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Soit \(\mathcal{M}_{2}\left( \Bbb{R}\right)\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 muni de sa structure d’espace vectoriel et soit \(J\) la matrice \[J= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
On considère l’application \(S\) de \(\mathcal{M}_{2}\left( \Bbb{R}\right)\) dans lui-même qui associe à tout élément \(M\) de \(\mathcal{M}% _{2}\left( \Bbb{R}\right)\) l’élément \(S(M)=JMJ\).
Montrer que l’application \(S\) ainsi définie est un automorphisme de l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{2}\left( \Bbb{R}\right) .\) Quel est l’automorphisme réciproque de \(S\)?
Montrer que si \(M\) et \(N\) sont deux éléments quelconques de \(% \mathcal{M}_{2}\left( \Bbb{R}\right)\), on a \(S(MN)=S(M) \, S(N)\)
On considère les éléments \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad K= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad L= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\]
Montrer que \((I,J,K,L)\) forme une base de l’espace vectoriel \(\mathcal{M}% _{2}\left( \Bbb{R}\right)\).
Déterminer la matrice \(B\) représentant l’automorphisme \(S\) dans la base \(\left( I,J,K,L\right)\).
Soit \(\mathcal{F}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(\mathcal{M}% _{2} \! \left( \Bbb{R}\right)\) vérifiant \(S(M)=M\) et soit \(\mathcal{G}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(\mathcal{M}_{2} \! \left( \Bbb{R}\right)\) vérifiant \(S(M)=-M\).
Montrer que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{M}_{2} \! \left( \Bbb{R}\right)\).
Résoudre l’équation \(BX=X\), d’inconnue \(X\) appartenant à \(\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\) et en déduire une base de \(\mathcal{F}\).
Déterminer de même une base de \(\mathcal{G}\).
En déduire que tout élément \(M\) de \(\mathcal{M}_{2} \! \left( \Bbb{R}\right)\) peut s’écrire sous la forme \(% M=M_{+}+M_{-}\) avec \(M_{+}\in \mathcal{F}\) et \(M_{-}\in \mathcal{G}\).
À titre d’exemple, déterminer les matrices \(A_{+}\) et \(A_{-}\) lorsque \(% A= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\).
Montrer que le produit de deux matrices appartenant à \(\mathcal{F}\) appartient aussi à \(\mathcal{F}\). Que peut-on dire du produit de deux éléments de \(\mathcal{G}\) ?
Plus précisément, pour deux matrices \(M\) et \(N\) de \(\mathcal{M% }_{2}\left( \Bbb{R}\right)\), exprimer \((MN)_{+}\) et \((MN)_{-}\) en fonction de \(M_{+}\), \(M_{-}\), \(N_{+}\) et \(N_{-}\).
Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2, soit \(f_{k}\) la fonction définie sur \(\left] 0,+\infty \right[\) par :
\[f_{k}(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\ln ^{k}( x) }{x-1}& \text{ si }x>0 \text{ et }x\neq 1 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x= 1 \end{cases}\]
Étude des fonctions \(f_{k}\).
Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 2.
Justifier la dérivabilité de la fonction \(f_{k}\) sur \(\left] 0,1\right[ \cup \left] 1,+\infty \right[\) et préciser la valeur de la dérivée \(f_{k}^{\prime }(x)\), pour tout \(x\) appartenant à \(% \left] 0,1\right[ \cup \left] 1,+\infty \right[\).
Montrer que \(f_{k}\) est dérivable en 1 et donner, selon les valeurs de \(k\), la valeur de \(f_{k}^{\prime }(1)\).
On considère les fonctions auxiliaires \(\varphi _{k}\) définies, pour tout \(x>0\), par : \[\varphi _{k}(x)=k \left( x-1 \right) -x \ln(x).\] Étudier, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2, les variations de la fonction \(\varphi _{k}\).
Montrer que l’équation \(% \varphi _{k}( x) =0\) admet une racine unique dans l’intervalle \(% \left] 1,+\infty \right[\).
Dans la suite, on notera \(a_{k}\) cette racine.
En distinguant les cas \(k=2\), \(k\) pair supérieur ou égal à 4, \(k\) impair supérieur ou égal à 3, donner le tableau de variation de la fonction \(f_{k}\) (on précisera les limites aux bornes).
Étude asymptotique de la suite \(\left( a_{k}\right) _{k \geqslant 2}\).
Montrer que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2, \(% \mathrm{e}^{k-1} \leqslant a_{k} \leqslant \mathrm{e}^{k}\)
Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2, on pose \(% a_{k}=\mathrm{e}^{k}\left( 1+\delta _{k}\right)\). Montrer que le réel \(\delta _{k}\) vérifie l’équation \[-k \, \mathrm{e}^{-k}=\left( 1+\delta _{k}\right) \ln ( 1+\delta _{k})\] Justifier l’inégalité : \(\left| \ln ( 1+\delta _{k}) \right| \leqslant k \, \mathrm{e}^{1-k}\). En déduire que la suite \(\left( \delta _{k}\right) _{k \geqslant 2}\) a une limite nulle et, plus précisément, que \(% \delta _{k}\) est équivalent à \(-k \, \mathrm{e}^{-k}\) quand \(k\) tend vers l’infini.
Justifier, en conclusion, la relation \[a_{k}=\mathrm{e}^{k}-k+\circ \! \left( k\right) \mbox{ \ quand \ }k\rightarrow +\infty\]
Calcul approché des nombres \(a_{k}\).
Écrire un programme Python donnant une
valeur approchée à moins de \(10^{-4}\)
près du nombre \(a_{4}\).
Une chaîne de fabrication produit des objets dont certains peuvent être défectueux. Pour modéliser ce processus on considère une suite \(\left( X_{n}\right) _{n \geqslant 1}\) de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, de paramètre \(p\) \((0<p<1)\). La variable aléatoire \(X_{n}\) prend la valeur 1 si le \(n^{i\grave{e}me}\) objet produit est défectueux et prend la valeur 0 s’il est de bonne qualité.
Pour contrôler la qualité des objets produits, on effectue des prélèvements aléatoires et on considère une suite \(\left( Y_{n}\right) _{n \geqslant 1}\) de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, de paramètre \(p^{\prime }\) (\(0<p^{\prime }<1\)), telle que \(Y_{n}\) prend la valeur 1 si le \(n^{i\grave{e}me}\) objet produit est contrôlé et 0 s’il ne l’est pas.
Toutes les variables aléatoires \(X_{n}\) et \(Y_{n}\) sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et sont supposées toutes indépendantes entre elles.
La probabilité conditionnelle d’un événement \(A\) sachant un événement \(B\) est notée \(\mathbb{P}_{B} \! \left( A\right)\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose \(Z_{n}=X_{n}Y_{n}\). La variable aléatoire \(Z_{n}\) ainsi définie vaut donc 1 si le \(n^{i\grave{e}me}\) objet est à la fois défectueux et contrôlé et 0 sinon.
L’objet de l’exercice est d’étudier le nombre d’objets défectueux produits par la chaîne avant qu’un objet défectueux n’ait été détecté.
Déterminer, pour tout entier \(n \geqslant 1\), la loi de la variable aléatoire \(Z_{n}\) et la covariance des variables \(X_{n}\) et \(Z_{n}\). En déduire que les variables \(X_{n}\) et \(Z_{n}\) ne sont pas indépendantes.
Par contre, il résulte des hypothèses (et on ne demande pas de le justifier) que, pour tout entier \(n\), la variable aléatoire \(Z_{n}\) est indépendante des variables \(\left( X_{i},i\ne n\right)\) et des variables \(\left( Y_{i},i\ne n\right)\), de même que des variables \(\left( Z_{i},i\ne n\right)\) .
Soit, pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(A_{n}\) l’événement : « le \(% n^{i\grave{e}me}\) objet fabriqué est le premier qui ait été contrôlé et trouvé défectueux ».
Exprimer \(A_{n}\) à l’aide des variables aléatoires \(% Z_{1},\,Z_{2},\dots ,\,Z_{n}\) et déterminer \(\mathbb{P}\!\left( A_{n}\right)\).
Montrer qu’on finira, presque sûrement, par détecter un objet défectueux.
Soit un entier \(n \geqslant 2\).
Pour tout entier \(k\) vérifiant \(1 \leqslant k \leqslant n-1\), calculer la probabilité des événements \(\left( X_{k}=1\right) \cap A_{n}\) et \(\left( X_{k}=1\right) \cap \left( Z_{k}=0\right)\).
On note \(B_{k}\) l’événement \(\left( Z_{k}=0\right)\). Montrer l’égalité des probabilités conditionnelles
\[\mathbb{P}_{A_{n}} \! \left( X_{k}=1\right) =\mathbb{P}_{B_{k}} \!\left( X_{k}=1\right) =\frac{p-pp^{\prime }}{1-pp^{\prime }}\]
Montrer que si \(x_{1},\;x_{2},\dots ,\;x_{n-1}\) est une suite quelconque de nombres égaux à 0 ou à 1, on a : \[\mathbb{P}_{A_{n}} \! \left( X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1}\right) =\prod_{i=1}^{n-1}\mathbb{P}_{A_{n}} \! \left( X_{i}=x_{i}\right)\]
Soit \(\displaystyle S_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n-1}X_{j}\) le nombre d’objets défectueux fabriqués avant le \(n^{i\grave{e}me}\) objet et soit un entier \(m\) vérifiant \(0 \leqslant m \leqslant n-1\). Calculer \(\mathbb{P}% _{A_{n}} \! \left( S_{n}=m\right)\).
Déterminer l’espérance de \(S_{n}\) pour la probabilité conditionnelle sachant \(A_{n}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
