On considère les matrices suivantes de \(M_{3}(\mathbb{R})\) : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad K=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
Calculer \(J^{2}\) puis vérifier que \(J^{3}=2 J\).
En déduire les valeurs propres possibles de \(J\).
Vérifier que les colonnes de la matrice \(P\) sont des vecteurs propres de \(J\).
On pose \(D_{1}=\begin{pmatrix}-\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\end{pmatrix}\). Montrer que \(J P=P D_{1}\) et en déduire que \(J\) est diagonalisable.
En déduire que \(J^{2} P=P D_{1}^{2}\).
Dans toute la suite de l’exercice, on considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\).
Vérifier que \(K=J^{2}-I\).
Montrer qu’il existe des réels \(a, b, c\) tels que \(A=a I+b J+c K\).
En déduire que \(A=J^{2}+2 J\) puis établir l’existence d’une matrice diagonale \(D_{2}\) que l’on explicitera, telle que \(A P=P D_{2}\).
Compléter le script Python suivant pour
qu’il calcule et affiche la matrice \(A^{n}\) pour une valeur de l’entier naturel
\(n\) entrée par
l’utilisateur.
Pour \(n=2\), le script précédent renvoie : \(A^{2}=\begin{pmatrix}6 & 8 & 6 \\ 8 & 12 & 8 \\ 6 & 8 & 6\end{pmatrix}\).
Pour \(n=3\), le script précédent renvoie : \(A^{3}=\begin{pmatrix}28 & 40 & 28 \\ 40 & 56 & 40 \\ 28 & 40 & 28\end{pmatrix}\).
Pour \(n=5\), donner, sans calculer \(A^{5}\), un argument permettant de préciser laquelle des deux matrices \(B_{1}\) ou \(B_{2}\) suivantes est renvoyée par ce script : \[B_{1}=\begin{pmatrix} 656 & 928 & 656 \\ 928 & 1312 & 928 \\ 656 & 928 & 656 \end{pmatrix} \quad B_{2}=\begin{pmatrix} 656 & 928 & 656 \\ 928 & 1324 & 928 \\ 656 & 928 & 656 \end{pmatrix}\]
On désigne par \(\lambda\) un réel strictement positif et par \(p\) un réel de \(] 0,1[\).
On considère une variable aléatoire \(Z\) suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Donner sans calcul la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \,\mathrm{d}x\).
Donner sans calcul les valeurs de \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\).
En déduire la valeur des intégrales \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \lambda x \mathrm{e}^{-\lambda x} \,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \lambda x^{2} \mathrm{e}^{-\lambda x} \,\mathrm{d}x\).
On considère la fonction \(f\) définie par: \(f(x)=\begin{cases} \lambda \left( 1-p\right) \mathrm{e}^{-\lambda x}+\lambda^{2} p \, x \, \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text {si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text {si } x<0 \end{cases}\).
Utiliser les questions précédentes pour montrer la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}x\) et donner sa valeur.
En déduire que \(f\) est une densité de probabilité.
On désigne par \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\). Montrer que \(X\) possède une espérance et donner sa valeur.
On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).
Montrer, grâce à une intégration par parties, que l’on a : \[\forall x \geqslant 0, \int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{-\lambda t} \,\mathrm{d}t=\frac{1}{\lambda^{2}}\left(1- \left( 1+\lambda x \right) \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)\]
En déduire l’expression explicite de \(F(x)\) pour tout réel \(x\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}\) par : \(f(x)=\begin{cases} x \, \mathrm{e}^{-1 / x} & \text {si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text {si } x=0 \end{cases}\).
Calculer \(\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\) et en déduire que \(f\) est continue à droite en 0.
Calculer \(\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{f(x)}{x}\) et en déduire que \(f\) est dérivable à droite en 0 et donner le nombre dérivé à droite de \(f\) en 0 , noté \(f_{d}^{\prime}(0)\).
Déterminer, pour tout réel \(x\) de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), l’expression de \(f^{\prime}(x)\) en fonction de \(x\), où \(f^{\prime}\) désigne la fonction dérivée de \(f\).
Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) puis donner les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine de définition puis dresser le tableau de variations de \(f\).
Vérifier que, pour tout réel \(x\) de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), on a \(\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x^{3}} \, \mathrm{e}^{-1 / x}\). La fonction \(f\) est-elle convexe ou concave sur \(\mathbb{R}_{+}\)?
Calculer \(\displaystyle \lim _{u \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-u}-1}{u}\).
En déduire que \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-(x-1))=0\).
On note \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé. Donner l’équation de la droite asymptote à \((C)\) au voisinage de \(+\infty\) et tracer l’allure de \((C)\).
On définit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) par la donnée de son premier terme \(u_{0}=1\) et par la relation de récurrence \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\), valable pour tout entier naturel \(n\).
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n}>0\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.
En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et donner sa limite.
Compléter les commandes suivantes pour qu’elles affichent le rang \(n\) à partir duquel \(u_{n} \leqslant 10^{-3}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a la relation : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{u_{k}}=-\ln( u_{n+1})\).
En déduire que la série de terme général \(\dfrac{1}{u_{n}}\) est divergente.
On rappelle que la probabilité d’un événement \(B\) est notée \(\mathbb{P}( B)\).
On dispose d’une urne \(U_{0}\) contenant deux boules noires et deux boules blanches, et d’urnes \(U_{1}, U_{2}\), \(U_{3}, \ldots\) contenant chacune deux boules blanches.
On effectue des tirages selon le protocole suivant :
On pioche au hasard deux boules dans l’urne \(U_{0}\), une par une et sans remise, et on les place dans l’urne \(U_{1}\).
On pioche au hasard deux boules dans l’urne \(U_{1}\), une par une et sans remise, et on les place dans l’urne \(U_{2}\).
On pioche au hasard deux boules dans l’urne \(U_{2}\), une par une et sans remise, et on les place dans l’urne \(U_{3}\), et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(X_{n}\) le nombre de boules noires contenues dans l’urne \(U_{n}\) après y avoir introduit les boules piochées dans l’urne \(U_{n-1}\), mais avant de procéder au tirage suivant. On pose \(X_{0}=2\).
Montrer que la loi de la variable aléatoire \(X_{1}\) est donnée par : \[\mathbb{P}( X_{1}=1 )=\frac{2}{3}, \quad \text{et} \quad \mathbb{P}( X_{1}=2 )=\mathbb{P}( X_{1}=0 )=\frac{1}{6}\]
Calculer l’espérance de \(X_{1}\).
Pour tout entier naturel \(k\), on note \(A_{k}\) l’événement: « on pioche deux boules noires dans l’urne \(U_{k}\) ». Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’événement \([X_{n}=2 ]\) à l’aide de certains des événements \(A_{k}\) et en déduire que : \(\mathbb{P}( X_{n}=2)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n}\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, montrer que l’on a : \[\mathbb{P}( X_{n+1}=1 )=\frac{1}{2} \, \mathbb{P}( X_{n}=1 )+\frac{2}{3} \, \mathbb{P}( X_{n}=2 )\]
Montrer ensuite par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\mathbb{P}( X_{n}=1 )=2\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-2\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\]
Donner la valeur de \(\mathbb{P}( X_{n}=0 )\) en fonction de \(n\).
Calculer, pour tout entier naturel \(n\), l’espérance de \(X_{n}\). Déterminer la limite de cette espérance lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
