ESCP 2001 Maths 3Maths appliquées

Exercice 1

A. Réduction d’une matrice carrée

On considère la matrice \(A\) définie par: \[A= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}\]

et on note \(\varphi\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par \(A\) dans la base canonique.

1. 1. Montrer que \(A\) admet les valeurs propres 1 et 2 et n’en admet pas d’autre.

      Déterminer les sous-espaces propres \(E_{1}\) et \(E_{2}\) associés à ces valeurs propres.

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

2. Soit \(V\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur \(W\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que \(\varphi(W)=V+W\).

3. Soit \(U\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre 2. Montrer que la famille \((U,V,W)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).

4. Déterminer la matrice \(B\) représentant l’endomorphisme \(\varphi\) dans la base \((U,V,W)\) ainsi qu’une matrice inversible \(P\) telle qu’on ait l’égalité \(B=P^{-1} A P\).

B. Un espace vectoriel de matrices carrées

Étant données les matrices \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad H=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

on associe à tout élément \((a, b, c)\) de \(\mathbb{R}^{3}\) la matrice \(C_{(a, b, c)}\) définie par :

\[C_{(a, b, c)}=a I+b H+c N\]

On note \(\mathcal{M}\) l’ensemble des matrices \(C_{(a, b, c)}\), où \((a, b, c)\) décrit \(\mathbb{R}^{3}\).

5. Montrer que \(\mathcal{M}\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \(M_{3}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d’ordre 3 et déterminer sa dimension.

6. Vérifier que la matrice \(B\) définie dans la question 4 appartient à \(\mathcal{M}\).

7. Préciser les conditions que doivent vérifier les nombres \(a, b\) et \(c\) pour que la matrice \(C_{(a, b, c)}\) soit inversible. Déterminer, quand elle existe, sa matrice inverse.

8. Déterminer les valeurs propres de \(C_{(a, b, c)}\).

   Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si \(c\) est nul.

Exercice 2

A. Extremums d’une fonction de deux variables

On considère la fonction \(G\) de deux variables réelles dé finie sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\) par : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}_+^\ast)^2,\ G(x,y)=\frac{x^{2}}{2y^{2}}-\ln( x) +y-\frac{3}{2}\]

On admet que \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\) est un ouvert.

1. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 et 2 de la fonction \(G\).

2. Rechercher les extrema locaux éventuels de la fonction \(G\) dans le domaine \((\mathbb{R}_+^\ast)^2\).

B. Calcul de la limite d’une suite

On considère maintenant la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x)=G(x,1)=\frac{x^{2}}{2}-\ln (x)-\frac{1}{2}\]

3. Étudier les variations de \(f\). Montrer que c’est une fonction convexe.

4. 1. Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).

   2. En déduire que l’intégrale \(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x) \,\mathrm{d}x\) existe et calculer sa valeur.

5. Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2. On pose : \[% \displaystyle S_{n}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f \!\left( \frac{j}{n} \right)\]

   1. Établir, pour tout entier \(j\) vérifiant \(1\leqslant j<n\), les in égalités: \[\frac{1}{n} \, f\! \left( \frac{j+1}{n}\right) \leqslant \int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n% }}f(x) \,\mathrm{d}x\leqslant \frac{1}{n} \, f \! \left( \frac{j}{n}\right)\]

   2. En déduire l’encadrement: \[\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant S_{n}\leqslant \frac{1}{n}\, f\! \left( \frac{% 1}{n}\right) +\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\]

   3. Montrer les inégalités: \[0\leqslant \frac{1}{n} \, f\! \left( \frac{1}{n}\right) \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x\]

6. On considère la suite \((S_{n})_{n\geqslant 2}\) définie précé demment. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.

7. 1. Exprimer, pour tout entier naturel non nul, la somme \(\displaystyle% \sum_{j=1}^{n}f \! \left( \frac{j}{n}\right)\) en fonction de \(n\).

   2. En déduire la limite de \(\displaystyle \frac{1}{n}\, \ln\! \left( \frac{n^{n}}{n!}\right)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).

Exercice 3

A. Préliminaire

1. Montrer, pour tout entier naturel non nul \(n\), l’égalité : \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\).

B. Étude d’une suite de tirages de boules

Soit \(N\) un entier supérieur ou égal à 2.

Une urne contient \(N\) boules dont \(N-2\) sont blanches et 2 sont noires. On tire au hasard, successivement et sans remise, les \(N\) boules de cette urne.

Les tirages étant numérotés de 1 à \(N\), on note \(X_{1}\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la première fois, une boule noire et \(X_{2}\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la deuxième fois, une boule noire.

2. Préciser l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) que l’on peut utiliser pour modéliser cette expérience aléatoire.

3. Soit \(i\) et \(j\) deux entiers de l’intervalle \([1, N]\). Montrer que l’on a : \[\mathbb{P}( X_{1}=i, X_{2}=j )= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } 1 \leqslant j \leqslant i \leqslant N \\ \displaystyle \frac{2}{N \left( N-1 \right)} & \text { si } 1 \leqslant i<j \leqslant N \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

4. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\). Ces variables sont-elles indépendantes?

5. 1. Montrer que la variable aléatoire \(N+1-X_{2}\) a la même loi que \(X_{1}\).

   2. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{2}-X_{1}\) et la comparer à la loi de \(X_{1}\).

6. À l’aide des résultats de la question 4 :

   1. Calculer les espérances \(\mathbb{E}( X_{1})\) et \(\mathbb{E}(X_{2})\).

   2. Montrer l’égalité des variances \(\mathbb{V}(X_{1} )\) et \(\mathbb{V}( X_{2})\).

   3. Établir la relation : \(2 \operatorname{Cov}(X_{1}, X_{2})=\mathbb{V}( X_{1})\), où \(\operatorname{Cov}(X_{1}, X_{2})\) désigne la covariance des variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\).

7. Calculer \(\mathbb{V}(X_{1})\) ; en déduire \(\mathbb{V}(X_{2} )\) et \(\operatorname{Cov} (X_{1}, X_{2} )\).

C. Modélisation informatique

Dans cette partie, \(N\) désigne encore un entier supérieur ou égal à 2.

8. On considère le programme Python suivant, où rd.randint(10) désigne un nombre entier tiré au hasard par l’ordinateur dans l’intervalle \([0,9]\) :

   import numpy.random as rd
   a=rd.randint(10)+1
   b=rd.randint(10)+1
   if a>b:
       c=a
       a=b
       b=c
   if a<b:
       print(a,b)

   1. Que fait l’ordinateur dans le cas où les variables \(a\) et \(b\) contiennent toutes les deux le même nombre ?

   2. Qu’affiche l’ordinateur dans le cas où les variables \(a\) et \(b\) contiennent respectivement les nombres 3 et 5 ?

   3. Qu’affiche l’ordinateur dans le cas où les variables \(a\) et \(b\) contiennent respectivement les nombres 10 et 1 ?

9. On suppose que \(A\) et \(B\) sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé \(( \Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P} )\), indépendantes, suivant la même loi uniforme sur l’ensemble \(\{1,2, \ldots, N\}\) et on désigne par \(D\) l’événement : « \(A\) ne prend pas la même valeur que \(B\) » .

   1. Montrer que la probabilité de l’événement \(D\) est \(\displaystyle \frac{N-1}{N}\).

   2. Soit \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\) les variables aléatoires définies par: \(Y_{1}=\min (A, B)\) et \(Y_{2}=\max (A, B)\).

      Calculer, pour tout couple \((i, j)\) d’éléments de l’ensemble \(\{1,2, \ldots, N\}\), la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_D( Y_{1}=i, Y_{2}=j )\).

10. Expliquer pourquoi le programme de la question 1 permet de simuler les variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\) de la partie B, dans le cas où \(N\) est égal à 10.