ESCP 1996 Maths 1Maths approfondies

Dans tout le problème, \(p\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à deux. On note \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(p\) à coefficients réels et \(\mathrm{I}_p\) la matrice identité d’ordre \(p\). Pour tout élément \(M\) de \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) et pour tout couple \((i, j)\) d’entiers compris entre 1 et \(p\), on note \(a_{i, j}(M)\) le coefficient de \(M\) situé sur la \(i^{\grave{e}me}\) ligne et la \(j^{\grave{e}me}\) colonne.

Une matrice \(M\) appartenant à \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) est dite stochastique si elle satisfait aux deux conditions suivantes:

• Pour tout couple \((i, j)\) d’entiers compris entre 1 et \(p\), \(a_{i, j}(M) \geqslant 0\).

• Pour tout entier \(i\) compris entre 1 et \(p\), \(\displaystyle \sum_{j=1}^{p} a_{i, j}(M)=1\).

On dit qu’une suite indexée par \(n,\left(M_{n}\right)=\left(M_{0}, M_{1}, \ldots, M_{n}, \ldots\right)\) de matrices appartenant à \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) converge vers un élément \(M\) de \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) si, pour tout couple \((i, j)\), la suite des coefficients \(a_{i, j}(M_{n})\) converge vers \(a_{i, j}(M)\); on dit alors que \(M\) est la limite de la suite \(\left(M_{n}\right)\).

Étant donnée une matrice \(A\) appartenant à \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\), pour tout entier \(n \geqslant 0\), on note \(C_{n}\) la matrice définie par la relation: \[C_{n}=\frac{1}{n+1}\left[\mathrm{I}_p+A+A^{2}+\cdots+A^{n}\right] \tag{1}\]

On dit enfin qu’une matrice \(A\) de \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) est \(r\)-périodique où \(r\) est un entier strictement positif, si \(A^{r}=\mathrm{I}_p\).

L’objectif du problème est d’étudier quelques propriétés des matrices stochastiques et notamment, la convergence de la suite \(\left(C_{n}\right)\) lorsque \(A\) est stochastique et \(r\)-périodique.

Partie I. Étude d’exemples

1. Soit \(\alpha\) un nombre réel. Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on pose \[\gamma_{n}=\frac{1}{n+1}\left[1+\alpha+\alpha^{2} \cdots+\alpha^{n}\right]\]

   1. Calculer \(\gamma_{n}\), en distinguant deux cas: \(\alpha \neq 1\) et \(\alpha=1\).

   2. Étudier en fonction de \(\alpha\), la convergence de la suite \(\left(\gamma_{n}\right)\) et, en cas de convergence, préciser sa limite.

2. Premier exemple d’étude de \(\left(C_{n}\right)\). On prend \(p=3\) et \[A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

   1. Calculer \(A^{2}\) et \(A^{3}\). En déduire \(A^{k}\) pour tout entier \(k\). On distinguera trois cas selon que \(k=3 h, k=3 h+1\), et \(k=3 h+2\).

   2. Pour tout entier \(q\), calculer \(C_{3 q}, C_{3 q+1}\) et \(C_{3 q+2}\). En déduire que la suite \(\left(C_{n}\right)\) converge et préciser sa limite \(C\).

   3. Soient \(\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et \(v\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) canoniquement associé à \(C\). Déterminer le noyau \(F\) de \(v\) et prouver que son image \(G\) est la droite vectorielle \(\mathbb{R}e\) de vecteur directeur \(e=\frac{1}{3}\left[e_{1}+e_{2}+e_{3}\right]\). Prouver que les sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) sont supplémentaires et que \(v\) est le projecteur de \(\mathbb{R}^{3}\) sur \(G\) parallèlement à \(F\).

3. Deuxième exemple d’étude de \(\left(C_{n}\right)\).

   On prend \(p=2\) et : \[A= \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}\]

   On note \(w\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{2}\) canoniquement associé à \(A\).

   1. Déterminer les deux valeurs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) de \(\lambda\) pour lesquelles \(A-\lambda \mathrm{I}_2\) n’est pas inversible.

   2. Déterminer deux vecteurs \(f_1\) et \(f_2\) de \(\mathbb{R}^2\), non nuls, tels que \(w(f_1)=\lambda_1f_1\) et \(w(f_2) = \lambda_2f_2\).

   3. En déduire qu’il existe une matrice inversible \(P\), que l’on déterminera, telle que : \[A=P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}P^{-1}\]

      Déterminer alors une expression de \(A^{k}\), pour tout entier \(k \geqslant 0\).

   4. Déterminer deux matrices \(U\) et \(V\) appartenant à \(M_{2}(\mathbb{R})\), telles que, pour tout \(k \geqslant 0\) : \[A^{k}=U+\left(-\frac{1}{6}\right)^{k} V\]

   5. Pour tout entier \(n \geqslant 0\), exprimer \(C_{n}\) en fonction de \(n, U\) et \(V\) et déterminer la limite \(C\) de la suite \(\left(C_{n}\right)\).

   6. Prouver que l’endomorphisme \(v\) de \(\mathbb{R}^{2}\) canoniquement associé à \(C\) est un projecteur dont on précisera le noyau \(F\) et l’image \(G\).

Partie II. Étude de lorsque \(A\) est \(r\)-périodique.

On désigne par \(r\) un entier strictement positif.

4. Soit \(\left(\alpha_{k}\right)\) une suite \(r\)-périodique de nombres réels, c’est-à-dire telle que, pour tout entier naturel \(k \geqslant 0\), \(\alpha_{k+r}=\alpha_{k}\). On pose: \[\gamma=\frac{1}{r}\left[\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{r-1}\right]\]

   Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on pose: \[\gamma_{n}=\frac{1}{n+1}\left[\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\right] \tag{2}\]

   1. Prouver que pour tout entier \(k \geqslant 0\), \[\gamma=\frac{1}{r}\left[\alpha_{k}+\alpha_{k+1}+\cdots+\alpha_{k+r-1}\right]\]

   2. Montrer que la suite de terme général \[\beta_{n}=(n+1) \gamma_{n}-(n+1) \gamma\]

      est \(r\)-périodique. En déduire que \(\left(\beta_{n}\right)\) est bornée.

   3. Établir que \(\left(\gamma_{n}\right)\) converge et préciser sa limite.

5. Soit \(A\) une matrice \(r\)-périodique appartenant à \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\).

   1. Montrer que, pour tout couple \((i, j)\) d’entiers compris entre 1 et \(p\), la suite de terme général \(\alpha_{k}=a_{i, j}(A^{k})\) est \(r\)-périodique. En déduire que la suite \(\left(C_{n}\right)\) converge vers: \[C=\frac{1}{r}\left[\mathrm{I}_p+A+\cdots+A^{r-1}\right]\]

   2. Soient \(\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{p}\right.\) ) la base canonique de \(\mathbb{R}^{p}\), \(u\) et \(v\) les endomorphismes de \(\mathbb{R}^{p}\) canoniquement associés aux matrices \(A\) et \(C\). Prouver que \(u^{r}=\mathrm{id}\), où \(\mathrm{id}\) est l’endomorphisme identique de \(\mathbb{R}^{p}\). Montrer que \(v \circ u=u \circ v\) et que \(u \circ v=v\).

   3. Soit \(x\) un élément de \(\mathbb{R}^{p}\). Prouver que \(u(x)=x\) si et seulement si \(v(x)=x\), puis que \(x\) appartient à \(\operatorname{Im} (v)\) si et seulement si \(u(x)=x\). En déduire que \(\operatorname{Im} (v)=\mathrm{Ker}(u-\mathrm{id})\).

   4. Montrer que \(v\) est le projecteur sur \(G=\operatorname{Im} (v)\) parallèlement à \(F=\mathrm{Ker}(v)\).

   5. Établir enfin que \(\mathrm{Ker}(v)=\operatorname{Im}(u-\mathrm{id})\) ; on pourra d’abord prouver que \(\operatorname{Im}(u-\mathrm{id}) \subset \mathrm{Ker}( v)\).

6. 1. Soit \(\left(\alpha_{k}\right)\) une suite de nombres réels \(r\)-périodique à partir d’un certain rang positif \(m\), c’est-à-dire telle que pour tout \(k \geqslant m\), \(\alpha_{k+r}=\alpha_{k}\). On définit \(\left(\gamma_{n}\right)\) par la relation (2). Prouver que \(\gamma_{n}\) admet une limite que l’on précisera. Pour cela, on pourra considérer la suite \(\alpha_{k}^{\prime}=\alpha_{k+m}\), observer que \(\left(\alpha_{k}^{\prime}\right)\) est \(r\)-périodique, et prouver que, \(\gamma_{n}^{\prime}\) étant associée à \(\left(\alpha_{k}^{\prime}\right)\) par la relation (2), \(\gamma_{n}^{\prime}-\gamma_{n}\) tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

   2. Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) \(r\)-périodique à partir d’un certain rang positif \(m\), c’est-à-dire telle que, pour tout entier \(k \geqslant m\), \(A^{k+r}=A^{k}\). Prouver que la suite \(\left(C_{n}\right)\) admet une limite \(C\) que l’on précisera.

Partie III. Étude de matrices stochastiques

On note \(S_{p}\) l’ensemble des matrices stochastiques de \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\) et \(D_{p}\) l’ensemble des matrices déterministes, c’est-à-dire stochastiques et dont tous les coefficients sont égaux à 0 ou 1. Enfin, on note \(\Delta_{p}\) l’ensemble des matrices déterministes et inversibles.

7. Matrices stochastiques.

   1. Prouver que, pour tout couple \((\lambda, \mu)\) de nombres réels tels que \(\lambda \geqslant 0\), \(\mu \geqslant 0\) et \(\lambda+\mu=1\), et pour tout couple \((M, N)\) d’éléments de \(S_{p}\), \(\lambda M+\mu N\) appartient encore à \(S_{p}\).

   2. Prouver que le produit \(M N\) de deux éléments \(M\) et \(N\) de \(S_{p}\) appartient à \(S_{p}\).

   3. Soit \(A\) un élément de \(S_{p}\). Prouver que, pour tout entier \(n \geqslant 0\), \(C_{n}\) (définie par (1)) appartient à \(S_{p}\). Que peut-on en déduire pour la limite \(C\) de \(\left(C_{n}\right)\), lorsqu’elle existe?

8. Matrices déterministes.

   1. Montrer qu’une matrice \(M\) est déterministe si et seulement si tous ses coefficients sont égaux à 0 ou à 1 et si chaque ligne de \(M\) contient exactement un coefficient égal à 1.

   2. En déduire que \(D_{p}\) est un ensemble fini et préciser le nombre de ses éléments.

   3. Montrer que le produit \(M N\) de deux éléments \(M\) et \(N\) de \(D_{p}\) appartient à \(D_{p}\).

   4. Soit \(A\) une matrice déterministe. Prouver qu’il existe un entier \(r \geqslant 1\) et un entier \(m \geqslant 0\) tels que \(A^{m+r}=A^{m}\). En déduire que, dans ces conditions, \(A\) est \(r\)-périodique à partir de ce rang \(m\) et que si de plus \(A\) est inversible, \(A\) est \(r\)-périodique.

   5. Soit \(A\) une matrice déterministe inversible. Prouver que \(A^{-1}\) l’est aussi.

9. Étude de la suite \(\left(C_{n}\right)\) associée à une matrice \(A\) déterministe.

   1. En utilisant lés résultats de la partie II, établir le résultat suivant: soit \(A\) une matrice déterministe inversible, alors \(\left(C_{n}\right)\) converge vers une matrice stochastique \(C\) telle que \(C^{2}=C\).

   2. Étendre ce résultat au cas où \(A\) est déterministe non inversible.

10. Matrices stochastiques inversibles. Soient \(X\) et \(Y\) des éléments de \(S_{p}\) tels que \(X Y=\mathrm{I}_p\). On se propose de montrer que \(X\) et \(Y\) sont déterministes inversibles.

    1. Prouver que \(Y\) est une matrice inversible et que \(X\) l’est aussi.

    2. On pose \(X=\left(\alpha_{i, j}\right), Y=\left(\beta_{i, j}\right)\) et, pour tout \(j\) compris entre 1 et \(p\), \[\mu_{j}=\max \left\{\beta_{1, j}, \beta_{2, j}, \ldots, \beta_{p, j}\right\}\]

       Prouver que \(\mu_{j}=1\). Pour cela, on pourra calculer le coefficient \(a_{j, j}(X Y)\).

    3. Montrer que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{i, j}=\sum_{j=1}^{p} \mu_{j}\). En déduire que tous les coefficients de \(Y\) sont égaux à 0 ou à 1.

    4. Prouver que \(Y\) et \(X\) appartiennent à \(\Delta_{p}\).

    5. Plus généralement, soient \(U\) et \(V\) deux matrices de \(S_{p}\) telles que le produit \(U V\) appartient à \(\Delta_{p}\). Prouver que \(U\) et \(V\) appartiennent à \(\Delta_{p}\) (on pourra utiliser le résultat de la question III.8e).