ESCP 2018ECT

L’épreuve est constituée de quatre exercices indépendants. Dans les exercices 3 et 4 :

• la probabilité d’un événement \(J\) est notée \(\mathbb{P}(J)\). Si \(C\) est un événement de probabilité non nulle, on note \(\mathbb{P}_C(J)\) la probabilité conditionnelle de \(J\) sachant \(C\);

• on note \(\Omega\) l’univers des résultats observables et si \(T\) est une variable aléatoire, on note \(T(\Omega)\) l’ensemble des valeurs prises par \(T\);

• sous réserve d’existence, on note respectivement \(\mathbb{E}(T)\) et \(\mathbb{V}(T)\) l’espérance et la variance de \(T\).

Exercice 1

On note \(\mathcal{E}\) l’ensemble des matrices \(M=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\) à coefficients réels telles que : \(a+d=ad-bc=0\).

1. 1. \(\mathcal{E}\) contient-il des matrices inversibles ?

   2. Vérifier que les matrices \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) appartiennent à \(\mathcal{E}\).

   3. En déduire que la somme et le produit de deux matrices de \(\mathcal{E}\) n’appartiennent pas nécessairement à \(\mathcal{E}\).

   4. Soit \(M= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) une matrice de \(\mathcal{E}\).

      Déterminer la matrice \(M^2\) et en déduire pour tout entier \(n \geqslant 2\), la matrice \(M^n\).

2. Dans la suite de cet exercice, on note : \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad I= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

   1. Justifier l’inversibilité de la matrice \(A\).

   2. Vérifier que la matrice \(K=A-3I\) appartient à \(\mathcal{E}\).

   3. On rappelle que si \(B\) est une matrice carrée d’ordre 2, on pose par convention \(B^0=I\).

      1. Exprimer pour tout entier naturel \(n\), la matrice \(A^n\) en fonction de \(n\), \(I\) et \(K\).

      2. Donner l’expression de \(A^n\) sous forme d’un tableau matriciel.

3. 1. Prouver qu’il existe un unique couple \((\alpha,\beta)\) de réels, que l’on déterminera, tel que : \[A^2+\alpha A+ \beta I=0\]

   2. Retrouver ainsi le fait que \(A\) est inversible et montrer que : \[A^{-1} = \frac{1}{3}\,I - \frac{1}{9}\,K\]

   3. En déduire que \(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3} \, I-\frac{1}{9}\, K\) et vérifier que la formule trouvée à la question 2.c)(i) pour tout \(n \in \mathbf{N}\) est encore valide pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).

4. 1. Montrer que la seule valeur propre possible \(\lambda\) de \(A\) est \(\lambda=3\).

   2. Vérifier que le réel 3 est effectivement valeur propre de \(A\); déterminer l’ensemble des vecteurs propres associés à cette valeur propre.

Exercice 2

Dans tout cet exercice, on note : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_n = \int_1^\mathrm{e}t \left[ \ln(t) \right]^n \mathrm{d}t\]

1. 1. Calculer \(I_0\).

   2. Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ I_n \geqslant 0\).

   3. Montrer que la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante puis qu’elle est convergente.

2. 1. Pour tout entier naturel \(n\), soit \(f_n\) la fonction définie sur l’intervalle \([1, \mathrm{e}]\) par : \[\forall t \in[1, \mathrm{e}], \ f_n(t)=\left[ \ln( t) \right]^{n+1}\] On note \(f_n^{\prime}\) la dérivée de la fonction \(f_n\). Pour tout \(t \in[1, \mathrm{e}]\), calculer \(f_n^{\prime}(t)\).

   2. À l’aide d’une intégration par parties, prouver la relation \((*)\) suivante : \[2I_{n+1} + \left( n+1 \right) I_n = \mathrm{e}^2 \qquad \qquad (*)\]

   3. En déduire la valeur de \(I_1\).

   4. En utilisant \((*)\) et la monotonie de \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\), établir : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \frac{\mathrm{e}^2}{n+3} \leqslant I_n \leqslant \frac{\mathrm{e}^2}{n+2}\]

   5. En déduire la limite de \(I_n\) puis de \(nI_n\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).

   6. Compléter le programme Python suivant pour qu’il calcule et affiche \(I_n\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.

3. 1. Établir : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \frac{\left( 3n+10 \right) \mathrm{e}^2}{(n+3)(n+4)} \leqslant 2I_{n+1}+ I_n \leqslant \frac{\left( 3n+7 \right) \mathrm{e}^2}{(n+2)(n+3)}\]

   2. Prouver que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}n \left( \mathrm{e}^2 - nI_n \right) = 3\,\mathrm{e}^2\]

4. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_n = \frac{(-1)^n n!}{2^{n+1}} \left[ \mathrm{e}^2 \sum_{k=0}^n \frac{(-2)^k}{k!} - 1 \right]\]

Exercice 3

On suppose que l’on dispose d’un stock illimité de boules rouges et de boules blanches indiscernables au toucher. Une urne contient initialement une boule rouge et une boule blanche indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une succession d’expériences aléatoires selon le protocole suivant: on extrait une boule de l’urne et après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l’urne et on ajoute dans l’urne une boule de la même couleur que la boule tirée.

Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(X_{n}\) (respectivement \(Y_{n}\)) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (respectivement blanches) contenues dans l’urne à l’issue de la \(n\)-ième expérience, c’est-à-dire après le tirage d’une boule et la remise d’une boule supplémentaire.

Pour tout entier \(k \geqslant 1\), on note \(R_{k}\) (respectivement \(B_{k}\)) l’événement : « tirer une boule rouge (respectivement blanche) lors du \(k\)-ième tirage ».

1. 1. Justifier que \(X_{1}(\Omega)=\left[\!\left[1,2\right]\!\right]\). Donner la loi de \(X_{1}\). Calculer \(\mathbb{E}(X_1)\) et \(\mathbb{V}\!\left(X_{1}\right)\).

   2. Exprimer les événements \(\left[X_{2}=1\right],\left[X_{2}=2\right]\) et \(\left[X_{2}=3\right]\) en fonction des événements \(B_{1}, B_{2}, R_{1}\) et \(R_{2}\).

   3. Montrer que \(X_{2}\) suit la loi discrète uniforme sur \(\left[\!\left[1,3\right]\!\right]\). En déduire \(\mathbb{E}\! \left(X_{2}\right)\) et \(\mathbb{V}\!\left(X_{2}\right)\).

2. 1. Donner sous forme de tableau la loi conjointe du couple \(\left(X_{1}, X_{2}\right)\).

   2. Calculer la covariance de \(X_{1}\) et \(X_{2}\). Les variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont-elles indépendantes?

3. 1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), exprimer l’événement \(\left[X_{n}=1\right]\) en fonction des événements \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}\).

   2. Montrer que \(\mathbb{P}( X_{n}=1 )=\dfrac{1}{n+1}\). De même, calculer \(\mathbb{P}( X_{n}=n+1 )\).

4. 1. Établir pour tout entier \(k \in \left[\!\left[2, n+1\right]\!\right]\), les égalités suivantes : \[\mathbb{P}_{\left[X_{n}=k-1\right]} \! \left( X_{n+1}=k \right)=\frac{k-1}{n+2} \quad \text{et} \quad \mathbb{P}_{\left[X_{n}=k\right]} \! \left( X_{n+1}=k \right)=\frac{n+2-k}{n+2}\]

   2. En déduire pour tout \(k \in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\), une relation entre \(\mathbb{P}\! \left( X_{n+1}=k \right)\), \(\mathbb{P}\! \left( X_{n}=k \right)\) et \(\mathbb{P}\! \left( X_{n}=k-1 \right)\).

   3. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\), la variable aléatoire \(X_{n}\) suit la loi discrète uniforme sur \(\left[\!\left[1, n+1\right]\!\right]\).

5. Compléter le programme Python suivant afin qu’il simule une réalisation de la variable aléatoire \(X_{n}\) où l’entier \(n\) est entré au clavier.

6. 1. Justifier que les variables aléatoires \(X_{n}\) et \(Y_{n}\) sont de même loi.

   2. Pour tout entier \(n \geqslant 1\), que vaut \(X_{n}+Y_{n}\) ?

   3. Quel est le coefficient de corrélation linéaire \(\rho \! \left(X_{n}, Y_{n}\right)\) de \(X_{n}\) et \(Y_{n}\) ?

Exercice 4

Dans tout l’exercice, \(\lambda\) désigne un réel strictement positif.

1. Soit \(Z\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) dont une densité \(g\) est donnée par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ g(x)= \begin{cases} \lambda \, \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \end{cases}\]

   Rappeler les valeurs respectives de \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\); en déduire la valeur de \(\mathbb{E}\!\left(Z^{2}\right)\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)= \begin{cases} \lambda^{2} x \, \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0\hfill & \text { si } x<0 \end{cases}\]

   1. Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité.

      Dans toute la suite de l’exercice, on note \(U\) une variable aléatoire de densité \(f\).

   2. Montrer que la variable aléatoire \(U\) admet une espérance dont on donnera la valeur.

3. 1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout réel \(A>0\), on a : \[\int_{0}^{A} x^{3} \, \mathrm{e}^{-\lambda x} \, \mathrm{d} x=-\frac{A^{3}}{\lambda} \, \mathrm{e}^{-\lambda A}+\frac{3}{\lambda} \int_{0}^{A} x^{2} \, \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x\]

   2. En déduire l’égalité \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{3}\, \mathrm{e}^{-\lambda x} \, \mathrm{d} x=\frac{6}{\lambda^{4}}\) ainsi que l’existence de la variance de \(U\).

   3. Calculer \(\mathbb{V}(U)\).

4. On note \(F\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(U\). On rappelle que: \[\forall x \in \mathbb{R}, \ F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\, \mathrm{d} t\]

   1. Établir la relation: \(\forall x \in \mathbb{R}, \ F(x)=\begin{cases} 1- \left( 1+\lambda x \right) \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \end{cases}\).

   2. Justifier l’égalité : \(\mathbb{P}( |U- \mathbb{E}(U)| \leqslant \mathbb{E}(U))= \mathbb{P}\! \left( 0 \leqslant U \leqslant \frac{4}{\lambda} \right)\).

   3. Sachant que \(\mathrm{e}^{4} \approx 54.6\), établir l’inégalité : \(\mathbb{P}( |U- \mathbb{E}(U)| \leqslant \mathbb{E}(U))>0.9\).

5. On suppose dans cette question que le paramètre \(\lambda\) est inconnu.

   On pose \(a=\frac{1}{\lambda}\) et on veut estimer ponctuellement le paramètre inconnu \(a\).

   Soit \(\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que \(U\).

   Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose : \(\displaystyle \overline{U}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} U_{k}\).

   1. Construire à partir de \(\overline{U}_{n}\) un estimateur \(W_{n}\) du paramètre \(a\) dont l’espérance est égale à \(a\).

   2. Calculer \(\mathbb{V}\!\left(W_{n}\right)\) et déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{V}\! \left(W_{n}\right)\).

   3. En déduire que l’on a : \(\displaystyle \forall \varepsilon>0, \ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left( \left|W_{n}-a\right| \geqslant \varepsilon \right)=0\).