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On désigne par \(E\) l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{6}\) et par \(\mathcal{B}\) sa base canonique : \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}, e_{6}\right)\).
On pose \(\mathcal{B}_{1}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) et \(\mathcal{B}_{2}=\left(e_{4}, e_{5}, e_{6}\right)\), et on désigne respectivement par \(E_{1}\) et \(E_{2}\) les sous-espaces vectoriels de \(E\) engendrés par \(\mathcal{B}_{1}\) et \(\mathcal{B}_{2}\).
Enfin, \(A\) est la matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels suivante : \[A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\]
et on note \(u\) l’endomorphisme de \(E_{1}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}_{1}\) est \(A\).
Déterminer les valeurs propres de \(M\) ainsi que ses sous-espaces propres.
Soit \(f\) l’application linéaire de \(E_{1}\) vers \(E_{2}\) définie par : \(f(e_{1})=e_{4}\), \(f(e_{2})=e_{5}\) et \(f(e_{3})=e_{6}\).
Montrer que \(f\) est un isomorphisme et déterminer la matrice de son isomorphisme réciproque \(f^{-1}\) relativement aux bases \(\mathcal{B}_{2}\) et \(\mathcal{B}_{1}\).
Montrer que, si \(\left(x_{1}, x_{2}\right)\) est un élément de \(E_{1} \times E_{2}\) vérifiant l’égalité \(x_{1}+x_{2}=0\), les vecteurs \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont nuls.
En déduire que, si \(\left(x_{1}, x_{2}\right)\) et \(\left(y_{1}, y_{2}\right)\) sont deux éléments de \(E_{1} \times E_{2}\) tels que \(x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}\), alors on a : \(x_{1}=y_{1}\) et \(x_{2}=y_{2}\).
Pour tout vecteur \(x\) de \(E\) dont les coordonnées dans la base \(\mathcal{B}\) sont \(\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}, \lambda_{5}, \lambda_{6}\right)\), on pose : \[\begin{cases} x_{1}=\lambda_{1} e_{1}+\lambda_{2} e_{2}+\lambda_{3} e_{3} \\ x_{2}=\lambda_{4} e_{4}+\lambda_{5} e_{5}+\lambda_{6} e_{6} \end{cases}\quad \text { et } \quad F(x)=u(x_{1})+f(x_{1})+f^{-1}(x_{2})\]
Prouver que l’application \(F\) qui à tout vecteur \(x\) de \(E\) associe le vecteur \(F(x)\), est un endomorphisme de \(E\).
Déterminer le noyau de \(F\) et en déduire que \(F\) est un bijectif.
Montrer que la matrice \(M\) de \(F\) dans la base \(\mathcal{B}\) peut s’écrire sous la forme : \[M= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
On suppose, dans cette question, que \(\mu\) est une valeur propre de \(M\) et que \(X\) est un vecteur propre associé à \(\mu\).
On note \(x\) le vecteur de \(E\) dont \(X\) est la colonne des coordonnées dans la base \(\mathcal{B}\) et on définit les vecteurs \(x_{1}\) de \(E_{1}\) et \(x_{2}\) de \(E_{2}\) comme dans la question précédente.
On note alors \(X_1\) la colonne des coordonnées de \(x_1\) dans la base \(\mathcal{B}_1\) et \(X_2\) la colonne des coordonnées de \(x_2\) dans la base \(\mathcal{B}_2\).
Justifier que la valeur propre \(\mu\) n’est pas nulle.
Utiliser les résultats de la question 3 pour prouver que les vecteurs \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont tous les deux non nuls et que \(X_{1}\) est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\displaystyle \mu-\frac{1}{\mu}\). On pourra remarquer que l’égalité \(MX=\mu X\) équivaut à l’égalité \(f(x) = \mu x\).
Étudier la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) par \(\displaystyle \varphi(x)=x-\frac{1}{x}\).
On suppose, dans cette question, que \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) et que \(X_{1}\) est un vecteur propre de \(A\) associé à \(\lambda\).
Montrer que l’équation d’inconnue \(\mu\) suivante : \(\displaystyle \lambda=\mu-\frac{1}{\mu}\) admet deux solutions distinctes \(\mu_{1}\) et \(\mu_{2}\).
Montrer que \(\mu_{1}\) et \(\mu_{2}\) sont des valeurs propres de \(M\). Donner, en fonction de \(X_{1}\), un vecteur propre de \(M\) associé à \(\mu_{1}\) et un vecteur propre de \(M\) associé à \(\mu_{2}\).
La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?
Dans tout le problème, \(r\) désigne
un entier naturel vérifiant \(1 \leqslant r
\leqslant 10\).
Une urne contient 10 boules distinctes \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{10}\). Une
expérience aléatoire consiste à y effectuer une suite de tirages d’une
boule avec remise, chaque boule ayant la même probabilité de sortir à
chaque tirage. Cette expérience est modélisée par un espace probabilisé
\((\Omega, \mathcal{A},
\mathbb{P})\).
On suppose que le nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules \(B_{1}, \ldots, B_{r}\) définit une variable aléatoire \(Y_{r}\) sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
Cas particulier \(r=1\). Montrer que la variable aléatoire \(Y_{1}\) suit une loi géométrique; préciser son paramètre, son espérance et sa variance.
On suppose que \(r\) est supérieur ou égal à 2.
Calculer la probabilité pour que les \(r\) boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) sortent dans cet ordre aux \(r\) premiers tirages.
En déduire la probabilité \(\mathbb{P}( Y_{r}=r )\).
Préciser l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire \(Y_{r}\).
On se propose de calculer la probabilité \(\mathbb{P}(Y_{r}=r+1)\).
Soit \(E\) l’événement : « au cours des \(r\) premiers tirages, est sortie exactement une boule de numéro strictement supérieur à \(r\) ».
Calculer la probabilité de l’événement \(E \cap \left[Y_{r}=r+1\right]\).
On définit les événements suivants :
\(F\) est l’événement « au cours des \(r\) premiers tirages, ne sont sorties que les boules \(B_{1}\), \(B_{2}, \ldots\), \(B_{r}\), chacune d’elles au moins une fois »;
\(F_{1}\) est l’événement « \(B_{1}\) est sortie deux fois au cours des \(r\) premiers tirages et \(B_{r}\) est sortie au \((r+1)\)-ième tirage ».
Exprimer la probabilité \(\mathbb{P}(F \cap[Y_{r}=r+1])\) en fonction de la probabilité \(\mathbb{P}(F_{1} \cap[Y_{r}=r+1])\), puis calculer \(\mathbb{P}( F_{1} \cap [Y_{r}=r+1 ] )\).
En déduire l’égalité : \(\displaystyle \mathbb{P}(F \cap[Y_{r}=r+1])=\frac{r \left(r-1 \right) r!}{2\times 10^{r+1}}\).
Prouver l’égalité : \(\displaystyle \mathbb{P}(Y_{r}=r+1)=\frac{r \times r! \left( 19-r \right)}{2 \times 10^{r+1}}\).
On suppose encore que \(r\) est supérieur ou égal à 2. Pour tout entier \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant r\), on désigne par \(W_{i}\) la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, \(i\) boules distinctes parmi les boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) soient sorties (en particulier, on a : \(W_{r}=Y_{r}\)).
On pose : \(X_{1}=W_{1}\) et, pour tout \(i\) vérifiant \(2 \leqslant i \leqslant r\), \(X_{i}=W_{i}-W_{i-1}\).
On admet que les variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{r}\) sont indépendantes.
Exprimer la variable aléatoire \(Y_{r}\) à l’aide des variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{r}\).
Interpréter concrètement la variable aléatoire \(X_{i}\) pour tout \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant r\).
Montrer que, pour tout \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant r\), la variable aléatoire \(X_{i}\) suit une loi géométrique; préciser son espérance et sa variance.
On pose : \[\displaystyle S_{1}(r)=\sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k} \quad \text{et} \quad S_{2}(r)=\sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k^{2}}\]
Exprimer l’espérance \(\mathbb{E}(Y_{r})\) et la variance \(\mathbb{V}( Y_{r} )\) de \(Y_{r}\) à l’aide de \(S_{1}(r)\) et de \(S_{2}(r)\).
Si \(k\) est un entier naturel non nul, préciser le minimum et le maximum de la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t}\) sur l’intervalle \([k, k+1]\) et en déduire un encadrement de l’intégrale \(\displaystyle \int_{k}^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t}\).
Si \(r\) est supérieur ou égal à 2, donner un encadrement de \(S_{1}(r)\) et en déduire la double inégalité : \[10 \ln (r+1) \leqslant \mathbb{E}( Y_{r} ) \leqslant 10 \left[ \ln (r) +1 \right]\]
Si \(r\) supérieur ou égal à 2, établir par une méthode analogue à celle de la question précédente, la double inégalité : \[\displaystyle 1-\frac{1}{r+1} \leqslant S_{2}(r) \leqslant 2-\frac{1}{r}\]
En déduire un encadrement de \(\mathbb{V}( Y_{r})\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1, on suppose que le nombre de boules distinctes parmi les boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) tirées au moins une fois au cours des \(n\) premiers tirages, définit une variable aléatoire \(Z_{n}\) sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\); on note \(\mathbb{E}(Z_{n})\) l’espérance de \(Z_{n}\) et on pose \(Z_{0}=0\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul et pour tout entier naturel \(k\), on note \(p_{n, k}\) la probabilité de l’événement \(\left[Z_{n}=k\right]\) et on pose : \(p_{n,-1}=0\).
Étude des cas particuliers \(n=1\) et \(n=2\).
Déterminer la loi de \(Z_{1}\) et donner son espérance.
On suppose, dans cette question, que \(r\) est supérieur ou égal à 2. Déterminer la loi de \(Z_{2}\) et montrer que son espérance est donnée par : \(\displaystyle \mathbb{E}( Z_{2})=\frac{19 r}{100}\).
Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul et pour tout entier naturel \(k\) au plus égal à \(r\), l’égalité : \[10 p_{n, k}= \left( 10-r+k \right) p_{n-1, k}+ \left( r+1-k \right) p_{n-1, k-1} \tag{1}\]
Vérifier que cette égalité reste vraie dans le cas où \(k\) est supérieur ou égal à \(r+1\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on définit le polynôme \(Q_{n}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ Q_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} p_{n, k} x^{k}\] et on pose \(Q_{0}(x)=1\).
Préciser les polynômes \(Q_{1}\) et \(Q_{2}\).
Calculer \(Q_{n}(1)\) et exprimer \(Q_{n}^{\prime}(1)\) en fonction de \(\mathbb{E}( Z_{n})\) (\(Q_{n}^{\prime}\) désignant la dérivée du polynôme \(Q_{n}\)).
En utilisant l’égalité (1), établir, pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul, la relation suivante : \[10 Q_{n}(x)= \left( 10-r+r x \right) Q_{n-1}(x)+x \left( 1-x \right) Q_{n-1}^{\prime}(x) \tag{2}\]
En dérivant membre à membre l’égalité (2), former, pour tout entier naturel \(n\) non nul, une relation entre les espérances \(\mathbb{E}( Z_{n})\) et \(\mathbb{E}( Z_{n-1})\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), la valeur de \(\mathbb{E}( Z_{n})\) en fonction de \(n\) et de \(r\).
Pour tout entier naturel \(n\), le polynôme \(Q_{n}^{\prime \prime}\) désigne la dérivée du polynôme \(Q_{n}^{\prime}\).
En utilisant une méthode semblable à celle de la question précédente, trouver pour tout entier naturel \(n\) non nul, une relation entre \(Q_{n}^{\prime \prime}(1)\) et \(Q_{n-1}^{\prime \prime}(1)\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’égalité suivante : \[Q_{n}^{\prime \prime}(1)=r \left(r-1 \right)\left[1+\left(\frac{8}{10}\right)^{n}-2\left(\frac{9}{10}\right)^{n}\right]\]
Calculer, pour tout entier naturel \(n\), la variance de la variable aléatoire \(Z_{n}\) en fonction de \(n\) et de \(r\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
