ESCP 2017ECT

Exercice 1

Soit \(M\) et \(I\) les matrices d’ordre 3 définies par: \(M=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\) et \(I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).

1. 1. Calculer \(M^{2}\) et \(M^{3}\) et en déduire à l’aide d’un raisonnement par l’absurde que \(M\) n’est pas inversible.

   2. Pour tout entier \(n \geqslant 3\), déterminer \(M^{n}\).

   3. Calculer \((I-M)\left(I+M+M^{2}\right)\). En déduire que \((I-M)\) est inversible et donner son inverse \((I-M)^{-1}\).

   4. Déterminer un polynôme annulateur de la matrice \(M\).

   5. En déduire la seule valeur propre possible de \(M\).

2. On pose : \(S=M+I\).

   1. À l’aide de la formule du binôme, exprimer pour tout \(n \in \mathrm{N}\), la matrice \(S^{n}\) en fonction de \(I, M\) et \(M^{2}\).

   2. Déterminer la deuxième colonne de la matrice \(S^{n}\).

3. Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0},\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) et \(\left(w_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) les trois suites définies par : \[u_{0}=0, \ v_{0}=1 ,\ w_{0}=0 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \ \begin{cases} u_{n+1}=3 u_{n}+v_{n} \\ v_{n+1}=-3 u_{n}+w_{n} \\ w_{n+1}=u_{n} \end{cases}\]

   1. Établir pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l’égalité : \(\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ v_{n+1} \\ w_{n+1}\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}u_{n} \\ v_{n} \\ w_{n}\end{pmatrix}\).

   2. En déduire pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la relation : \(\begin{pmatrix}u_{n} \\ v_{n} \\ w_{n}\end{pmatrix}=S^{n}\begin{pmatrix}u_{0} \\ v_{0} \\ w_{0}\end{pmatrix}\).

   3. Exprimer \(u_{n}, v_{n}\) et \(w_{n}\) en fonction de \(n\). Montrer que \(u_{n}+v_{n}+w_{n}=1\).

4. Dans cette question, on se propose de déterminer une matrice \(J\) d’ordre 3, triangulaire supérieure, à coefficients diagonaux tous nuls et une matrice \(P\) d’ordre 3, inversible, qui vérifient la relation : \(J=P M P\).

   1. On pose : \(U=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\). Calculer les matrices colonnes \(V\) et \(W\) définies par : \(V=-M U\) et \(W=M^{2} U\).

   2. Soit \(P\) la matrice d’ordre 3 dont la première colonne est \(W\), la deuxième est \(V\) et la troisième est \(U\). Calculer \(P^{2}\); en déduire que \(P\) est inversible et donner son inverse \(P^{-1}\).

   3. Expliciter la matrice \(J=P M P\).

Exercice 2

Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) deux suites définies par : \[u_{1}=1, \ v_{1}=2 \quad \text{et} \quad \forall n \geqslant 1, \ \begin{cases} \displaystyle u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}} \\ \displaystyle v_{n+1}=\frac{v_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

1. Vérifier que \(u_{2}=\frac{1}{3}\) et \(v_{2}=\frac{4}{3}\), puis calculer \(u_{3}\) et \(v_{3}\),

2. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a \(u_{n}>0\) et \(v_{n}>0\).

3. Montrer que les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) sont décroissantes et convergentes.

4. On pose : \(\displaystyle \ell=\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\) et \(\displaystyle \ell^{\prime}=\lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}\).

   1. Montrer que la suite \(\left(u_{n}-v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est constante et en déduire une relation entre \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\).

   2. En utilisant la relation \(u_{n+1}\left(u_{n}+v_{n}\right)=u_{n}^{2}\), montrer que \(\ell \ell^{\prime}=-1\).

   3. Déterminer \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\).

5. Recopier et compléter les lignes (6) et (7) du programme Python suivant afin qu’il calcule et affiche les valeurs de \(u_{n}\) et \(v_{n}\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.

   n=int(input("entrer la valeur de n :"))
   u=1
   v=2
   for k in range(n-1):
       a=u
       u=........
       v=........
   print(u)
   print(v)

6. On considère le programme précédent avec les instructions supplémentaires:

   1. Que contiennent les variables s et y à l’issue du programme?

   2. Ce programme fournit la sortie graphique suivante pour la valeur \(n=10\).

      Quel résultat ce graphique permet-il de conjecturer?

Exercice 3

La probabilité d’un événement \(A\) est notée \(\mathbb{P}(A)\) et sous réserve d’existence, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(U\) sont notées respectivement \(\mathbb{E}(U)\) et \(\mathbb{V}(U)\).

Soit \(a\) un réel vérifiant \(-\frac{1}{2} \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}\) et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1-a}{2} & \text { si }-1 \leqslant x \leqslant 0 \\ \displaystyle \frac{1+a}{2} & \text { si } 0<x \leqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).

1. Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité.

   Dans la suite de l’exercice, on note \(X\) une variable aléatoire admettant \(f\) comme densité et on suppose que le paramètre a est inconnu.

2. Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et montrer que \(\displaystyle \mathbb{V}(X)=\frac{4-3 a^{2}}{12}\).

3. Déterminer la fonction de répartition \(F_{X}\) de la variable aléatoire \(X\).

4. Pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^{*}\), on considère \(n\) variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) indépendantes et suivant toutes la même loi que \(X\). Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose : \(\displaystyle \overline{X}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\).

   1. Montrer que l’espérance de la variable aléatoire \(Y_{n}=2 \overline{X}_{n}\) est égale à \(a\).

   2. Calculer la variance de \(Y_n\).

   3. Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à \(Y_{n}\), établir l’inégalité: \[\mathbb{P}\! \left( \left| Y_{n}-a \right| \leqslant \varepsilon\right) \geqslant 1-\frac{4}{3 n \varepsilon^{2}}\]

5. Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on définit les variables aléatoires \(Z_{n}\) et \(T_{n}\) par:

   • \(Z_{n}\) est le nombre de variables aléatoires parmi \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) qui prennent des valeurs inférieures ou égales à \(\frac{1}{2}\);

   • \(T_{n}\) est le nombre de variables aléatoires parmi \(X_{1}, X_{2} \ldots, X_{n}\) qui prennent des valeurs strictement supérieures à \(\frac{1}{2}\).

   Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose : \(W_{n}=1+\frac{2}{n}\left(T_{n}-Z_{n}\right)\).

   1. Justifier que \(Z_{n}\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B} \! \left(n, \frac{3-a}{4}\right)\) et que \(T_{n}\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B} \! \left(n, \frac{1+a}{4}\right)\).

   2. Vérifier que l’espérance de \(W_{n}\) est égale à \(a\).

   3. Que vaut \(T_{n}+Z_{n}\) ? En utilisant la valeur de \(\mathbb{V}\!\left(T_{n}+Z_{n}\right)\), calculer \(\operatorname{Cov} \! \left(T_{n}, Z_{n}\right)\).

   4. En déduire la valeur de \(\mathbb{V}\! \left(W_{n}\right)\). Quelle est la limite de cette variance lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?

Exercice 4

On pose \(\displaystyle I_{0}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}} \,\mathrm{d}x\) et pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{-x^{2}} \,\mathrm{d}x\).

1. 1. Établir pour tout \(x \in[0,1]\), l’encadrement : \(0 \leqslant \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant 1\).

   2. En déduire que pour tout entier naturel \(n,\) on a : \(\displaystyle 0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}\).

   3. Déterminer la limite de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0,1]\) par : \(\forall x \in[0,1], f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}\). On note \(f^{\prime}\) la dérivée de \(f\).

   1. Pour tout \(x \in[0,1]\), calculer \(f^{\prime}(x)\).

   2. En déduire que \(\displaystyle I_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \mathrm{e}}\).

3. 1. En utilisant l’identité \(x^{n+2} \mathrm{e}^{-x^{2}}=x^{n+1} \times x \, \mathrm{e}^{-x^{2}}\) et à l’aide d’une intégration par parties, établir pour tout entier naturel \(n\), la relation: \(\displaystyle I_{n+2}=\frac{n+1}{2} \, I_{n}-\frac{1}{2 \mathrm{e}}\).

   2. Déterminer la limite de \(n I_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

4. Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(\displaystyle u_{n}=\frac{I_{2 n+1}}{n !}\).

   1. Établir la relation : \(\displaystyle u_{n+1}=u_{n}-\frac{1}{2 \mathrm{e}} \times \frac{1}{(n+1) !} \cdot\) En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle u_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \mathrm{e}} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\).

   2. Donner sous forme de somme, l’expression de \(I_{2 n+1}\) en fonction de \(n\).

   3. Vérifier que pour tout entier \(k \geqslant 1\), on a : \(I_{2 k+1}=k I_{2 k-1}-\frac{1}{2 \mathrm{e}}\). À l’aide de cette relation et de la valeur de \(I_{1}\), compléter le script Python suivant afin qu’il calcule et affiche la valeur de \(I_{2 n+1}\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.