Pour tout entier naturel \(n\), on définit la fonction \(h_{n}\) sur \([0,1]\) par la relation suivante : pour tout réel \(x\) de \([0,1]\) : \[h_{n}(x)=\frac{x^{n}}{x^{2}+3 x+2} \text { si } n \text { est supérieur ou égal à } 1 \text {, et } h_{0}(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2}\]
Établir pour tout réel \(x\) de \([0,1]\), l’inégalité : \(x^{2}+3 x+2 \geqslant 2\).
En déduire que la fonction \(h_{n}\) est continue sur \([0,1]\) pour tout entier naturel \(n\).
On définit pour tout \(x\) de \([0,1]\), la fonction \(g\) par \(g(x)=\ln \! \left(\dfrac{x+1}{x+2}\right)\).
On pose pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1} h_{n}(t) \,\mathrm{d}t\).
On note \(g^{\prime}\) la dérivée de \(g\). Montrer que pour tout \(x\) de \([0,1]\), on a : \(\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}\).
En déduire que \(\displaystyle u_{0}=\ln \! \left(\frac{4}{3}\right)\).
On définit pour tout \(x\) de \([0,1]\), la fonction \(k\) par \(k(x)=\ln (x^{2}+3 x+2)\).
Soit \(k^{\prime}\) la dérivée de \(k\). Calculer pour tout \(x\) de \([0,1]\), \(k^{\prime}(x)\). En déduire la valeur de \(2 u_{1}+3 u_{0}\).
Donner la valeur de \(u_{1}\).
Calculer \(u_{2}+3 u_{1}+2 u_{0}\). En déduire la valeur de \(u_{2}\).
Établir pour tout entier naturel \(n\), l’inégalité suivante : \(u_{n} \geqslant 0\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
Établir pour tout entier naturel \(n\), l’inégalité : \(\displaystyle u_{n} \leqslant \frac{1}{2 \left( n+1 \right)}\).
Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).
Calculer pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+2}+3 u_{n+1}+2 u_{n}\) en fonction de \(n\).
En utilisant la monotonie de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\), en déduire pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, l’encadrement suivant : \[\frac{1}{6 \left( n+1 \right)} \leqslant u_{n} \leqslant \frac{1}{6 \left( n-1 \right)}\]
Déterminer la limite de \(n u_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Soit \(A, J\) et \(I\) les trois matrices carrées d’ordre 2 définies par: \[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} , \quad J=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(A=a J+b I\).
Calculer \(J^2\) en fonction de \(J\).
À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir pour tout entier naturel \(n\), la relation suivante : \[A^n=(-2)^n I+\frac{1}{2}\left[4^n-(-2)^n\right] J\]
Donner l’expression explicite de \(A^n\) sous forme d’une matrice d’ordre \(2\).
On note \(\left(v_n\right)_{n \geqslant 0}\) et \(\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}\) les deux suites définies par \(v_0=3\), \(w_0=1\) et les relations suivantes, valables pour tout entier naturel \(n\) : \[\begin{cases} v_{n+1}=v_n+3 w_n \\ w_{n+1}=3 v_n+w_n \end{cases}\] On considère pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), la matrice \(X_n\) à deux lignes et une colonne définie par : \(X_n=\begin{pmatrix}v_n \\ w_n\end{pmatrix}\).
Déterminer \(X_0\).
Établir par récurrence que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(X_n=A^n X_0\).
En déduire l’expression de \(X_n\) en fonction de \(n\).
Calculer les valeurs de \(v_n\) et de \(w_n\) en fonction de \(n\).
On considère la suite \(\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}\) définie par \(u_0=3\) et la relation suivante, valable pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1}=\frac{u_n+3}{3 u_n+1}\]
À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir pour tout entier naturel \(n\), l’égalité suivante : \[u_n=\frac{v_n}{w_n}\]
Donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}\).
La probabilité d’un événement \(A\) est notée \(\mathbb{P}(A)\), et pour tout événement \(B\) vérifiant \(\mathbb{P}(B)\neq 0\), on note \(\mathbb{P}_{B}(A)\) la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\).
Un mobile se déplace aléatoirement le long d’un axe horizontal d’origine \(O\), sur des points à coordonnées entières positives ou nulles.
Les déplacements sont effectués selon le protocole suivant :
à l’instant zéro, le mobile est sur l’origine \(O\) d’abscisse 0 ;
si, pour tout entier naturel \(n\), le mobile se trouve à l’instant \(n\) sur le point d’abscisse \(k\) (\(0 \leqslant k \leqslant n\)), alors il sera à l’instant \(n+1\) soit sur le point d’abscisse \(k+1\) avec la probabilité \(\frac{1}{3}\), soit sur le point \(O\) avec la probabilité \(\frac{2}{3}\). Pour tout entier naturel \(n\), soit \(X_{n}\) la variable aléatoire égale à l’abscisse du mobile à l’instant \(n\). Ainsi, \(X_{0}=0\).
On note \(\mathbb{E}\!\left(X_{n}\right)\) l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(X_{n}\).
Vérifier que \(X_{1}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{3}\). Que vaut \(\mathbb{E}\! \left(X_{1}\right)\) ?
Montrer que l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(X_{2}\) est \(\{0,1,2\}\).
Montrer que l’ensemble \(\left\{\left[X_{1}=1\right],\left[X_{1}=0\right]\right\}\) forme un système complet d’événements. En déduire les égalités suivantes : \[\mathbb{P}( [X_{2}=0)=\frac{2}{3} , \quad \mathbb{P}(X_{2}=1)=\frac{2}{9} \quad \text { et } \mathbb{P}(X_{2}=2)=\frac{1}{9}\]
Calculer \(\mathbb{E}(X_2)\).
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(X_{n}\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 et tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on considère les événements \(\left[X_{n}=k \right]\) et \(\left[X_{n-1}=k-1\right]\).
Établir l’inclusion d’événements suivante: \([X_n = k] \subset X_{n-1}=k-1 ]\).
En déduire l’égalité : \([X_{n}=k]=[X_{n}=k] \cap [ X_{n-1}=k-1 ]\).
Établir l’égalité : \(\mathbb{P}( X_{n}=k ) =\frac{1}{3} \,\mathbb{P}( X_{n-1}=k-1 )\).
Déduire du résultat précédent que l’on a : \(\displaystyle \mathbb{P}( X_{n}=0 )=\frac{2}{3}\).
En utilisant la question 4.(c), montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence sur \(k\), que pour tout entier \(n\) supérieur on égal à 1 et tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). on a : \[\mathbb{P}( X_{n}=k )=\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \, \mathbb{P}(X_{n-k}=0)\]
En déduire pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(\mathbb{P}(X_{n}=n)\) en fonction de \(n\).
Donner pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1, la loi de la variable aléatoire \(X_{n}\).
En utilisant la définition de \(\mathbb{E}(X_n)\) et la question 4.(c), montrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1, on a :
\[\mathbb{E}(X_n) =\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} k \, \mathbb{P}(X_{n-1}=k-1)\]
En déduire la relation de récurrence : \(\mathbb{E}(X_n)=\frac{1}{3} \, \mathbb{E}(X_{n-1})+\frac{1}{3}\).
Déterminer l’expression de \(\mathbb{E}(X_n)\) en fonction de \(n\).
Dans tout l’exercice, on note \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\) respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(Z\).
Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par : \(f(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ x \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} &\text { si } x \geqslant 0 \end{cases}\).
Calculer la dérivée de la fonction \(m\) définie pour tout réel \(x\) positif ou nul par \(: m(x)= \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\).
Soit \(A\) un réel strictement positif. On pose : \(\displaystyle I(A)=\int_{0}^{A} x \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\).
Déduire de la question précédente la valeur de \(I(A)\).
Calculer \(\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} I(A)\).
En déduire que \(f\) peut être considérée comme une densité de probabilité.
On considère dans la suite de l’exercice. une variable aléatoire \(X\) à valeurs positives admettant \(f\) pour densité.
Soit \(U\) une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée (\(\mathbb{E}(U)=0\)), réduite (\(\mathbb{V}(U)=1\)). On rappelle qu’une densité \(g\) de \(U\) est donnée pour tout \(x\) réel par : \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\).
Rappeler la relation liant \(\mathbb{V}(U)\), \(\mathbb{E}(U^{2})\) et \(\left[ \mathbb{E}(U) \right]^{2}\). En déduire la valeur de \(\mathbb{E}(U^2)\).
En écrivant \(\mathbb{E}(U^2)\) sous forme d’intégrale donner la valeur de \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\).
Soit \(h\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(h(x)=x^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\).
Montrer que la fonction \(h\) est paire.
En déduire la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\) et celle de \(\mathbb{E}(X)\).
Soit \(A\) un réel strictement positif.
Montrer, à l’aide dune intégration par parties, l’égalité suivante: \[\int_{0}^{A} x^{3} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x=-A^{2} \,\mathrm{e}^{-\frac{A^{2}}{2}}+2 \int_{0}^{A} x \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\]
En déduire que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{3} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x=2\).
Calculer \(\mathbb{V}(X)\).
On pose : \(Y=\frac{X^{2}}{2}\). On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\) et \(G\) la fonction de répartition de \(Y\).
Établir pour tout réel \(x\) positif. l’égalité suivante : \(G(x)=F(\sqrt{2 x})\).
En déduire que \(Y\) suit la loi exponentielle.
Calculer \(\mathbb{E}(Y)\) et retrouver ainsi la valeur de \(\mathbb{V}(X)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
