Dans cet exercice, on souhaite étudier l’évolution d’une population à l’aide de différents modèles mathématiques. On envisage trois situations :
extinction de la population si sa taille tend vers 0,
explosion de la population si sa taille tend vers \(+\infty\),
survie de la population si sa taille tend vers un réel strictement positif. Dans ce cas, il y a un équilibre entre les naissances et les décès.
Dans la suite, le temps sera mesuré à l’aide d’un entier naturel \(n\).
Dans cette partie, on considère que la population est divisée en deux classes d’âge : les enfants et les adultes. On définit, à tout instant \(n \in \mathbb{N}\), la taille de la population des enfants notée \(u_{n}\) et la taille de la population des adultes notée \(v_{n}\).
On suppose qu’à l’instant initial, et sont strictement positifs et que l’évolution de cette population est traduite par le système suivant : \[u_{0}>0, v_{0}>0 \text { et pour tout } n \in \mathbb{N},\ \ \begin{cases} \displaystyle u_{n+1}=\frac{2}{3} u_{n}+v_{n} \\ \displaystyle v_{n+1}=\frac{1}{9} u_{n}+\frac{2}{3} v_{n} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & 1 \\ \frac{1}{9} & \frac{2}{3} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\end{pmatrix}\).
Vérifier que le polynôme \(X^{2}-\frac{4}{3} \, X+\frac{1}{3}\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire les valeurs propres possibles de \(A\).
Calculer \(A \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(A \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). En déduire les valeurs propres de \(A\).
On définit \(P=\begin{pmatrix}3 & 3 \\ 1 & -1\end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 1 & -3\end{pmatrix}\) et \(D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\).
Calculer \(P Q\).
En déduire que \(P\) est inversible et donner une expression matricielle de \(P^{-1}\).
Calculer \(A P\) et \(P D\). En déduire que \(A\) est diagonalisable.
Par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\), montrer que \(A^{n}=P D^{n} P^{-1}\).
Déduire de la question (2d) que, pour tout \(\displaystyle n \in \mathbb{N}, \ A^{n}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} & 9-\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2} \\ 1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} & 3+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{pmatrix}\).
On souhaite étudier les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) solutions du système (1). Pour cela, on définit, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le vecteur colonne \(X_{n}\) par \(X_{n}= \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). En utilisant le système (1), établir un lien entre \(X_{n+1}, X_{n}\) et la matrice \(A\) définie à la question 1.
En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, \ X_{n}=A^{n} X_{0}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). En utilisant la question (2e), déterminer une expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n, u_{0}\) et \(v_{0}\), puis une expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n, u_{0}\) et \(v_{0}\).
Que peut-on dire de l’évolution de chaque population au bout d’un temps très grand? Y a-t-il extinction/survie/explosion de la population?
Un zoo dispose d’une base de données composée de deux tables pour suivre l’évolution des différentes espèces d’animaux placés dans des enclos. Chaque espèce est séparée en deux catégories : les enfants et les adultes. Dans un enclos on trouve une seule catégorie d’une espèce d’animal. La base de données a le schéma suivant:
ANIMAUX(Enclos, Espèce, Categorie, Effectif, Quantité) où
Enclos : numéro de l’enclos (type entier);
Espèce : espèce de l’animal (type chaine);
Catégorie : adulte ou enfant (type chaîne);
Effectif : nombre d’animaux (type entier);
Quantité : quantité de nourriture à donner en
kilogramme (type entier);
ALIMENTATION(Espèce, Type, Tarif) où
Espèce : espèce de l’animal (clé étrangère vers la
table ANIMAUX)(type chaîne);
Type : type d’alimentation (type chaîne);
Tarif : prix au kilogramme (type entier).
Quelle clé primaire peut être choisie pour la table
ANIMAUX? Justifier votre réponse.
Écrire une requête SQL qui renvoie la liste des
types d’alimentation à utiliser dans le zoo.
Écrire une requête SQL donnant la liste des espèces
d’animaux dont le nombre d’adultes est supérieur ou égal à 6.
Écrire une requête SQL donnant la liste de l’espèce
et de l’effectif des animaux dont le prix au kilogramme d’alimentation
est inférieur strictement à 15.
Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans sa globalité.
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(w_{n}\) la taille de la population à l’instant \(n\).
On suppose que la taille de la population à l’instant initial est strictement positive.
Dans cette question uniquement, on suppose que la population possède une croissance à taux fixe, c’est-à-dire qu’elle varie d’un instant à l’autre d’une proportion fixe.
Mathématiquement, on modélise une telle évolution par la donnée de \(w_{0}>0\) et l’existence d’un réel \(r \in \left[-1,+\infty \right[\), tel que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ w_{n+1}-w_{n}=r w_{n}\]
Montrer que \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique. Pour \(n \in \mathbb{N}\), exprimer \(w_{n}\) en fonction de \(n, r\) et \(w_{0}\).
Pourquoi a-t-on choisi \(r \in[-1,+\infty [\) dans cette modélisation?
En distinguant les cas \(r \in\left[-1,0\right[\), \(r=0\) et \(r>0\), déterminer, si elle existe, la limite de \(w_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). Que signifie chacune de ces limites pour l’évolution de la population? Le modèle proposé est-il toujours réaliste?
Dans cette question uniquement, on suppose que la population possède une croissance logistique, prenant en compte l’influence du milieu dans lequel elle vit.
Mathématiquement, on modélise une telle évolution par la donnée de \(w_{0}>0\) et l’existence de deux réels \(\alpha \in \left] 0, 1 \right[\) et \(\beta>0\) tels que :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ w_{n+1}-w_{n}=\alpha w_{n}\left(1-\frac{1}{\beta} \, w_{n}\right)\]
On définit les fonctions \(f\) et \(g\) par : \[f : \begin{array}{| cc l} \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & \displaystyle \alpha x\left(1-\frac{1}{\beta} \, x\right) \end{array} \quad \text{et} \quad g : \begin{array}{| cc l} \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & \displaystyle x+ f(x) \end{array}\]
de sorte que la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) soit définie par :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ w_{n+1}=w_{n}+f(w_{n})=g(w_{n})\]
Résoudre l’équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\) en précisant sa limite en \(+\infty\). On fera apparaître les réels obtenus à la question précédente.
Résoudre les équations \(g(x)=0\), \(g(x)=x\) et \(g(x)=\beta\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que : \[\beta<\frac{ \left( \alpha+1 \right) \beta}{2 \alpha}<\frac{\beta}{\alpha}<\frac{ \left( \alpha+1 \right) \beta}{\alpha}\]
Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\) sur \([0,+\infty[\) en précisant sa limite en \(+\infty\). On fera apparaître les réels obtenus à la question 6(b)i.
Étude de la convergence de \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) dans le cas où \(w_{0} \in \left] 0, \beta\right]\).
On suppose dans cette question uniquement que \(w_{0} \in\left] 0, \beta\right]\).
En utilisant le tableau de variations de la fonction \(g\) obtenu à la question 6 (b)iii, montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, \ w_{n} \in[0, \beta]\) par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), déterminer le signe de \(f(w_{n})\) à l’aide du tableau de variations de la fonction \(f\) obtenu à la question 6(a)ii. En déduire la monotonie de la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Justifier que la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers une limite notée \(\ell\).
Montrer que \(\ell \geqslant w_{0}\).
À l’aide de la question 6(b)i, déterminer la valeur de \(\ell\) en fonction de \(\beta\). Que signifie ce résultat pour la population étudiée?
Étude de la convergence de \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) dans le cas où \(\displaystyle w_{0} \in\left[\beta, \frac{\beta}{\alpha}\right]\).
On suppose dans cette question uniquement que \(\displaystyle w_{0} \in\left[\beta, \frac{\beta}{\alpha}\right]\).
Montrer que \(\displaystyle g \! \left( \frac{ \left( \alpha+1 \right) \beta}{2 \alpha} \right)<\frac{\beta}{\alpha}\) et en déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, \ \displaystyle w_{n} \in\left[\beta, \frac{\beta}{\alpha}\right]\).
Étudier la monotonie de la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
En déduire que la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite. Que signifie ce résultat pour la population étudiée?
Étude de la convergence de \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) dans le cas où \(\displaystyle w_{0} \in\left[\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\left( \alpha+1 \right) \beta}{\alpha} \right[\).
On suppose dans cette question uniquement que \(w_{0} \in \displaystyle \left[\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\left( \alpha+1 \right) \beta}{\alpha} \right[\).
En utilisant la question 6(b)iii, justifier que \(w_{1} \in \left] 0, \beta \right]\).
À l’aide de la question 6(c), justifier que la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite.
Est-il judicieux de choisir \(w_{0} \geqslant \displaystyle \frac{ \left( \alpha+1 \right) \beta}{\alpha}\) ?
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un pion se déplace sur un axe gradué de 0 à \(n\). À l’instant initial, il se trouve sur la position 0. Un déplacement de ce pion sur l’axe se fait de la manière suivante : on tire une bille dans une urne contenant \(n\) billes indiscernables au toucher numérotées de 1 à \(n\) et :
si le numéro de la bille est strictement supérieur à la position du pion, alors le pion avance d’une unité,
si le numéro de la bille est inférieur ou égal à la position du pion, alors le pion recule d’une unité.
On remet ensuite la bille dans l’urne. Pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), on définit la variable aléatoire \(X_{k}\) donnant la position du pion sur l’axe après le \(k\)-ième déplacement et on note \(\mathbb{E}(X_{k})\) l’espérance de la variable aléatoire \(X_{k}\), si elle existe.
Exemple : dans le cas \(n=4\), l’urne contient 4 billes numérotées de 1 à 4. Le pion étant en 0 à l’instant initial, on obtient \(X_{0}=0\).
Puis, si on tire la bille numérotée 2, puisque \(2>0\), le pion avance d’une unité et \(X_{1}=1\).
Puis, si on tire la bille numérotée 3, puisque \(3>1\), le pion avance d’une unité et \(X_{2}=2\).
Puis, si on tire la bille numérotée 1, puisque \(1 \leqslant 2\), le pion recule d’une unité et \(X_{3}=1\).
Puis, si on tire la bille numérotée 1, puisque \(1 \leqslant 1\), le pion recule d’une unité et \(X_{4}=0\).
Compléter la fonction Python suivante, qui prend en
entrée deux entiers naturels \(n\) et
\(k\) et renvoie une liste contenant la
position initiale du pion ainsi que ses positions successives sur l’axe
gradué de 0 à \(n\) après \(k\) déplacements. On recopiera les lignes
complétées sur sa copie.
Dans cette question uniquement, on suppose que l’urne contient 20
billes numérotées de 1 à 20 et on effectue 10 déplacements du pion.
Écrire une ou plusieurs instructions Python affichant
uniquement la position du pion à la fin de l’expérience. On pourra
utiliser la fonction deplacement_pion définie à la question
précédente.
On définit la fonction Test par:
L’instruction Test(10,100,1000) renvoie 5,054. Comment
interpréter cette valeur?
Déterminer la loi de \(X_{1}\) ainsi que son espérance \(\mathbb{E}(X_{1})\).
Déterminer la loi de \(X_{2}\) en fonction de \(n\), puis calculer son espérance \(\mathbb{E}(X_{2})\).
Dans la suite, on suppose que \(k\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(n\).
Justifier que l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(X_{k}\) est inclus dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}(X_{k+1}=0)=\frac{1}{n} \, \mathbb{P}(X_{k}=1)\) et que \(\displaystyle \mathbb{P}(X_{k+1}=n)=\frac{1}{n} \, \mathbb{P}(X_{k}=n-1)\).
Soit \(\ell \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
Déterminer, en fonction de \(\ell\) et \(n\), la probabilité que le pion avance d’une unité lorsqu’il se situe en \(\ell-1\).
Déterminer, en fonction de \(\ell\) et \(n\), la probabilité que le pion recule d’une unité lorsqu’il se situe en \(\ell+1\).
En déduire que: \[\mathbb{P}(X_{k+1}=\ell)=\frac{n-\ell+1}{n} \, \mathbb{P}(X_{k}=\ell-1)+\frac{\ell+1}{n} \, \mathbb{P}(X_{k}=\ell+1)\]
En utilisant la question précédente, montrer que :
\[\mathbb{E}(X_{k+1})=1+\left(1-\frac{2}{n}\right) \mathbb{E}(X_{k})\]
On souhaite déterminer une expression de \(\mathbb{E}(X_{k})\) en fonction de \(n, k\) et \(\mathbb{E}(X_{n})\).
Quelle suite usuelle reconnaît-on pour \((\mathbb{E}(X_m))_{m\geqslant n}\) ?
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(\displaystyle x=1+\left(1-\frac{2}{n}\right) x\).
On pose \(x_{k}=\mathbb{E}(X_{k})-x\). Établir une relation entre \(x_{k+1}\) et \(x_{k}\). En déduire une expression de \(x_{k}\) en fonction de \(k, n\) et \(x_{n}\).
Déterminer une expression de \(\mathbb{E}(X_{k})\) en fonction de \(k, x, n\) et \(\mathbb{E}(X_{n})\).
Calculer la limite de \(\mathbb{E}(X_{k})\) lorsque \(k\) tend vers \(+\infty\) et donner une interprétation de la valeur obtenue.
Dans cet exercice une fonction \(f\) est dite dérivable sur un segment \([a, b]\) (avec \(\left.(a, b) \in \mathbb{R}^{2}, a<b\right)\) si :
la fonction \(f\) est dérivable sur \(] a, b[\),
la fonction \(f^{\prime}\) admet une limite finie, notée \(f^{\prime}(a)\), quand \(t\) tend vers \(a\) avec \(t>a\),
la fonction \(f^{\prime}\) admet une limite finie, notée \(f^{\prime}(b)\), quand \(t\) tend vers \(b\) avec \(t<b\).
On fixe une fonction \(f_{0}\) définie sur \(\mathbb{R}\) de sorte qu’il existe des fonctions \(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}, \ldots\) définies par récurrence de la manière suivante : \[\text { pour tout } n \in \mathbb{N}, \ f_{n+1}(t)= \begin{cases}t f_{n}^{\prime}(t) & \text { si } t \in[0,1] \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon }\end{cases}\]
Le but de cet exercice est de montrer, à partir de deux fonctions \(f_{0}\) particulières, qu’il existe une constante \(c_{n}\) telle que la fonction \(c_{n} f_{n}\) puisse être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoire que l’on notera \(X_{n}\).
Dans cette partie, on fixe un réel \(\alpha\) supérieur ou égal à 1 et on définit la fonction \(f_{0}\) par : \[f_{0}(t)= \begin{cases} \left( \alpha+1 \right) t^{\alpha} & \text { si } t \in[0,1] \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon}\end{cases}\]
Montrer que la fonction \(f_{0}\) peut être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoire notée \(X_{0}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\).
Montrer que la fonction \(f_{0}\) est dérivable sur \([0,1]\) à l’aide de la définition donnée en début d’énoncé.
Montrer que \(f_{n}=\alpha^{n} f_{0}\) sur \(\mathbb{R}\), où \(f_{n}\) est définie par la relation (2).
En déduire un réel positif \(c_{n}\) tel que la fonction \(c_{n} f_{n}\) puisse être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoire \(X_{n}\).
Justifier que la variable aléatoire \(X_{n}\) suit la même loi que la variable aléatoire \(X_{0}\).
Dans la suite, on note \(X_{\alpha}\) une variable aléatoire suivant la même loi que \(X_{0}\) et \(F_{X_{\mathrm{\alpha}}}\) sa fonction de répartition.
Soit \(x \in \mathbb{R}\). Déterminer \(F_{X_{\alpha}}(x)\) en distinguant les cas \(x \leqslant 0, \ x \in[0,1]\) et \(x>1\).
Déterminer, si elle existe, la variance de \(X_{\alpha}\) notée \(\mathbb{V}(X_{\alpha})\).
Dans cette partie, on considère la fonction \(f_{0}\) définie par :
\[f_{0}(t)= \begin{cases} \mathrm{e}^{t} & \text { si } t \in[0,1] \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}\]
On admet les trois résultats suivants :
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la fonction \(f_{n}\) définie par la relation (2) existe, est continue sur \([0,1]\), dérivable sur \([0,1]\) et la fonction \(f_{n}^{\prime}\) est continue sur \([0,1]\).
Il existe des fonctions polynomiales \(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}, \ldots\) définies par la relation de récurrence : \[P_0=1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in\mathbb{R},\ P_{n+1}(x) = x \left[ P_n'(x) + P_n(x) \right]\]
Pour tout \(n \in \mathbb{N}, P_{n}\) est positive sur \([0,1]\) et \(P_{n}^{\prime}(1) \geqslant 0\).
Déterminer un réel \(c_{0}\) tel que la fonction \(c_{0} f_{0}\) puisse être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoire notée \(X_{0}\).
Déterminer, si elle existe, l’espérance de \(X_{0}\) notée \(\mathbb{E}(X_{0})\).
Exprimer \(\displaystyle \int_{0}^{1} f_{n+1}(t) \, \mathrm{d} t\) en fonction de \(f_{n}(1)\) et \(\displaystyle \int_{0}^{1} f_{n}(t) \, \mathrm{d} t\).
Par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\), montrer que: \(\forall t \in[0,1], \ f_{n}(t)=P_{n}(t) \,\mathrm{e}^{t}\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), vérifier que \(f_{n+1}(1)=f_{n}(1)+\mathrm{e}\, P_{n}^{\prime}(1) \geqslant f_{n}(1)\).
À l’aide des questions 7 et 9, montrer que : pour tout \(\displaystyle n \in \mathbb{N}, \ 0<\int_{0}^{1} f_{n}(t) \, \mathrm{d} t<f_{n}(1)\).
En déduire un réel positif \(c_{n}\) tel que la fonction \(c_{n} f_{n}\) puisse être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoire \(X_{n}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet sans grand intérêt et bien trop difficile pour les candidats de la filière technologique.