ESCP 2004 Maths 1Maths approfondies

Dans tout le problème, on note \(\mathcal{F}\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On rappelle que, si \(T\) est un réel strictement positif fixé, une application \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) est dite \(T\)-périodique lorsque : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x+T) = f(x)\]

On note \(\mathcal{E}\) l’ensemble des applications \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) pour lesquelles il existe une suite \(s=(s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\), dite adaptée à \(f\), telle que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\ \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left( x+ \frac{k}{n} \right) = s_n f(nx) \tag{1}\]

L’objet du problème est de déterminer certaines applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) appartenant à \(\mathcal{E}\).

Partie I – Quelques résultats généraux et quelques exemples

1. Soit \(f\) un élément non nul de \(\mathcal{E}\). Montrer qu’il existe une unique suite \(s=(s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) adaptée à \(f\) et que : \(s_1=1\).

2. Montrer que, si \(f\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) appartenant à \(\mathcal{E}\), alors \(f'\) appartient aussi à \(\mathcal{E}\).

3. 1. Montrer que les fonctions constantes appartiennent à \(\mathcal{E}\).

   2. Soit \(A\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ A(x) = x-\frac{1}{2}\] Prouver que \(A\) appartient à \(\mathcal{E}\).

   3. \(\mathcal{E}\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{F}\) ?

4. Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) appartenant à \(\mathcal{E}\). On note \(s=(s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) la suite adaptée à \(f\). Quelle est la limite de \(\dfrac{s_n f(nx)}{n}\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\) ?

5. On note \(\chi\) la fonction indicatrice de \(\mathbb{Z}\), définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \chi(x) = \begin{cases} 1 &\text{si } x\in\mathbb{Z} \\ 0 &\text{si } x\notin \mathbb{Z} \end{cases}\]

   1. On rappelle qu’en langage Python la fonction floor de la bibliothèque numpy renvoie la partie entière du réel \(y\). Écrire un script Python demandant l’entrée un entier naturel \(n\) non nul et d’un réel \(x\) puis calculant et affichant la valeur de la somme \(\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chi\! \left( x+ \frac{k}{n} \right)\).

   2. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(x\in\mathbb{R}\). En distinguant les cas selon que \(nx\) est un entier ou non, déterminer la valeur de la somme \(\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chi\! \left( x+ \frac{k}{n} \right)\).

   3. En déduire que \(\chi\) appartient à \(\mathcal{E}\) et que la suite adaptée à \(\chi\) est la suite constante égale à \(1\).

6. 1. On rappelle que : \[\forall (p,q)\in\mathbb{R}^2,\ \sin(p+q) = \sin(p) \cos(q) + \cos(p) \sin(q)\]

      • Utiliser le rappel pour établir : \[\forall (p,q) \in\mathbb{R}^2,\ \cos(p) \sin(q) = \frac{\sin(p+q) - \sin(p-q)}{2}\]

      • En déduire que : \[\forall (a,b) \in\mathbb{R}^2,\ \sum_{k=0}^{n-1} \cos(a+kb) \sin \! \left( \frac{b}{2} \right) = \cos \! \left( a + \frac{n-1}{2}\, b \right) \sin \! \left( \frac{nb}{2} \right)\]

   2. Démontrer alors que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \((n,p) \in (\mathbb{N}^\ast)^2\) : \[\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos\!\left( 2p\pi \left( x+ \frac{k}{n} \right) \right) = \begin{cases} n \cos(2p\pi x) &\text{si $p$ est un multiple de $n$} \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

   3. On note \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ u(x) = \cos(2\pi x)\]

      Montrer que la fonction \(u\) appartient à \(\mathcal{E}\) et préciser la suite adaptée à \(u\).

   4. Prouver que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), la série \(\displaystyle\sum_{q\geqslant 0} \dfrac{\cos(2^{q+1} \pi x)}{2^q}\) est convergente. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on note alors : \[v(x) = \sum_{q=0}^{+\infty}\dfrac{\cos(2^{q+1} \pi x)}{2^q}\]

      Prouver que \(v\) appartient à \(\mathcal{E}\) et déterminer la suite adaptée à \(v\).

Partie II – Recherche des polynômes appartenant à \(E\)

7. 1. Soit \(P\) un polynôme de degré \(1\) appartenant à \(\mathcal{E}\). Montrer que la suite adaptée à \(P\) est constante égale à \(1\).

   2. Déterminer l’ensemble des polynômes de degré \(1\) appartenant à \(\mathcal{E}\).

8. Dans cette question, on considère un polynôme non nul \(P\) appartenant à \(\mathcal{E}\) et on note \(p\) son degré.

   1. Montrer que la suite adaptée à \(P\) est la suite \(s\) définie par : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ s_n = \frac{1}{n^{p-1}}\]

   2. En utilisant le résultat de la question ???, prouver que, si \(p\) est supérieur ou égal à \(1\), alors : \[\int_0^1 P(t)\,\mathrm{d}t= 0\]

9. Prouver que, pour tout \(Q\in\mathbb{R}[x]\), il existe un unique polynôme \(P\) tel que : \[P'=Q \quad\text{et}\quad\int_0^1 P(t)\,\mathrm{d}t= 0\]

10. Dans la suite, on définit alors la suite de polynômes \((B_p)_{p\in\mathbb{N}}\) par \(B_0=1\) et par les relations : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ B_p'=p B_{p-1} \quad\text{et}\quad \int_0^1 B_p(t)\,\mathrm{d}t= 0\]

    1. Pour tout \(p\in\mathbb{N}\), déterminer le degré \(d_p\) et le coefficient dominant de \(B_p\). On note alors : \[\forall p\in\mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R},\ B_p(x) = \sum_{k=0}^{d_p} a_{p,k} x^k\]

    2. Vérifier que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ B_1(x) = x-\frac{1}{2}\]

    3. Déterminer le polynôme \(B_2\) puis vérifier que \(B_2\) appartient à \(\mathcal{E}\).

    4. Soit \(p\in\mathbb{N}^\ast\). Déterminer une relation entre les coefficients de \(B_p\) et ceux de \(B_{p-1}\).

    5. La fonction append de la bibliothèque numpy permet d’effectuer une concaténation de listes ; on peut en particulier utiliser cette fonction pour ajouter un coefficient à un vecteur : ainsi, si a désigne un réel et si X est un tableau numpy de la forme X=[X[0],X[1],...,X[n-1]], alors np.append(X,a) renvoie le tableau [X[0],X[1],...,X[n-1],a] et np.append(a,X) renvoie le tableau [a,X[0],X[1],...,X[n-1]].

       Compléter le script Python suivant pour qu’il renvoie les coefficients de \(B_p\), l’entier naturel \(p\) étant saisi par l’utilisateur :

       import numpy as np
       p=int(input('p='))
       B=np.array([1])
       for i in range(1,p+1):
           k=np.arange(i)
           c=...............
           B=np.append(.....)
       print(B)

11. Soit \(p\) un entier naturel \(n\) non nul. On suppose que \(B_{p-1}\) appartient à \(\mathcal{E}\). On se propose de démontrer que \(B_p\) appartient à \(\mathcal{E}\). On fixe pour cela un entier naturel \(n\) non nul et on pose : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \varphi(x) = \sum_{k=0}^{n-1} B_p\!\left( x+ \frac{k}{n} \right) \quad\text{et}\quad\psi(x) = \frac{1}{n^{p-1}}\, B_p(nx)\]

    1. Montrer que la fonction \(\varphi-\psi\) est constante.

    2. Calculer les intégrales \(\displaystyle\int_0^\frac{1}{n} \varphi(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_0^\frac{1}{n} \psi(x)\,\mathrm{d}x\) .

    3. Prouver alors que : \(\varphi = \psi\).

    4. Conclure.

12. Prouver finalement que, pour tout \(P\in\mathbb{R}[X]\) : \[P \in \mathcal{E}\quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, (p,\lambda) \in \mathbb{N}\times \mathbb{R}\ / \ P=\lambda B_p\]

Partie III – Étude des fonctions indéfiniment dérivables appartenant à

13. Soit \(\delta\) l’application de \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{F}\) qui à toute fonction \(\varphi\) de \(\mathcal{F}\) associe la fonction \(\psi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \psi(x) = \varphi(x+1) - \varphi(x)\]

    1. Prouver que \(\delta\) est un endomorphisme de \(\mathcal{F}\). Quel est son noyau ?

    2. Soit \(P\) une fonction polynôme non constante. Montrer que \(\delta(P)\) est une fonction polynôme et exprimer son degré et son coefficient dominant en fonction de ceux de \(P\).

14. Soit \(f\) une fonction appartenant à \(\mathcal{E}\) et \(s=(s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) sa suite adaptée. Prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\ s_n \delta(f)(nx) = \delta(f)(x) \tag{2}\]

15. Soit \(g\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). On suppose qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \alpha g(2x) = g(x) \tag{3}\]

    1. Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \forall k\in\mathbb{N},\ \alpha^k g(x) = g\!\left( \frac{x}{2^k} \right) \tag{4}\]

    2. Que peut-on dire de \(g\) si \(\alpha=0\) ?

    3. On suppose que \(\left| \alpha \right| >1\). Prouver que \(g\) est constante nulle.

    4. On suppose maintenant que : \(0 < \left| \alpha \right| \leqslant 1\). Justifier l’existence d’un entier naturel \(p\) et d’un réel \(\beta\) tels que : \[\left| \beta \right|>1 \quad\text{et}\quad\forall x\in\mathbb{R},\ \beta g^{(p)}(2x) = g^{(p)}(x)\]

    5. En déduire que, dans tous les cas, \(g\) est polynômiale.

16. On suppose dans cette question que \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\) appartenant à \(\mathcal{E}\) et on note \(s=(s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) sa suite adaptée. On suppose en outre que \(\delta (f)\) n’est pas la fonction nulle.

    1. Montrer que \(\delta(f)\) est une fonction polynômiale non nulle. Dans la suite, on note \(q\) son degré.

    2. À l’aide de (2), montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ s_n = \frac{1}{n^q}\]

       Montrer alors qu’il existe un réel \(a\) non nul tel que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \delta(f)(x) = ax^q\]

    3. Prouver alors que : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\ \delta(B_p)(x) = px^{p-1}\]

       La suite \((B_p)_{p\in\mathbb{N}}\) est la suite de polynômes définie dans la partie II.

    4. Prouver qu’il existe un réel \(\lambda\) non nul et un entier naturel \(p\) non nul tels que la fonction \(\delta(f-\lambda B_p)\) soit constante nulle.

       Établir alors que la fonction \(h=f-\lambda B_p\) est une fonction \(1\)-périodique, de classe \(\mathcal{C}^\infty\) appartenant à \(\mathcal{E}\) et préciser sa suite adaptée.

Partie IV – Étude des fonctions indéfiniment dérivables et \(1\)-périodiques de

17. Soit \(g\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\), \(1\)-périodique et telle que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \lim\limits_{n\to+\infty}g(nx) = 0\]

    1. Montrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ g(k)=0\]

    2. Prouver que : \[g\!\left( \dfrac{1}{2} \right)=0\]

    3. Montrer plus généralement que : \[\forall p \in\mathbb{Z},\ \forall q\in\mathbb{N}^\ast,\ g\!\left( \frac{p}{q} \right) = 0\]

    4. En déduire que \(g\) est la fonction nulle.

18. Dans la suite du problème, on considère une fonction \(f\) appartenant à \(\mathcal{E}\), de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et \(1\)-périodique. On note \(s=(s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) la suite adaptée à \(f\).

    1. Prouver que la fonction \(x\mapsto \displaystyle\int_x^{x+1} f(t)\,\mathrm{d}t\) est constante sur \(\mathbb{R}\).

    2. Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{s_n}{n}\, f(nx) = \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\]

19. On suppose, dans cette question uniquement, que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\left| s_n \right|}{n} = {+\infty}\] Montrer que \(f\) est la fonction nulle.

20. On suppose, dans cette question, qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}n^k \left| s_n \right| = {+\infty}\]

    1. En considérant les dérivées successives de \(f\), montrer que \(f\) est polynômiale.

    2. Prouver alors que \(f\) est constante.

21. À l’aide du résultat final de la partie III, montrer que les fonctions de classe \(\mathcal{C}^\infty\) appartenant à \(\mathcal{E}\) et qui ne sont pas \(1\)-périodiques sont exactement les fonctions polynômes de la forme \(\lambda B_p\) avec \(p\in\mathbb{N}^\ast\) et \(\lambda\in\mathbb{R}^\ast\).