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Le problème traite de quelques propriétés des polynômes de Hermite qui constituent une famille orthogonale pour un certain produit scalaire qui sera étudié dans ce problème.
On notera \(\mathbb{R}[X]\) (resp. \(\mathbb{R}_{n}[X]\)) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels (resp. l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\)) y compris le polynôme nul.
Pour tout entier naturel \(k\) le polynôme \(X^{k}\) se confond avec la fonction polynomiale réelle \(x \mapsto x^{k}\), en particulier \(X^{0}\) est la fonction constante égale à 1.
On notera \(\left\lfloor x \right\rfloor\) la partie entière d’un réel \(x\).
Enfin on rappelle que \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x=\sqrt{2 \pi}\).
Pour tout entier naturel \(n\), justifier la convergence de l’intégrale \[I_{n}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{n} \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\]
Établir, pour tout entier \(n \geqslant 2\), l’égalité : \(I_{n}= \left( n-1 \right) I_{n-2}\).
Soit \(n\) un entier naturel. Donner la valeur de \(I_{2 n+1}\) et montrer que \(\displaystyle I_{2 n}=\frac{(2 n) !}{2^{n} n !}\).
Pour toute fonction polynomiale \(P\), justifier la convergence de l’intégrale \[\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} P(x) \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\]
On rappelle que si une suite de terme général \(v_{n}\) est telle que les deux sous-suites de termes généraux \(v_{2 n}\) et \(v_{2 n+1}\) convergent vers le même réel \(\ell\) alors la suite \(\left(v_{n}\right)\) est elle-même convergente de limite \(\ell\).
Soit \(C\) un réel positif. Pour tout entier naturel \(n\) on pose \(\displaystyle u_{n}=\frac{C^{n}}{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor!}\).
Déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{C^{2 n}}{n !}\). En déduire la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).
Montrer que la série de terme général \(u_{2 k}+u_{2 k+1}\) (où \(k \in \mathbb{N}\)) converge et donner sa somme.
En déduire la convergence de la série de terme général \(u_{n}\) et la valeur de la somme \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}\).
Soit \(a\) un réel strictement positif et soit \(g\) une fonction réelle indéfiniment dérivable sur \([-a, a]\) pour laquelle existe un réel positif \(K\) tel que, pour tout entier \(n\) : \[\max_{t \in[-a, a]}\left|g^{(n)}(t)\right| \leqslant \frac{K^{n} n !}{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor !}\]
Montrer que pour tout \(\lambda \in[-a, a]\) : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{(\lambda-t)^{n}}{n !} \, g^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t=0\]
En déduire l’égalité suivante, valable pour tout \(\lambda \in[-a, a]\) : \[g(\lambda)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n !} \lambda^{n}\]
Quelle simplification obtient-on si \(g\) coïncide sur \([-a, a]\) avec une fonction polynomiale de degré \(d\) ?
Montrer que l’application \(\displaystyle (P, Q) \mapsto\langle P, Q\rangle=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} P(x) \, Q(x) \, \mathrm{d} x\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[X]\). On notera \(\left\| \cdot \right\|\) la norme associée.
Ainsi si \(n\) est un entier naturel, la restriction de ce produit scalaire aux polynômes de degré au plus \(n\) fait de \(\left(\mathbb{R}_{n}[X], \left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\right)\) un espace euclidien.
On se propose de construire, à l’aide de la base \(\left(1, X, X^{2}, X^{3}\right)\) une base orthogonale de \(( \mathbb{R}_{3}[X],\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle)\) formée de polynômes dont le coefficient de plus haut degré est 1.
Déterminer un réel \(a\) tel que \(P_1(X) = X+aP_0\) soit orthogonal au polynôme \(P_0(X)=1\).
Déterminer deux réels \(b\) et \(c\) tels que le polynôme \(P_2(X) = X^2+bP_1+cP_0\) soit orthogonal aux polynôme \(P_0\) et \(P_1\).
Conclure.
Pour tout entier naturel \(n\), on considère l’application \(H_{n}\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout réel \(x\) par :
\[H_{n}(x)=(-1)^{n} \, \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}} \left( \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \right)^{(n)}\]
où, de manière abusive, \(\left( \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \right)^{(n)}\) désigne la valeur en \(x\) de la dérivée \(n^{\grave{e}me}\) de \(x\mapsto \mathrm{e}^{\frac{-x^{2}}{2}}\).
Pour tout réel \(x\) calculer \(H_{0}(x), H_{1}(x), H_{2}(x), H_{3}(x)\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Établir les relations \[H_{n+1}=X H_{n}-n H_{n-1} \tag{1}\]
et : \[H_{n}^{\prime}=n H_{n-1} \tag{2}\]
Pour établir (1), on pourra remarquer que \(\left( \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \right)^{(n+1)}= \left( -x \, \mathrm{e}^{\frac{-x^{2}}{2}} \right)^{(n)}\).
Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(H_{n}\) est une fonction polynomiale dont on précisera, en fonction de \(n\), le degré, la parité et le coefficient de plus haut degré.
On se propose d’écrire un programme
Python renvoyant les coefficients de \(H_n\). On suppose pour cela avoir importé
la bibliothèque numpy à l’aide de
l’instruction import numpy as np.
Dans la bibliothèque numpy, on dispose
d’une fonction permettant de concaténer deux tableaux. Ainsi, si
x et y sont des
variables contenant des vecteurs unidimensionnels \((x_0,\dots,x_{p-1})\) et \((y_0,\dots,y_{q-1})\), la commande
np.concatenate((x,y),axis=0) renvoie le
vecteur obtenu par concaténation de x et
y, c’est-à-dire le vecteur \((x_0,\dots,x_{p-1},y_0,\dots,y_{q-1})\).
On nommera de la même façon un polynôme \(P\) et la variable
P de type np.array
obtenue en stockant dans la case P[k] le
coefficient de \(X^{k}\) dudit
polynôme.
Écrire une fonction d’en-tête
def multiX(P): qui renvoie le polynôme \(XP\).
À l’aide de (1), écrire une fonction
d’en-tête def Hermite(n): qui, étant donné un
entier naturel \(n\), renvoie le
polynôme \(H_n\).
Montrer que si \(P\) est un polynôme et \(n\) un entier naturel non nul alors : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x) \left( \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \right)^{(n-1)}=0\]
De même on montrerait et on admet que : \[\lim _{x \rightarrow-\infty} P(x) \left( \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \right)^{(n-1)}=0\]
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), calculer \[\left\langle H_{n}, H_{0}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} H_{n}(x) \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\]
Pour \(n\) non nul on utilisera la définition de \(H_{n}\).
Soit \((n, m) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}\). En remarquant que \[\left\langle H_{n}, H_{m}\right\rangle=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} H_{m}(x) \, \left( \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \right)^{(n)} \,\mathrm{d}x\]
et à l’aide d’une intégration par parties qu’on effectuera avec soin montrer que \[\left\langle H_{n}, H_{m}\right\rangle=m\left\langle H_{n-1}, H_{m-1}\right\rangle\]
En déduire que \(\left(H_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est une famille orthogonale de \(\mathbb{R}[X]\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), que vaut \(\left\langle H_{n}, H_{n}\right\rangle\) ?
Soit \(k \in \mathbb{N}\) et \(R\) une fonction polynomiale de degré au plus \(k.\) Que vaut \(\left\langle H_{k+1}, R\right\rangle\) ?
Soit \(n\) un entier naturel, \(k\) un entier vérifiant \(0 \leqslant k \leqslant n\) et \(P\) un polynôme de degré au plus \(k\). Établir l’égalité : \[\left\|X^{k+1}-P\right\|^{2}=\left\|H_{k+1}\right\|^{2}+\|Q-P\|^{2}\] où \(Q=X^{k+1}-H_{k+1}\). On pourra calculer \(\left\langle H_{k+1}, Q-P\right\rangle\).
Quelle est, dans l’espace euclidien \((\mathbb{R}_{n+1}[X],\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle)\), la projection orthogonale de \(X^{k+1}\) sur le sous-espace vectoriel \(\mathbb{R}_{k}[X]\) ?
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Soit \(P\) un polynôme de degré au plus \(n\). Justifier l’égalité suivante: \[P=\sum_{k=0}^{n}\left\langle P, H_{k}\right\rangle \, \frac{H_{k}}{k !}\]
Pour tout couple \((b, c)\) de réels vérifiant \(b \leqslant c\) on admet qu’il existe un réel \(K\) (dépendant de \(b\) et \(c\)) tel que pour tout entier \(n\) et tout \(x \in[b, c]\) : \[\left|\frac{H_{n}(x)}{n !}\right| \leqslant \frac{K^{n}}{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor !}\]
Soit \(x\) un réel donné. À l’aide du 2) de la partie I, établir, pour tout réel \(\lambda\), la convergence de la série de terme général \(\displaystyle \frac{H_{n}(x)}{n !} \, \lambda^{n}\).
Soit \(g_{x}\) (\(x\) est toujours un réel fixé) la fonction définie pour tout réel \(\lambda\) par \(\displaystyle g_{x}(\lambda)= \mathrm{e}^{-\frac{(\lambda-x)^{2}}{2}}\).
Pour tout réel \(\lambda\) et tout entier naturel \(n\) calculer \(g_{x}^{(n)}(\lambda)\) (c’est-à-dire \(\frac{\mathrm{d}^{n} g_{x}}{\mathrm{d} \lambda^{n}}(\lambda)\)) en fonction de \(H_{n}\). Montrer que \(g_{x}\) vérifie les hypothèses du 3) de la partie I et en déduire que pour tout \((x, \lambda) \in \mathbb{R}^{2}\) \[\mathrm{e}^{\lambda x-\frac{\lambda^{2}}{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{H_{n}(x)}{n !} \, \lambda^{n}\]
On note \(\exp\) la fonction \(x \mapsto \mathrm{e}^{x}\). Pour tout entier naturel \(n\) justifier rapidement la convergence de l’intégrale \[\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{x} H_{n}(x) \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \,\mathrm{d}x\]
dont, par analogie, on note \(\left\langle\exp , H_{n}\right\rangle\) la valeur. Calculer \(\left\langle\exp , H_{n}\right\rangle\) puis,pour tout réel \(x\), conclure à l’égalité \[\exp( x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left\langle\exp , H_{n}\right\rangle \, \frac{H_{n}(x)}{n !}\]
Pour calculer (exp, \(\left.H_{n}\right\rangle\) on pourra utiliser la définition de \(H_{n}\) et intégrer par parties (avec soin) afin d’obtenir \(\left\langle\exp , H_{n}\right\rangle=\left\langle\exp , H_{n-1}\right\rangle\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
