On note \(I_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et \(O_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) la matrice nulle de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
On définit les matrices suivantes : \[\begin{gathered} M=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 3\end{pmatrix}, \quad T=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\\ P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} ,\quad V=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \end{gathered}\]
On admet que le polynôme \(R\) défini par \(R(x)=\left(x^{2}-4\right)(x-2)\) est un polynôme annulateur de \(M\).
Déterminer les racines du polynôme \(R\).
Quelles sont les valeurs propres possibles de \(M\) ?
Calculer \(M U\) et \(M V\).
Déduire des questions précédentes le spectre de \(M\).
En utilisant le polynôme \(R\), justifier que la matrice \(M\) est inversible.
Soit \(n \in \mathbb{N}\).
Montrer que \(T^{2}=I_{3}+N\).
Calculer \(N^{2}\).
À l’aide de la formule du binôme de Newton, déterminer l’expression matricielle de \(T^{2 n}\).
En déduire que \(T^{2 n+1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & n \\ 0 & 1 & 1+2 n \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).
Justifier que \(T\) est inversible et déterminer l’expression matricielle de \(T^{-1}\).
Vérifier que \(\left(T^{-1}\right)^{2}=I_{3}-N\).
En adaptant les résultats de la partie II, déterminer, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l’expression matricielle de \(\left(T^{-1}\right)^{2 n}\) puis de \(\left(T^{-1}\right)^{2 n+1}\).
Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), montrer que : \(\left(T^{-1}\right)^{k}=\left(T^{k}\right)^{-1}\). On notera \(T^{-k}\) cette matrice.
Pour tout \(j \in \mathbb{Z}\), donner l’expression matricielle de \(T^{2 j}\) et de \(T^{2 j+1}\).
Justifier l’inversibilité de la matrice \(P\).
Calculer \(M P\) et \(P T\).
Déterminer un réel \(a\) non nul tel que \(M=a P T P^{-1}\).
Justifier la relation : \(\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{a} \, P T^{-1} P^{-1}\).
Par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\), montrer la propriété \(\mathcal{P}(n)\) définie par :
\[\mathcal{P}(n): \text{ « }M^{n}=a^{n} P T^{n} P^{-1} \quad \text { et } \quad\left(M^{-1}\right)^{n}=\frac{1}{a^{n}} \, P T^{-n} P^{-1} \text{ »}\]
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On note, \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), l’ensemble des entiers entre 1 et \(n\). On a donc \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]=\{1, \ldots, n\}\).
On souhaite acquérir une collection formée de \(n\) cartes différentes. Les cartes sont vendues à l’unité et emballées de sorte qu’on ne puisse pas choisir la carte que l’on achète : on découvre la carte en ouvrant l’emballage. On décide d’acheter au maximum une carte par jour.
Pour tout \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on définit \(N_{j}\) la variable aléatoire égale au nombre d’achats à faire pour obtenir \(j\) cartes différentes de la collection. Ainsi, la variable aléatoire \(N_{n}\) correspond au nombre d’achats à effectuer pour avoir l’intégralité de la collection.
Dans la suite, on dira qu’une carte est nouvelle si elle différente des cartes déjà obtenues.
On note, pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], X_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre de cartes à acheter pour passer de la possession de \(k-1\) cartes différentes à la possession de \(k\) cartes différentes. On suppose que les variables aléatoires de la suite \(\left(X_{k}\right)_{k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]}\) sont mutuellement indépendantes.
Par exemple : si la collection est formée de 4 cartes différentes (numérotées \(1,2,3,4\)) et, si au cours des dix premiers jours, on a obtenu, dans cet ordre, les cartes : \(2,1,1,2,4,2,4,1,2,3\), alors :
\(X_{1}=1\) puisque le premier jour on achète une carte et on ne l’avait pas,
\(X_{2}=1\) puisqu’on fait un achat supplémentaire pour obtenir une nouvelle carte (la numéro 1),
\(X_{3}=3\) puisqu’on fait 3 achats supplémentaires pour obtenir une nouvelle carte (la numéro 4),
\(X_{4}=5\) puisqu’on fait 5 achats supplémentaires pour obtenir une nouvelle carte (la numéro 3). La collection est alors complète et \(N_{4}=10\).
Dans la suite, on pose, pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}\) :
\[H_{j}=\sum_{k=1}^{j} \frac{1}{k} \quad \text { et } \quad u_{j}=H_{j}-\ln (j), \quad \text { ainsi que la fonction } \quad f: x \mapsto \ln (1+x)-x\]
Déterminer le domaine de définition, noté \(D\), de la fonction \(f\).
Étudier les variations de \(f\) sur \(D\).
En déduire que: \(\forall x \in D, \ \ln (1+x) \leqslant x\).
Montrer que, pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}\), \(\displaystyle u_{j+1}-u_{j}=\frac{1}{j+1}+\ln \left(1-\frac{1}{j+1}\right)\).
En déduire, à l’aide de la question 22, la monotonie de la suite \(\left(u_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}^{*}}\).
Montrer que, pour tout entier \(k \in \mathbb{N}^{*}\) : \(\displaystyle \frac{1}{k} \geqslant \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t\).
En déduire que la suite \(\left(u_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}^{*}}\) est positive.
Justifier que la suite \(\left(u_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}^{*}}\) converge.
En déduire l’existence et la valeur de la limite : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{H_{n}}{\ln (n)}\).
Justifier l’égalité : \(\displaystyle N_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\).
On admettra que cette égalité justifie l’existence de l’espérance de \(N_{n}\), notée \(\mathbb{E}\left(N_{n}\right)\), et que :
\[\mathbb{E}\left(N_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}(X_{k})\]
Déterminer la loi de \(X_{1}\). Donner son espérance et sa variance.
Lors du deuxième achat, quelle est la probabilité d’acquérir une carte différente de celle obtenue au premier achat?
Déterminer la loi de \(X_{2}\). Donner son espérance et sa variance.
Dans les questions 33 et 34 , on fixe \(k \in \left[\!\left[3, n\right]\!\right]\).
On suppose qu’on possède déjà \(k-1\) cartes différentes de la collection.
Calculer la probabilité d’obtenir une nouvelle carte en fonction de \(k\) et \(n\). On note \(p_{n, k}\) cette probabilité.
Justifier que la variable aléatoire \(X_{k}\) suit une loi géométrique de paramètre \(p_{n, k}\).
À l’aide des questions 28 et 29 , déterminer la limite de \(\displaystyle \frac{\mathbb{E}(N_{n})}{n \ln (n)}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). Comment peut-on interpréter ce résultat?
Pour suivre l’avancée de sa collection de cartes Pokemon, un enfant
décide de mettre à jour, à chaque achat, une base de données. Cette base
est constituée de deux tables : la table POKEMON contenant
un descriptif de toutes les cartes à collectionner et la table
CARTES contenant la liste des cartes Pokemon que l’enfant a
achetées. On rappelle que la carte achetée est inconnue jusqu’à
l’ouverture de son emballage : le nom d’un Pokemon peut donc apparaitre
plusieurs fois dans la table CARTES.
POKEMON (Nom, Energie, Evolution, PV) où
Nom : Nom du Pokemon (type chaîne de caractères)
;
Energie : Énergie associée au Pokemon (type chaîne
de caractères);
Evolution : Niveau d’évolution du Pokemon (type
entier) ;
PV : Nombre de points de vie du Pokemon (type
entier).
CARTES (Nom, Date, Lieu) où
Nom : Nom du Pokemon (type chaîne de caractères)
;
Date : Date de l’achat au format (année-mois-jour)
Lieu : Nom du magasin où la carte a été achetée
(type chaîne de caractères) ;
Quelle clé primaire peut être choisie pour la table
CARTES? Justifier votre réponse.
Écrire une requête SQL qui renvoie la liste des noms
des Pokemon que l’enfant possède sans répétition.
Écrire une requête SQL donnant la liste de tous les
noms de Pokemon à collectionner dont le nombre de points de vie est
supérieur ou égal à 100.
Écrire une requête SQL donnant toutes les cartes
Pokemon que l’enfant possède dont l’énergie est le feu.
Cet exercice est constitué de cinq parties. Après avoir traité une représentation graphique dans la partie I, on étudie, dans la partie II, quelques propriétés d’une variable aléatoire \(X\) suivant une loi à densité particulière : la loi de Laplace. Les parties III et IV sont consacrées à deux simulations de cette variable aléatoire. Enfin, la partie V est dédiée à l’étude d’une suite de variables aléatoires suivant des lois de Laplace.
Soient \(m \in \mathbb{R}, M \in \mathbb{R}\) et \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\) tel que \(a>0\) et \(b>0\). On définit la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[\tag{$*$} f(x)= \begin{cases} M \,\mathrm{e}^{-a(x-m)} & \text { si } x \geqslant m \\ M \,\mathrm{e}^{b(x-m)} & \text { si } x<m \end{cases}\]
Dans cette partie uniquement, on prend \(m=0\), \(M=\frac{2}{3}\), \(a=1\) et \(b=2\) de sorte que
\[f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2}{3} \,\mathrm{e}^{-x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \displaystyle \frac{2}{3} \,\mathrm{e}^{2 x} & \text { si } x<0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\) sur \([-1,1]\). On donne \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0,4\).
Compléter les instructions Python suivantes pour
obtenir la représentation graphique de \(f\) sur \([-1,1]\). On rappelle que, lorsque la
bibliothèque numpy est importée avec l’alias
np, l’instruction np.e renvoie la valeur de
\(\mathrm{e}^{1}\).
On travaille avec la fonction \(f\) définie en \((*)\).
Déterminer la valeur de la constante \(M\) en fonction de \(a, b\) et \(m\) pour que la fonction \(f\), définie en \((*)\) puisse être considérée comme une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).
Pour cette valeur de \(M\), on note \(X\) une variable aléatoire à densité, dont la fonction \(f\) est une densité de probabilité. On dit alors que \(X\) suit une loi de Laplace asymétrique associée aux paramètres \(m\), \(a\) et \(b\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal{L}(m, a, b)\). On note \(F_{X}\) sa fonction de répartition.
Justifier rigoureusement les expressions suivantes :
\(\displaystyle F_{X}(x)=\frac{a}{a+b} \, \mathrm{e}^{b(x-m)}\) si \(x<m\),
\(\displaystyle F_{X}(x)=1-\frac{b}{a+b} \,\ e^{-a(x-m)}\) si \(x \geqslant m\).
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(-X\). On distinguera les intervalles \(]-\infty,-m ]\) et \(]-m,+\infty[\).
En déduire que la variable aléatoire \(-X\) suit aussi une loi de Laplace asymétrique et déterminer les paramètres associés en fonction de \(m, a\) et \(b\).
Dans cette partie, on se place dans le cas particulier où \(a=b\), c’est-à-dire que \(X \hookrightarrow \mathcal{L}(m, a, a)\) avec \(m \in \mathbb{R}\) et \(a>0\). On définit la variable aléatoire \(Y\) par \(Y=|X-m|\). On note \(F_{Y}\) sa fonction de répartition.
Déterminer la valeur de \(F_{Y}(y)\) lorsque \(y<0\).
Montrer que : \(F_{Y}(y)=F_{X}(y+m)-F_{X}(-y+m)\) lorsque \(y \geqslant 0\).
Reconnaitre la loi de \(Y\).
Déterminer la valeur de \(\mathbb{P}(X>m)\).
On exécute sur Python le programme suivant :
La console affiche 2.023956828868501. Interpréter ce
résultat en justifiant votre réponse.
PythonDans cette partie, on se place dans le cas général où \(X \hookrightarrow \mathcal{L}(m, a, b)\) avec \(m \in \mathbb{R}, a>0\) et \(b>0\).
Justifier que la fonction \(F_{X}\) réalise une bijection de \(]-\infty, m[\) dans \(\displaystyle \left] 0, \frac{a}{a+b} \right[\).
On note \(F_{1}\) l’application réciproque associée.
Montrer que, pour tout \(\displaystyle y \in \left] 0, \frac{a}{a+b}\right[, \ F_{1}(y)=m+\frac{1}{b} \ln \! \left(\frac{a+b}{a} y\right)\).
De façon analogue, on admet que la fonction \(F_{X}\) réalise une bijection de \(\left[m,+\infty\right[\) dans \(\displaystyle \left[\frac{a}{a+b}, 1 \right[\).
On note \(F_{2}\) l’application réciproque associée de sorte que, pour tout \(\displaystyle y \in\left[\frac{a}{a+b}, 1 \right[\) :
\[F_{2}(y)=m-\frac{1}{a} \ln \! \left(\frac{a+b}{b}(1-y)\right)\]
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \(] 0,1[\). On définit la variable aléatoire \(T\) de la manière suivante :
\[T= \begin{cases} F_{1}(U) & \text { si } U<\frac{a}{a+b} \\ F_{2}(U) & \text { si } U \geqslant \frac{a}{a+b} \end{cases}\]
On note \(F_{T}\) la fonction de répartition de \(T\).
Rappeler l’expression de la fonction de répartition \(F_{U}\) de la variable aléatoire \(U\).
Montrer que, si \(t<m\) alors : \(\mathbb{P}(T \leqslant t)=\mathbb{P}(U \leqslant F_{X}(t))\).
De la même manière, on admet que, si \(t \geqslant m\) alors : \(\mathbb{P}(T>t)=\mathbb{P}(U>F_{X}(t))\).
Déduire des questions précédentes que \(F_{T}=F_{X}\).
On rappelle que la commande numpy.log de la
bibliothèque numpy donne accès à la fonction \(\ln\). Compléter la fonction
Python suivante afin qu’elle renvoie une simulation de la
variable aléatoire \(X\) :
On s’intéresse maintenant à \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(X_{n} \hookrightarrow \mathcal{L}\left(0,2^{n}, 2^{n}\right)\). Une densité de probabilité de la variable aléatoire \(X_{n}\) est donc: \[f_n : \begin{array}{| ccl} \mathbb{R}& \to &\mathbb{R}\\ x & \mapsto & \begin{cases} \displaystyle 2^{n-1} \, \mathrm{e}^{-2^{n} x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \displaystyle 2^{n-1} \,\mathrm{e}^{2^{n} x} & \text { si } x<0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases} \end{array}\]
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on définit la variable aléatoire \(\displaystyle \overline{X_{n}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n} X_{k}}{n}\).
On admet dans la suite les résultats suivants :
Si \(\left(Y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes admettant une variance, alors la variable aléatoire \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} Y_{k}\) admet une variance et :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{V} \! \left(\sum_{k=1}^{n} Y_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} \mathbb{V}(Y_{k})\]
Soit \(h\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} h(x) \, \mathrm{d} x\) converge.
si \(h\) est une fonction impaire sur \(\mathbb{R}\), alors \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) \, \mathrm{d} x=0\),
si \(h\) est une fonction paire sur \(\mathbb{R}\), alors \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) \, \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{+\infty} h(x) \, \mathrm{d} x\).
Un résultat intermédiaire :
Soient \(\lambda>0\) et \(S\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). En utilisant la variable aléatoire \(S\), justifier que :
\[\int_{0}^{+\infty} x \,\mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\lambda^{2}} \quad \text { et } \quad \int_{0}^{+\infty} x^{2} \,\mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{2}{\lambda^{3}}\]
Dans les questions 58 à \(60, n\)
est un entier naturel non nul.
En appliquant (R2) à la fonction \(x \mapsto x f_{n}(x)\), justifier l’existence de l’espérance de \(X_{n}\) et donner sa valeur.
En appliquant (R2) à une fonction adéquate, justifier l’existence de la variance de \(X_{n}\) et calculer sa valeur.
En déduire, si elles existent, la valeur de l’espérance et de la variance de \(\overline{X_{n}}\).
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, conclure que :
\[\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P} \! \left(\left|\overline{X_{n}}\right| \geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\right)=0\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Sujet long, varié et ambitieux, couvrant une large partie du programme ECT : algèbre linéaire, probabilités discrètes et continues, simulations Python et SQL.
L’ensemble est cohérent, mais d’un niveau inhabituellement élevé pour l’option ECT, notamment dans la densité des raisonnements demandés.
L’exercice 1 proposait une étude classique de puissances de matrices via polynôme annulateur et conjugaison, mais la structure des calculs matriciels demandait une bonne maîtrise technique, peu habituelle à ce niveau.
L’exercice 2 reprenait le modèle du collectionneur de coupons, classique mais traité ici de manière approfondie : étude des nombres harmoniques, équivalent de l’espérance de ( N_n ), puis transition vers des requêtes SQL.
La partie probabiliste restait accessible, mais l’enchaînement analytique préalable était relativement exigeant.
L’exercice 3 constituait clairement la partie la plus sélective du sujet.
L’introduction de la loi de Laplace asymétrique, ses fonctions de répartition, ses méthodes de simulation et l’étude asymptotique finale demandaient une aisance technique inhabituelle pour des candidats ECT, en particulier sans accompagnement intermédiaire plus détaillé.
Dans l’ensemble, le sujet apparaît anormalement difficile pour des étudiants de l’option ECT.
Plusieurs transitions (notamment dans l’étude de la loi de Laplace et des méthodes de simulation) auraient mérité davantage de guidage pour rester pleinement adaptées au format habituel de l’épreuve.
Cela a probablement rendu le sujet déstabilisant pour une large partie des candidats, malgré la présence de questions accessibles en début d’exercice.