x^{2}+...+x^{p} \quad \text{et} \quad \Sigma_p(x) = \sum_{k=1}^p k x^{k-1} = 1+2x+3x^{2}+...+px^{p-1}\]
Rappeler la valeur de la somme \(S_p(x)\) puis en déduire que : \[\Sigma_p(x) = \frac{1- \left( p+1 \right) x^p + px^{p+1}}{(1-x)^2}\]
En déduire la limite de \(\Sigma_p(x)\) lorsque \(p\) tend vers \({+\infty}\).
Pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à \(2\), calculer \(\mathbb{P}(X_2=p)\).
Prouver alors que \(X_2\) admet une espérance et la calculer.
Quelle est la loi de \(X_2-1\) ? En déduire la variance de \(X_2\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(n=3\) et on considère un entier \(p\) supérieur ou égal à \(2\).
Pour tout \(k\in\{ 1,2,3\}\), on note \(A_k=[B_k>p]\) et on rappelle que l’on a : \[\mathbb{P}(A_1) =\mathbb{P}(A_2) =\mathbb{P}(A_3) = \left( \frac{2}{3} \right)^p\]
Calculer \(\mathbb{P}( A_1 \cap A_2)\) et \(\mathbb{P}( A_1 \cap A_2 \cap A_3)\).
Exprimer l’événement \([X_3>p]\) en fonction des événements \(A_1\), \(A_2\) et \(A_3\) puis en déduire que : \[\mathbb{P}( X_3 >p ) = 3 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^p - \left( \frac{1}{3} \right)^p \right]\]
Déterminer la loi de \(X_3\).
Montrer que \(X_3\) admet une espérance et la calculer.
On revient au cas général et on admet que : \[\forall p \in\mathbb{N},\ \mathbb{P}( X_n>p) = \sum_{k=1}^n \binom nk (-1)^{k+1} \left( 1- \frac{k}{n} \right)^{p}\]
En s’intéressant aux valeurs prises par \(X_n\), justifier que : \[\forall p\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ \sum\limits_{k=0}^{n} \binom nk (-1)^{k}k^{p}=0\]
Démontrer que : \[\forall p \in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}( X_n=p) = \sum_{k=1}^n \binom nk (-1)^{k+1} \,\frac{k}{n} \left( 1- \frac{k}{n} \right)^{p-1}\]
Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \sum\limits_{k=0}^{n-1}(1-x)^{k}=\sum\limits_{k=1}^{n} \binom nk (-1)^{k-1}x^{k-1}\]
En déduire : \[\sum\limits_{k=1}^{n} \binom nk \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=H_{n}\]
Établir alors que \(X_n\) admet une espérance et que : \[\mathbb{E}(X_n) = n H_n\]
Compléter le programme Python suivant pour qu’il affiche la valeur de \(\mathbb{E}(X_n)\).
n=int(input("n="))
E=0
for k in .....:
E+=.......
print(E)Même question avec le programme suivant.
import numpy as np
n=int(input("n="))
k=np.arange(1,n+1)
E=...........
print(E)Prouver qu’il existe des réels \(a,b,c\) que l’on explicitera tels que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{E}(X_{n})=an\ln (n)+bn+c+ \circ(1)\]
Que pensez-vous de la conjecture faite dans la question 3 ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un joli sujet de l'ESSEC, du temps où la prépa n'était qu'en un an.
L'adaptation a été faite en profondeur pour le rendre plus conforme aux sujets modernes.