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On note \(\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right)\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels, \(\mathrm{id}\) l’application identique de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{3}\) dans lui même et \(\mathrm{I}_3\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}\! \left( \mathbb{R}\right)\) représentant \(\mathrm{id}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\] et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par \(A\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Étant donné un couple \(\left( a,b\right)\) de réels, déterminer les valeurs propres de la matrice \(aA+b \mathrm{I}_3\) de \(\mathbb{R}% ^{3}.\) Pour quelles valeurs de \(\left( a,b\right)\) cette matrice est-elle diagonalisable ?
Quelles relations le couple \(\left( a,b\right)\) doit-il vérifier pour que l’endomorphisme \(af+b \, \mathrm{id}\) soit inversible?
Montrer que la réciproque de \(% af+b \, \mathrm{id}\), quand elle existe, est de la forme \(\lambda f+\mu \, \mathrm{id}\) où \(\lambda\) et \(\mu\) sont des réels dont on donnera l’expression en fonction de \(a\) et \(b\).
On considère maintenant l’ensemble \(\mathcal{E}\) des matrices \(T\) de \(% \mathcal{M}_{3} \! \left( \mathbb{R}\right)\) qui commutent avec \(A\) c’est à dire qui vérifient \(AT=TA\).
Montrer que \(\mathcal{E}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M} _{3} \! \left( \mathbb{R}\right)\).
Pour une matrice \(T\) de la forme \(T= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\), calculer \(AT-TA\).
En déduire une base de \(\mathcal{E}\) et sa dimension.
Soit \(\Phi\) l’application de \(\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right)\) dans lui même qui fait correspondre à la matrice \(T\) la matrice \(% AT-TA\).
Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{3} \! \left( \mathbb{R}\right)\). Donner une base du noyau et une base de l’image de \(\Phi\).
Dans tout l’exercice \(\lambda\) désignera un réel strictement positif et \(f_{\lambda }\) sera la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\displaystyle f_{\lambda }(x) =\mathrm{e}^{-\lambda x^{2}}\), pour tout réel \(x\).
Le but de l’exercice est l’étude de la suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=0\) et \(u_{n+1}=\) \(f_{\lambda }( u_{n})\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).
Montrer que l’équation \(f_{\lambda }( x) =x\), d’inconnue \(x\), admet une seule racine dans \(\mathbb{R}\) et que cette racine appartient à \(]0,1[\). On note \(\ell _{\lambda }\) cette racine.
Montrer que, si \(\displaystyle \lambda >\frac{\mathrm{e}}{2}\) , alors \(\displaystyle \ell _{\lambda }>\frac{1}{\sqrt{2\lambda }}\).
On suppose dans cette question que \(\displaystyle \lambda \leqslant \frac{1}{2}\).
Montrer que \(\displaystyle \max_{x\in \left[ 0,1\right] }\left| f_{\lambda }^{\prime }\left( x\right) \right| <1\).
Montrer que la suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) admet pour limite \(\ell _{\lambda }\).
On revient au cas général, c’est à dire \(\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\).
On pose \(g_{\lambda }=f_{\lambda }\circ f_{\lambda }\).
Montrer que \(g_{\lambda }\) est strictement croissante sur \(\left[ 0,+\infty \right[\).
Montrer que les deux suites \(\left( u_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) et \(\left( u_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) sont monotones et convergentes.
Montrer que les racines éventuelles de l’équation \(g_{\lambda }( x) =x\) appartiennent à \(]0,1[\). Vérifier que \(\ell _{\lambda }\) est une racine de cette dernière équation.
Soit \(x\in \left] 0,1\right[\). Montrer que \(g_{\lambda }( x) =x\) si et seulement si \(\ln ( -\ln ( x) ) +2\lambda x^{2}-\ln ( \lambda ) =0\)
Pour tout \(x\in \left] 0,1\right[\), on pose \(h_{\lambda }( x) =\ln ( -\ln ( x) ) +2\lambda x^{2}-\ln ( \lambda )\).
Montrer que la fonction \(h_{\lambda }\) est dérivable sur \(]0,1[\) et que \(% h_{\lambda }^{\prime }( x)\) a le signe opposé de celui de \(% 1+4\lambda x^{2}\ln ( x)\).
Pour tout \(x\in \left] 0,1\right[\), on pose \(k_{\lambda }( x) =1+4\lambda x^{2}\ln ( x)\). Dresser le tableau de variation de la fonction \(k_{\lambda }\).
On se place désormais dans le cas où \(\displaystyle \lambda >\frac{\mathrm{e}}{2}\).
Montrer que, dans ce cas, \(k_{\lambda }( \ell _{\lambda }) <0\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(h_{\lambda }\) et en déduire que l’équation \(g_{\lambda }( x) =x\) admet trois racines \(\mu _{\lambda },\;\ell _{\lambda },\,\nu _{\lambda }\) vérifiant \(0<\mu _{\lambda }<\ell _{\lambda }<\nu _{\lambda }<1\).
Montrer que les suites \(\left( u_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) et \(% \left( u_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) convergent vers \(\mu _{\lambda }\) et \(\,\nu _{\lambda }\) respectivement.
On note \(\mathbb{N}\) l’ensemble des entiers naturels. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0<a<1\) et \(0<b<1\).
On effectue une suite d’expériences aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie notées \(A\) et \(B\). On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu’à chaque expérience les résultats des deux pièces sont indépendants. On suppose que, lors d’une expérience, la probabilité que la pièce \(A\) donne pile est \(a\), et que la probabilité que la pièce \(B\) donne pile est \(b\).
Pour tout entier naturel \(n\), calculer la probabilité \(\mu _{n}\) que la pièce \(A\) donne \(n\) fois pile et, à la \((n+1)^{i\grave{e}me}\) expérience, face pour la première fois.
Calculer de même la probabilité \(\nu _{n}\) que la pièce \(B\) donne \(n\) piles et, à la \(\left( n+1\right) ^{i\grave{e}me}\) expérience, face pour la première fois.
Montrer que les suites \(\left( \mu _{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) et \(% \left( \nu _{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) définissent des lois de probabilité sur \(\mathbb{N}\). Ces lois seront notées dorénavant respectivement \(\mu\) et \(\nu\).
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), à valeurs dans \(\mathbb{N}\), indépendantes et dont les lois de probabilité sont respectivement \(\mu\) et \(\nu\). (La variable aléatoire \(X\) représente le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que la pièce \(A\) donne face pour la première fois et la variable aléatoire \(Y\) représente le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que la pièce \(B\) donne face pour la première fois).
Calculer l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) et la variance \(\mathbb{V}(X)\).
Trouver, pour tout entier naturel \(k\), la valeur de \(\mathbb{P}(X \geqslant k)\).
On s’intéresse au nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que l’une au moins des pièces donne face pour la première fois.
Pour cela on note \(M\) la variable aléatoire définie par \(M=\min ( X,Y) .\)
Calculer, pour tout entier naturel \(k\), la probabilité \(\mathbb{P}\!\left( M\geqslant k\right)\). En déduire la loi de probabilité de \(M\).
Déterminer la probabilité que la pièce \(B\) ne donne pas face avant la pièce \(A\), c’est-à-dire \(\mathbb{P}(Y\geqslant X)\).
On note \(U=X+Y.\)
Déterminer la loi de probabilité de \(U\) (on distinguera les cas \(a=b\) et \(a\ne b\)).
Calculer, pour tout couple \((j,k)\) d’entiers naturels, les probabilités conditionnelles \(\mathbb{P}_{[U=j]} \! \left( Y=k \right)\).
On suppose désormais que \(a=b\). On note \(V=Y-X\).
Calculer, pour tout entier naturel \(k\) et tout entier relatif \(r\), la probabilité de l’événement \([M=k ] \cap [V=r ]\). (On distinguera le cas \(r\geqslant 0\) et le cas \(r<0\) ).
Trouver la loi de probabilité de \(V\). Les variables aléatoires \(M\) et \(V\) sont-elles indépendantes?
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