On rappelle que :
la probabilité d’un événement \(B\) est notée \(\mathbb{P}(B)\) et si \(C\) est un événement de probabilité non nulle, on note \(\mathbb{P}_C(B)\) la probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(C\) ;
l’univers des résultats observables est noté \(\Omega\) et si \(Z\) est une variable aléatoire, on note \(Z(\Omega)\) l’ensemble des valeurs prises par \(Z\) ;
sous réserve d’existence, on note respectivement \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\) l’espérance et la variance de \(Z\).
On note \(\mathrm{I}_3\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et on considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}\).
Montrer que \(A^{3} - 3 A^{2}\) est proportionnelle à \(\mathrm{I}_3\).
En déduire que \(A\) est inversible, puis exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(A^{2}\).
Écrire une instruction Python
permettant de saisir la matrice \(A\).
En utilisant 1b, proposer une instruction
Python qui permet de calculer \(A^{-1}\).
On rappelle que, par convention, \(A^{0} = \mathrm{I}_3\).
Justifier que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\), on a : \(\displaystyle A^{n} = 3A^{n-1} + \frac{9}{4}\,
A^{n-3}\), puis compléter le script
Python suivant afin qu’il permette de saisir
\(A\), puis de calculer et d’afficher
\(A^{n}\) pour une valeur de \(n\) supérieure ou égale à \(2\) entrée par l’utilisateur.
On admet que la matrice \(A\) possède au moins une valeur propre.
Montrer que, si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors : \(\displaystyle \lambda^{3} - 3\lambda^{2} - \frac{9}{4} = 0\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) = x^{3} - 3x^{2} -\frac{9}{4}\]
En déduire que \(A\) ne possède qu’une seule valeur propre, notée \(\lambda_{0}\), et la placer entre deux entiers consécutifs.
On souhaite démontrer, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, que \(A\) n’est pas diagonalisable.
On suppose donc que \(A\) est diagonalisable, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(D=P^{-1}A P\).
Montrer que \(D^{3} - 3 D^{2} - \frac{9}{4} \, \mathrm{I}_3 = 0\), puis en déduire la matrice \(D\).
Conclure.
On effectue une succession de lancers (supposés indépendants) d’une pièce de monnaie équilibrée pour laquelle la probabilité d’obtenir « Pile » vaut \(\frac{1}{2}\) et celle d’obtenir « Face » vaut également \(\frac{1}{2}\).
On considère la variable aléatoire \(X\), égale au rang d’apparition du premier « Pile » et la variable \(Y\), égale au rang d’apparition du premier « Face ».
Donner la loi commune à \(X\) et \(Y\), ainsi que les valeurs de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire \(X\).
Que vaut \(\mathbb{P}( [X=1] \cap [Y=1] )\) ? En déduire que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
Montrer que, pour tout entier \(j\) supérieur ou égal à \(2\), \(\mathbb{P}( [X=1] \cap [Y=j] ) = \mathbb{P}(Y=j)\).
Montrer que, pour tout entier \(i\) supérieur ou égal à \(2\), \(\mathbb{P}( [X=i] \cap [Y=1] ) = \mathbb{P}(X=i)\).
En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire \(XY\). On précisera \((XY)(\Omega)\).
Montrer que l’espérance de \(XY\) existe, puis donner sa valeur.
Calculer la covariance de \(X\) et \(Y\). En déduire que la variance de \(X + Y\) est égale à \(2\).
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X + Y\). On précisera \((X + Y)(\Omega)\).
Montrer que les variables aléatoires \(X + Y\) et \(XY +1\) sont de même loi.
On décide de coder « Pile » par \(1\) et « Face » par \(0\). Compléter le script
Python suivant afin qu’il permette le calcul
et l’affichage des valeurs prises par les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) lors de l’expérience réalisée dans cet
exercice.
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[\forall x \in \left[1 ,{+\infty}\right[, \ f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{e}^t}{t} \, \mathrm{d}t\]
On ne cherchera pas à déterminer explicitement \(f(x)\).
Soit \(x\) un réel supérieur ou égal à \(1\).
Minorer \(\dfrac{1}{t}\) pour tout \(t\) de \([1,x]\), puis montrer que, pour tout \(x\) de \(\left[1,{+\infty}\right[\), on a : \[f(x) \geqslant \dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}}{x}\]
En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
Justifier l’existence, sur \([1,{+\infty}[\), de la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) et montrer que, pour tout \(x\) de \(\left] 1,{+\infty}\right[\), on a :
\[f'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}\]
Montrer que la fonction \(f\) est convexe sur \(\left] 1,{+\infty}\right[\).
Quelle est l’équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(1\) ?
Dans la suite, on se propose de montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} xf(x)\, \mathrm{e}^{-x} = 1\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(g\) définie par : \[\forall t \in \left] 1,{+\infty}\right[, \ g(t) = \frac{\mathrm{e}^t}{t^{3}}\]
En déduire l’encadrement : \[0 \leqslant \int_{1}^{3} g(t)\, \mathrm{d}t\leqslant 2 \, \mathrm{e}\]
Montrer que, pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à \(3\), on a l’encadrement : \[0 \leqslant \int_{3}^{x} g(t) \, \mathrm{d}t\leqslant \frac{x-3}{x^{3}} \, \mathrm{e}^x\]
Grâce à une intégration par parties, montrer que, pour tout réel \(x\) de \(\left] 1,{+\infty}\right[\), on a : \[f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x} - \mathrm{e}+ \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{e}^t}{t^{2}} \, \mathrm{d}t\]
À l’aide d’une deuxième intégration par parties, établir l’égalité suivante : \[\forall x \in \left] 1,{+\infty}\right[, \ f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x} + \frac{\mathrm{e}^x}{x^{2}} - 2\, \mathrm{e}+ 2\int_{1}^{x} g(t) \, \mathrm{d}t\]
Utiliser les questions précédentes pour déterminer un encadrement de \(f(x)\) qui soit valable pour tout réel \(x\) de \(\left[3,{+\infty}\right[\).
En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} xf(x) \,\mathrm{e}^{-x} = 1\).
Les questions 4, 5 et 6 sont indépendantes des questions 1, 2 et 3.
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières positives d’un axe d’origine \(O\).
Au départ, le mobile est à l’origine (point d’abscisse \(0\)). Le mobile se déplace selon la règle suivante : s’il est sur le point d’abscisse \(k-1\) (\(k \in \mathbb{N}^{*}\)) à l’instant \(n\) (\(n \in \mathbb{N}\)), alors, à l’instant \(n+1\), il sera sur le point d’abscisse \(k\) avec la probabilité \(\dfrac{k}{k+1}\) ou sur le point d’abscisse \(0\) avec la probabilité \(\dfrac{1}{k+1}\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on note \(A_{n}\) la variable aléatoire égale à l’abscisse de ce point à l’instant \(n\).
On a donc \(A_{0} = 0\).
On note \(U\) l’instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l’origine (sans compter son positionnement au départ) et on admet que \(U\) est une variable aléatoire. On convient que \(U\) prend la valeur \(0\) si le mobile ne revient jamais en \(O\).
Voici deux exemples :
Si les abscisses successifs du mobile après son départ sont \(A_{1} = 0\), \(A_{2} = 0\), \(A_{3} = 1\), \(A_{4} = 2\), \(A_{5} = 0\), \(A_{6} = 0\), alors l’événement \([U = 1]\) est réalisé.
Si les abscisses successifs du mobile après son départ sont \(A_{1} = 1\), \(A_{2} = 2\), \(A_{3} = 3\), \(A_{4} = 0\), \(A_{5} = 0\), \(A_{6} = 1\), alors l’événement \([U = 4]\) est réalisé.
Justifier que, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \[\mathbb{P}_{[A_{i-1} = i-1]}(A_{i} = i) = \frac{i}{i+1} \quad \quad\text{et}\quad\quad \mathbb{P}_{[A_{i-1} = i-1]} (A_{i} = 0) = \frac{1}{i+1}\]
Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), exprimer l’événement \([U = k]\) en fonction d’événements mettant en jeu certaines des variables aléatoires \(A_{i}\).
Sans chercher à trouver la loi des variables aléatoires \(A_{1},\dots,A_{k}\), déduire des questions précédentes que : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(U = k) = \frac{1}{k \left( k+1 \right)}\]
Simplifier \(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\), puis vérifier que \(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(U = k) = 1\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(U = 0)\).
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \(\mathbb{P}(U > n) = \dfrac{1}{n+1}\).
On rappelle que si \(j\) est un
entier naturel non nul la commande Python
rd.randint(1,j+1) renvoie aléatoirement un
entier compris entre \(1\) et \(j\).
Compléter les commandes du script Python
suivant afin qu’il calcule et affiche la valeur prise par \(U\) lors de l’expérience aléatoire
étudiée.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{{(x+1)}^{2}} &\text{si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } x < 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité.
On considère désormais une variable aléatoire \(T\) qui admet \(f\) pour densité.
Montrer que la fonction de répartition de \(T\) est la fonction \(F\) définie par : \[F(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{x+1} & \text{si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } x < 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
On appelle partie entière du réel \(x\), notée \(\left\lfloor x \right\rfloor\), le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\).
On a ainsi : \(\left\lfloor x \right\rfloor \leqslant x < \left\lfloor x \right\rfloor + 1\). Par exemple, si \(x = 4{,}7\), alors \(\left\lfloor 4{,}7 \right\rfloor = 4\), et si \(x = 6\), alors \(\left\lfloor x \right\rfloor = 6\).
On note \(N = \left\lfloor T \right\rfloor + 1\) et on admet que \(N\) est une variable aléatoire.
Montrer que \(N\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), puis justifier que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \[\mathbb{P}(N = n) = \mathbb{P}(n-1 \leqslant T < n)\]
En déduire : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(N = n) = \frac{1}{n(n+1)}\]
Expliquer pourquoi le script Python de
la question 3 donne une simulation de \(N\).
Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à \(1\). Montrer que : \[\int_{k}^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \leqslant \frac{1}{k}\]
La variable aléatoire \(N\) possède-t-elle une espérance ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
