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Notations et définitions
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel et \(p,q,r\) désignent des réels strictement positifs tels que : \(p+q+r=1\).
Dans tout le problème, on note \(I_n\) l’ensemble défini par : \[I_n = \{ (k,\ell ) \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]^2 \ / \ k+ \ell \leqslant n \}.\]
Étant donné des entiers naturels \(m,k,\ell\), on définit le coefficient trinomial \(\displaystyle\binom m{k,\ell}\) par : \[\binom m{k,\ell} = \begin{cases} \dfrac{m!}{k!\, \ell ! \left( m-k-\ell\right)!} &\text{si } k+\ell \leqslant m \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } k+\ell >m \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}.\]
Étant donné un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) défini sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), on dit que \((X,Y)\) suit la loi trinomiale de paramètres \(n,p,q,r\) si \((X,Y)\) prend ses valeurs dans \(I_n\) et si : \[\forall (k,\ell) \in I_n,\ \mathbb{P}(X=k,Y=\ell) = \binom n{k,\ell} p^k q^\ell r^{n-k-\ell}.\]
On admettra le lemme de Fubini suivant. Soit \((r_{i,j})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}\) une famille de réels positifs ou nuls. On suppose que, pour tout \(j\in\mathbb{N}\), la série \(\displaystyle\sum_{i\geqslant 0} r_{i,j}\) converge, on note \(C_j\) sa somme et on suppose que la série \(\displaystyle\sum_{j\geqslant 0} C_j\) est convergente ; alors, pour tout \(i\in\mathbb{N}\), la série \(\displaystyle\sum_{j\geqslant 0} r_{i,j}\) est convergente et, en notant \(L_i\) sa somme, la série \(\displaystyle\sum_{i\geqslant 0} L_i\) est convergente et on a : \[\sum_{i=0}^{+\infty}\left( \sum_{j=0}^{+\infty}r_{i,j} \right) = \sum_{j=0}^{+\infty}\left( \sum_{i=0}^{+\infty}r_{i,j} \right) .\]
Dans ce cas, on notera : \[\sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} r_{i,j} = \sum_{i=0}^{+\infty}\left( \sum_{j=0}^{+\infty}r_{i,j} \right) = \sum_{j=0}^{+\infty}\left( \sum_{i=0}^{+\infty}r_{i,j} \right) .\]
On admet enfin que, si \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite réelle et si \(\alpha\) est un élément de \(]0,1[\) tel que, pour tout \(z\in \left[\alpha,1\right]\), la série de terme général \(u_nz^n\) converge et est de somme nulle, alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=0\).
Soit \(m,k\) et \(\ell\) des entiers naturels.
Vérifier que : \[\binom m{k,\ell} =\binom m{\ell,k} = \binom mk \binom {m-k}\ell.\]
On suppose que \(m\) est supérieur ou égal à \(2\) et que \(k\) et \(\ell\) sont supérieurs ou égaux à \(1\). Prouver que : \[k\ell \binom m{k,\ell} = m \left( m-1 \right) \binom {m-2}{k-1,\ell-1}.\]
Démontrer que : \[\sum_{(k,\ell)\in I_n} \binom n{k,\ell} p^k q^\ell r^{n-k-\ell} = 1.\]
Ainsi la famille \(\left( \displaystyle\binom n{k,\ell} p^k q^\ell r^{n-k-\ell} \right)_{(k,\ell)\in I_n}\) définit bien une loi de probabilité sur \(I_n\).
Dans cette partie, on suppose que \(n\) est strictement positif et on considère des réels strictement positifs \(u,d,t\) tels que : \(u+d+t=b\). On dispose d’une urne \(\mathcal{U}\) contenant \(b\) boules, parmi lesquelles \(u\) portent le numéro \(1\), \(d\) le numéro \(2\) et \(t\) le numéro \(3\).
On réalise une expérience aléatoire consistant à effectuer une suite de \(n\) tirages successifs d’une boule de l’urne au hasard et avec remise.
On modélise cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) où \(\Omega\) est l’ensemble \(\{ 1,2,3\}^n\) des \(n\)-uplets d’éléments de l’ensemble \(\{ 1,2,3 \}\), la tribu \(\mathcal{A}\) est l’ensemble \(\mathcal{P}(\Omega)\) des parties de \(\Omega\) et la probabilité \(\mathbb{P}\) sur \((\Omega,\mathcal{A})\) se déduit naturellement des hypothèses de l’énoncé.
On note alors \(U\) (respectivement \(D,T\)) la variable aléatoire égale au nombre de boules obtenues au cours de cette expérience portant le numéro \(1\) (resp. le numéro \(2\), le numéro \(3\)).
Compléter la fonction Python suivante
pour que l’appel de Simul(n,u,d,t) effectue
une simulation de l’expérience et renvoie un vecteur
S dont les coefficients sont les valeurs
prises respectivement par les variables aléatoires \(U,T,D\) :
import numpy as np
import numpy.random as rd
def Simul(n,u,d,t):
S=np.zeros(3)
b=u+d+t
for k in range(n):
tirage=rd.random()
if tirage<u/b:
S[0]=.....
elif tirage<.....:
S[1]=.....
else:
S[2]=.....
return S
Déterminer la loi de chacune des variables aléatoires \(U,D\) et \(T\) et préciser leurs espérances et variances respectives.
Les variables aléatoires \(U\) et \(D\) sont-elles indépendantes ?
Déterminer la loi de \(U+D\), son espérance et sa variance.
En déduire que : \[\mathrm{Cov}(U,D) = -\dfrac{nud}{b^2}.\]
Soit \((k,\ell)\) un couple d’entiers naturels tel que : \(k+\ell \leqslant n\).
Soit \(\omega\) un élément de \(\Omega\) comportant exactement \(k\) « \(1\) » et \(\ell\) « \(2\) ». Quelle est la probabilité de l’événement élémentaire \(\{ \omega\}\) ?
Dénombrer les \(n\)-uplets \(\omega\) appartenant à \(\Omega\) comportant exactement \(k\) « \(1\) » et \(\ell\) « \(2\) ».
En déduire que le couple \((U,D)\) suit une loi trinomiale.
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Déterminer la loi conditionnelle de \(D\) sachant \([U=k]\).
On considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et un couple \((X,Y)\) de variables aléatoires définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). On suppose que \((X,Y)\) suit la loi trinomiale de paramètres \(n,p,q,r\).
Montrer que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Quelle est la loi de \(Y\) ?
Prouver que : \[\mathbb{E}(XY) = n \left( n-1 \right) pq.\]
En déduire la covariance du couple \((X,Y)\).
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Dans cette partie, \(n\) n’est plus un entier naturel fixé. On considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et deux suites \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de variables aléatoires définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) telles que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \((X_n,Y_n)\) suive la loi trinomiale de paramètres \(n,p,q,r\).
On considère par ailleurs une variable aléatoire \(N\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et non presque sûrement constante. On suppose que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(N\) est indépendante de \((X_n,Y_n)\), c’est-à-dire que : \[\forall (i,j,k)\in\mathbb{N}^3,\ \mathbb{P}(X_n=i,Y_n=j,N=k) = \mathbb{P}(X_n=i,Y_n=j)\,\mathbb{P}(N=k).\]
On définit enfin deux applications \(X\) et \(Y\) de \(\Omega\) dans \(\mathbb{N}\) de la façon suivante : \[\forall \omega\in\Omega,\ X(\omega) = X_{N(\omega)} \quad\text{et}\quad Y(\omega) = Y_{N(\omega)}.\] ce qui signifie que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), si \(N\) prend la valeur \(n\), alors \(X\) prend la même valeur que \(X_n\) et \(Y\) prend la même valeur que \(Y_n\).
Prouver que \(X\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et exprimer, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), l’événement \([X=k]\) à l’aide de \(N\) et de \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
On prouverait de même, et on, admettra, que \(Y\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Prouver que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), les variables aléatoires \(N\) et \(X_n\) sont indépendantes. On prouverait de même, et on, admettra, que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(N\) et \(Y_n\) sont indépendantes.
Démontrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \mathbb{P}(X=k) = \sum_{n=k}^{+\infty}\binom nk p^k (1-p)^{n-k}\,\mathbb{P}(N=n).\]
Exprimer de même, pour tout \(\ell\in\mathbb{N}\), \(\mathbb{P}(Y=\ell)\) sous forme de somme d’une série.
Les variables aléatoires \(N\) et \(X\) sont-elles indépendantes ? On pourra remarquer que \(N\) prend au moins deux valeurs avec probabilité non nulle.
On suppose, dans cette question uniquement, que \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\).
Montrer que \(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda p\) et que \(Y\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda q\).
Prouver que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
Dans la suite, on se propose de démontrer que la réciproque est vraie. On ne suppose plus connue la loi de \(N\), mais on suppose que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
Montrer que, pour tout \(z\) appartenant à \([0,1]\), la série de terme général \(z^n\,\mathbb{P}(N=n)\) est convergente. Dans la suite, on note : \[\forall z\in [0,1],\ \Phi(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}z^n\,\mathbb{P}(N=n).\]
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels appartenant à \([0,1]\). On considère les variables aléatoires \(A=\alpha^X\) et \(B=\beta^Y\).
Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une espérance.
Justifier que \(p\alpha +1-p\) et \(q \beta +1-q\) appartiennent à \([0,1]\) puis démontrer que : \[\mathbb{E}(A) = \Phi(p\alpha +1-p) \quad\text{et}\quad\mathbb{E}(B) = \Phi(q\beta +1-q).\]
On considère la variable aléatoire \(C=AB=\alpha^X \beta^Y\).
Prouver que \(C\) admet une espérance.
Justifier que \(p\alpha + q\beta +r\) appartient à \([0,1]\) et que : \[\mathbb{E}(C) = \Phi(p \alpha + q\beta +r).\]
En déduire que : \[\Phi(1- p\left( 1- \alpha \right) - q \left( 1-\beta \right)) = \Phi(1- p \left( 1- \alpha \right)) \, \Phi(1- q \left(1-\beta \right)).\]
Que vaut \(\Phi(1)\) ?
Prouver que : \[\forall z\in \left] 0,1\right],\ \Phi(z) >0.\]
On considère l’application \(\varphi:[0,1]\to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall z\in \left[ 0,1 \right[,\ \varphi(z) = \ln(\Phi(1-z)).\]
Montrer que \(\varphi\) est strictement décroissante sur \([0,1[\).
Prouver que : \[\forall a\in [0,p],\ \forall b\in [0,q],\ \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b).\]
Dans la suite, on note \(\mu = \min(p,q)\) et \(I= [0,\mu]\).
Calculer \(\varphi(0)\) et montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ \forall a\in I,\ 0 \leqslant na \leqslant \mu \Rightarrow \varphi(na) = n \, \varphi(a).\]
Prouver que : \[\forall (n,m,a)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}^\ast\times I,\ 0 \leqslant \frac{n}{m}\, a \leqslant \mu \Rightarrow \varphi\!\left( \frac{n}{m}\, a\right) = \frac{n}{m}\,\varphi(a).\]
Soit \((x,a) \in \mathbb{R}\times I\) tel que : \(0< xa< \mu\).
Prouver que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\left\lfloor nx \right\rfloor}{n} = x.\]
En déduire que : \(\varphi(xa) = x\,\varphi(a)\).
Prouver finalement qu’il existe un réel \(\lambda>0\) tel que : \[\forall x\in I,\ \varphi(x) = - \lambda x.\]
Expliciter la fonction \(\Phi\) sur \([1-\mu,1]\).
En déduire finalement que \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.