On considère l’ensemble \(\mathcal{E}\) des matrices \(A=\displaystyle\begin{pmatrix} a_1& a_2& a_3 \cr b_1&b_2& b_3 \cr c_1& c_2& c_3 \end{pmatrix}\) appartenant à \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que : \[a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3=c_1+c_2+c_3=a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2=a_3+b_3+c_3.\]
Pour toute matrice \(A\) appartenant à \(\mathcal{E}\), on note \(s(A)\) la valeur commune de ces six sommes.
Enfin, on note : \[I=\displaystyle\begin{pmatrix} 1&0&0\cr0&1&0 \cr 0&0&1\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad J=\displaystyle\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&1&1\cr 1&1&1\end{pmatrix}.\]
Vérifier que \(I\) et \(J\) appartiennent à \({\cal E}\) et donner les valeurs de \(s(I)\) et \(s(J)\).
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(K\) la matrice définie par : \[K=\displaystyle\begin{pmatrix}\,1&a&b \cr \!\!\!-2&5&3 \cr \;a &\!\!\!-6& 5\end{pmatrix}.\] Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que \(K\) appartienne à \({\cal E}\).
Soit \(M=\displaystyle\begin{pmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{pmatrix}\) une matrice appartenant à \(\mathcal{E}\). Montrer que la seule connaissance de \(a,b,c,d,e\) détermine entièrement la matrice \(M\).
Soit \(A=\displaystyle\begin{pmatrix} x_1& x_2& x_3 \cr y_1&y_2& y_3 \cr z_1& z_2& z_3\end{pmatrix}\) une matrice appartenant à \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).
Montrer que : \[A\in\mathcal{E} \Leftrightarrow AJ=JA.\]
On suppose que \(A\) appartient à \(\mathcal{E}\). Exprimer \(AJ\) en fonction de \(s(A)\) et de \(J\).
Soit \(A\) et \(B\) deux matrices appartenant à \({\cal E}\).
Montrer que, pour tout réel \(\lambda\), \(\lambda A\) appartient à \(\mathcal{E}\).
Prouver que \(A+B\) et \(AB\) appartiennent à \(\mathcal{E}\) et exprimer \(s(A+B)\) et \(s(AB)\) en fonction de \(s(A)\) et de \(s(B)\).
Soit \(A\) une matrice inversible appartenant à \({\cal E}\).
Prouver que : \(s(A)\neq 0\).
Montrer que \(A^{-1}\) appartient à \({\cal E}\) et exprimer \(s(A^{-1})\) en fonction de \(s(A)\).
Soit \(A\) une matrice de \({\cal E}\). On pose : \[B=\frac{s(A)}{3}\,J \quad\text{et}\quad C=A-B.\] On note \({\cal F}\) le sous-ensemble des matrices \(M\) de \({\cal E}\) vérifiant : \(s(M)=0\).
Montrer que \(B\) appartient à \({\cal E}\).
Montrer que : \(BC=CB=0\).
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ (A-B)^n=A^n-B^n.\]
La matrice \(C\) appartient-elle à \({\cal F}\)?
En déduire que toute matrice \(A\) de \({\cal E}\) peut s’écrire comme somme d’une matrice proportionnelle à \(J\) et d’une matrice de \({\cal F}\).
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par : \(\displaystyle u_{0}=\int_{0}^{1} \sqrt{1+t} \;\mathrm{d}t\) et pour tout \(n \geqslant 1\), \(\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1} t^{n} \sqrt{1+t} \;\mathrm{d}t\).
Soit \(f\) la fonction de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(f(t)=(1+t)^{3 / 2}\).
Déterminer la fonction dérivée \(f^{\prime}\) de la fonction \(f\).
En déduire la valeur de \(u_{0}\).
Établir pour tout entier naturel \(n\), l’encadrement suivant : \(\displaystyle 0 \leqslant u_{n} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{n+1}\).
En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est convergente; donner sa limite.
Établir pour tout entier naturel \(n\), à l’aide d’une intégration par parties, la relation suivante : \[u_{n+1}=\frac{4 \sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3} \left( n+1 \right) \int_{0}^{1}\left(t^{n}+t^{n+1}\right) \sqrt{1+t} \,\mathrm{d}t\]
En déduire pour tout entier naturel \(n\), la relation suivante : \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{4 \sqrt{2}-2 \left( n+1 \right) u_{n}}{2 n+5}\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est décroissante.
En déduire pour tout entier naturel \(n\), à l’aide de la question 3b, que : \(u_{n} \geqslant \frac{4 \sqrt{2}}{4 n+7}\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(\displaystyle u_{n+1} \leqslant \frac{4 \sqrt{2}}{4 n+7}\).
Montrer que la suite \(\left(n u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est convergente et calculer sa limite.
On dispose d’une urne contenant quatre boules numérotées \(1,2,3\) et \(4\). On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule avec remise et on suppose qu’à chaque tirage, chacune des boules a la même probabilité d’être tirée.
On note pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, X_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus en \(n\) tirages.
On a donc \(X_{1}=1\) et par exemple, si les premiers tirages donnent \(2,2,1,2,1,4,3\) alors on a : \[X_{1}=1, \ X_{2}=1, \ X_{3}=2, \ X_{4}=2, X_{5}=2, \ X_{6}=3, \ X_{7}=4\]
La probabilité d’un événement \(H\) est notée \(\mathbb{P}(H)\).
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(Z\) sont notées respectivement \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\).
Soit \(A\) la matrice carrée d’ordre 4 définie par : \(A= \begin{pmatrix} 1 / 4 & 0 & 0 & 0 \\ 3 / 4 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 3 / 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 4 & 1 \end{pmatrix}\).
On note pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(U_{n}\) la matrice à 4 lignes et 1 colonne définie par : \(U_{n}= \begin{pmatrix} \mathbb{P}( X_{n}=1 ) \\ \mathbb{P}( X_{n}=2 ) \\ \mathbb{P}( X_{n}=3 ) \\ \mathbb{P}( X_{n}=4 ) \end{pmatrix}\).
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{2}\).
Calculer \(\mathbb{E}\! \left(X_{2}\right)\) et \(\mathbb{V}\! \left(X_{2}\right)\).
On note \(F\) la fonction de répartition de \(X_{2}\). Tracer la courbe représentative de \(F\).
Déterminer \(U_{1}\).
Préciser l’ensemble des valeurs prises par \(X_{n}\).
Établir pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la relation suivante : \(U_{n+1}=A U_{n}\).
On considère les quatre matrices \(V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\) à 4 lignes et 1 colonne, définies par : \[V_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, V_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, V_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, V_{4}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Établir par récurrence, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la relation suivante :
\[U_{n}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} V_{1}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} V_{2}+3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} V_{3}+V_{4}\]
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{n}\).
Calculer pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la valeur de \(\mathbb{E}\! \left(X_{n}\right)\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\! \left(X_{n}\right)\). Commenter.
Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2.
On note \(f_{n}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f_{n}(t)= \begin{cases} n \left( 1-t \right)^{n-1} & \text { si } \hfill 0 \hfill \leqslant t \leqslant 1 \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \end{cases}\).
Calculer \(\displaystyle \int_{0}^{1} f_{n}(t) \, \mathrm{d} t\).
Montrer que la fonction \(f_{n}\) peut être considérée comme une densité de probabilité.
On note \(X_{n}\) une variable aléatoire admettant \(f_{n}\) comme densité et on désigne par \(F_{n}\) la fonction de répartition de \(X_{n}\).
Vérifier que l’on a: \(F_{n}(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ 1-(1-x)^{n} & \text { si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \hfill 1 \hfill & \text { si } x>1 \end{cases}\).
On considère l’équation \(\displaystyle F_{n}(x)=\frac{1}{2}\). Montrer que cette équation admet une unique solution, notée \(M_{n}\), que l’on calculera en fonction de \(n\).
Étudier la convexité de la fonction \(F_{n}\) sur l’intervalle \([0,1]\).
Tracer la courbe représentative de \(F_{2}\) dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Placer le réel \(M_{2}\) sur ce graphique.
On note \(\mathbb{E}\! \left(X_{n}\right)\) l’espérance de \(X_{n}\). Montrer que \(\displaystyle \mathbb{E}\! \left(X_{n}\right)=\frac{1}{n+1}\).
Calculer la variance \(\mathbb{V}\! \left(X_{n}\right)\) de \(X_{n}\) en fonction de \(n\).
On pose : \(Y_{n}=-\ln \! \left(1-X_{n}\right)\), et on admet que \(Y_{n}\) est une variable aléatoire à densité. On note \(G_{n}\) la fonction de répartition de \(Y_{n}\).
Exprimer pour tout \(x\) réel, \(G_{n}(x)\) en fonction de \(x\) et de \(n\).
Reconnaitre la loi de \(Y_{n}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
