ESCP 1995 Maths 1Générale

L’objet du problème est l’étude de la fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty \lbrack\) par : \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}^x -1} &\text{si } x>0 \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

Dans la partie II, on établit l’existence des moments \(\displaystyle I_{p}=\int_{0}^{+\infty }x^{p}f(x)\,\mathrm{d}x\) où \(p\) est un entier naturel, puis on exprime ces moments en fonction des sommes de séries \(\displaystyle A_{p}=\sum% \limits_{k=1}^{+\infty }\)\(\dfrac{1}{k^{p+2}}\).

Dans la partie III, on établit un procédé d’approximation des nombres \(% A_p\).

Partie I

1. 1. Étudier la continuité de \(f\) sur \([0,+\infty \lbrack\).

   2. Quelle est la limite de \(f\) en \(+\infty\)?

2. 1. Calculer la dérivée \(f^{\prime }\) de \(f\) sur \(]0,+\infty \lbrack\).

   2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0.

   3. La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([0,+\infty \lbrack\) ?

3. Étudier les variations de la fonction \(\varphi\) définie sur \(% [0,+\infty \lbrack\) par \[\varphi (x)=1-x-\mathrm{e}^{-x}\] En déduire le signe de \(f^{\prime }(x)\).

4. Étudier les variations de la fonction \(\psi\) définie sur \([0,+\infty \lbrack\) par \[\psi (x)=(x+2)+ \left( x-2 \right) \mathrm{e}^{x}\] En déduire le signe de \(f^{\prime \prime }(x)\) pour \(x>0\).

5. Donner une représentation graphique de \(f\).

Partie II

Dans cette partie et jusqu’à la fin du problème, \(p\) désigne un entier naturel.

6. Dans cette question, \(\lambda\) est un réel strictement positif.

   1. Établir la convergence de l’intégrale : \[K(p,\lambda )=\int_{0}^{+\infty }x^{p} \, \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x\] et calculer \(K(0,\lambda )\).

   2. Établir une relation simple entre \(K(p,\lambda )\) et \(K(p+1,\lambda )\).

      On utilisera une intégration par parties.

   3. En déduire par récurrence la valeur de \(K(p,\lambda )\).

7. 1. Montrer que, pour \(x\in \lbrack 0,+\infty \lbrack\) : \[f(x)\leqslant \mathrm{e}^{-{\frac{x}{2}}}\]

   2. Démontrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{p}f(x)\,\mathrm{d}x\) converge.
      Dans toute la suite du problème, on pose : \[I_{p}=\int_{0}^{+\infty }x^{p}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{+\infty }{% \dfrac{x^{p+1}}{\mathrm{e}^{x}-1}}\,\mathrm{d}x\]

8. Calcul de \(I_{p}\).

   1. Justifier la convergence de la série \(\sum \dfrac{1}{k^{p+2}}\). On note alors : \[A_{p}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\dfrac{1}{k^{p+2}}}\]

   2. Pour \(x\in \left] 0,+\infty \right[\) et \(n\) entier supérieur ou égal à 1, établir : \[{\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{-kx}+{\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{\mathrm{e}^{x}-1}}\]

   3. En déduire que : \[I_{0}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k^{2}}}+\int_{0}^{+\infty }f(x) \, \mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x\]

   4. Exprimer \(I_{0}\) à l’aide de \(A_{0}\).

   5. En adaptant la méthode précédente, exprimer \(I_{p}\) en fonction de \(% A_{p}\).

Partie III

On étudie une méthode de calcul approché de \(A_{p}\).

9. Première approximation.

   1. Soit \(x\) un nombre réel et \(g\) une fonction de classe \(\mathcal C^{2}\) définie sur \(\left[ x-{\dfrac{1}{2}},x+{\dfrac{1}{2}}\right]\) à valeurs réelles. Établir la relation : \[g(x)=\int_{x-{\frac{1}{2}}}^{x+{\frac{1}{2}}}g(t)\,\mathrm{d}t-{\dfrac{1}{2}}% \int_{x}^{x+{\frac{1}{2}}} \left( t-x-{\dfrac{1}{2}} \right)^{2}g^{\prime \prime }(t)\,\mathrm{d}t-{\dfrac{1}{2}}\int_{x-{\frac{1}{2}}}^{x} \left( t-x+{\dfrac{1}{2}} \right)^{2}g^{\prime \prime }(t)\,\mathrm{d}t\] On pourra intégrer par parties les deux dernières intégrales apparaissant dans la formule.

   2. En déduire que, pour tout \(k\) entier supérieur ou égal à 1, on a : \[\left\vert {\frac{1}{k^{p+2}}}-\int_{k-{\frac{1}{2}}}^{k+{\frac{1}{2}% }}{\frac{\mathrm{d}t}{t^{p+2}}}\right\vert \leqslant {\frac{(p+2)(p+3)}{24 \left( k-{\frac{% 1}{2}} \right)^{p+4}}}\]

   3. Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1. Montrer que : \[\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }{\frac{1}{ \left( k-{\frac{1}{2}} \right)^{p+4}}}\leqslant {\frac{1}{(p+3) \left( n-{\frac{1}{2}} \right)^{p+3}}}\]

      et en déduire, à l’aide de (b), que : \[\left| \sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{p+2}}}-{\frac{1}{% (p+1) \left( n+{\frac{1}{2}} \right)^{p+1}}} \right| \leqslant {\frac{p+2}{24 \left( n-{% \frac{1}{2}} \right)^{p+3}}}\]

   4. Exemple. On pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{4}}}+{\frac{1}{% 3 \left( n+{\frac{1}{2}} \right)^{3}}}\] Proposer un majorant de \(\left\vert A_{2}-u_{n}\right\vert\).

10. Deuxième approximation.

    1. On reprend les notations et les hypothèses de la question (III-1.a) et on suppose de plus que \(g\) est de classe \(\mathcal C^{4}\). Montrer que : \[\begin{gathered} g(x)=\int_{x-{\frac{1}{2}}}^{x+{\frac{1}{2}}}g(t)\,\mathrm{d}t-{\frac{% g^{\prime \prime }(x)}{24}} \\ -{\frac{1}{24}}\left[ \int_{x}^{x+{\frac{1% }{2}}} \left( t-x-{\frac{1}{2}} \right)^{4}g^{(4)}(t)\,\mathrm{d}t+\int_{x-{\frac{1}{2}}% }^{x} \left( t-x+{\frac{1}{2}} \right)^{4}g^{(4)}(t)\,\mathrm{d}t\right] \end{gathered}\]

    2. En déduire que pour \(k\) entier supérieur ou égal à 1 : \[\left\vert {\frac{1}{k^{p+2}}}-\int_{k-{\frac{1}{2}}}^{k+{\frac{1}{2}% }}{\frac{\mathrm{d}t}{t^{p+2}}}+{\frac{(p+2)(p+3)}{24k^{p+4}}}\right\vert \leqslant {\frac{(p+2)(p+3)(p+4)(p+5)}{1920 \left( k-{\frac{1}{2}} \right)^{p+6}}}\]

    3. Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1. Montrer que : \[\left\vert \sum\limits_{k=n+1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{p+2}}}-{\frac{1}{% (p+1) \left( n+{\frac{1}{2}} \right)^{p+1}}}+{\frac{(p+2)(p+3)}{24}}\sum% \limits_{k=n+1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{p+4}}}\right\vert \leqslant {\frac{% (p+2)(p+3)(p+4)}{1920 \left( n-{\frac{1}{2}} \right)^{p+5}}}\]

    4. Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1, on pose : \[v_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{p+2}}}+{\frac{1}{(p+1) \left( n+{\frac{1% }{2}} \right)^{p+1}}}-{\frac{p+2}{24 \left( n+{\frac{1}{2}} \right)^{p+3}}}\] En utilisant les résultats des questions 9c et 10c, proposer un majorant de \(\left\vert A_{p}-v_{n}\right\vert\).