ESC 2007Maths approfondies

Exercice 1

On considère l’espace vectoriel \(E=\mathbb{R}^{5}\) muni de sa base canonique \(\mathcal B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}\right)\) ainsi que du produit scalaire canonique et de la norme associés. On note \(f\) l’endomorphisme de \(E\) défini par les relations suivantes: \[f(e_{1})=e_{2}, \quad f(e_{2})=e_{3}, \quad f(e_{3})=e_{4}, \quad f(e_{4})=e_{5}, \quad f(e_{5})=e_{1}+w\] où \(w=e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}\). On note id l’endomorphisme identité de \(E\) défini par \(i d(u)=u\) pour tout vecteur \(u\) de \(E\). On note également \(0_{E}\) le vecteur nul de \(E\).

1. On considère le polynôme \(P\) défini par \(P(x)=2+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}-x^{5}\).

   1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}, \ \left(1-x \right) P(x)=(2-x)\left(1-x^{5}\right)\).

   2. En déduire les racines éventuelles de \(P\).

   3. Donner la matrice \(A\) de l’endomorphisme \(f\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).

   4. Montrer alors l’équivalence : \((\lambda\) est valeur propre de \(A) \Leftrightarrow(P(\lambda)=0)\). En déduire les valeurs propres de \(f\).

   5. \(f\) est-il diagonalisable ?

2. On étudie dans cette question le sous-espace propre \(\mathcal{E}_{2}=\operatorname{Ker}(f-2 \, \mathrm{id})\) associé à la valeur propre 2.

   1. Calculer \(f(w)\) et en déduire que \(w \in \mathcal{E}_{2}\).

   2. Soit \(H=\operatorname{Vect}\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\). Justifier que \(H\) est de dimension 4.

   3. Soit \(u\) un vecteur de \(H\). Montrer que \(\|f(u)\|=\|u\|\).

   4. Soit \(v\) un vecteur de \(\mathcal{E}_{2}\). Montrer que \(\|f(v)\|=2 \left\| v \right\|\).

   5. En déduire que \(H \cap \mathcal{E}_{2}=\left\{0_{E}\right\}\) puis donner une base de \(\boldsymbol{\varepsilon}_{2}\).

3. Étude de \(f^{5}\) :

   1. Montrer que pour tout entier naturel non nul \(k\), \(f^{k}(w)=2^{k} \, w\).

   2. Montrer que \(f^{5}(e_{1})=e_{1}+w\), puis, que pour \(k=2,3,4\) on a \(f^{5}\left(e_{k}\right)=e_{k}+2^{k-1} \, w\).

   3. Montrer que la famille \(\mathcal B^{\prime}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, w\right)\) est une base de \(E\).

   4. Former la matrice de \(f^{5}\) relativement à la base \(\mathcal B^{\prime}\) et donner les valeurs propres de \(f^{5}\).

4. Questions générales :

   1. Soit \(\lambda\) un élément de \(\mathbb{R}\) et \(g\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^{5}\).

      Montrer que si \(\lambda\) est valeur propre de \(g\) alors \(\lambda^{5}\) est valeur propre de l’endomorphisme \(g^{5}\).

   2. En examinant l’endomorphisme \(f\), que peut-on conclure sur une réciproque à cette propriété ?

Exercice 2

On pose pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^3\right)^n} \,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle J_n=\int_0^1 \frac{1}{\left(1+x^3\right)^n} \,\mathrm{d}x\).

1. Prouver la convergence de l’intégrale impropre appelée \(I_n\).

2. Montrer que la suite \(\left(J_n\right)_{n \in N^*}\) est décroissante et converge vers une limite notée \(\ell\).

3. On pose pour tout réel \(A>0\) et tout entier naturel \(n\) non nul : \(\displaystyle I_n(A)=\int_0^A \frac{1}{\left(1+x^3\right)^n} \,\mathrm{d}x\).

   Par une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle I_n(A)=\frac{A}{\left(1+A^3\right)^n}+3 n\left[I_n(A)-I_{n+1}(A)\right]\).

4. Dans cette question on montre que la limite de \(\left(J_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}\), notée \(\ell\), est nulle.

   1. À l’aide de la question 3, montrer que \(\displaystyle \frac{J_n}{3 n}=\frac{1}{3 n \cdot 2^n}+\left(J_n-J_{n+1}\right)\).

   2. Justifier que les séries de terme généraux respectifs \(\left(J_n-J_{n+1}\right)\) et \(\displaystyle \frac{1}{3 n \cdot 2^n}\) sont convergentes.

      En déduire la nature de la série de terme général \(\displaystyle \frac{J_n}{3 n}\).

   3. Soit \(\beta\) un réel non nul et \(\left(a_n\right)\) une suite équivalente à \(\displaystyle \left(\frac{\beta}{3 n}\right)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

      Justifier que la série de terme général \(a_n\) diverge et en déduire par l’absurde que \(\ell=0\).

5. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^3\right)^n} \,\mathrm{d}x\leqslant \frac{1}{3 n-1}\).

   2. En déduire que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} I_n=0\).

6. 1. Grâce à la question 3, montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(\displaystyle I_{n+1}=\frac{3 n-1}{3 n} I_n\).

   2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(\displaystyle I_n=I_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \frac{3 k-1}{3 k}\).

7. On admet que \(I_1=\frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}\). Recopier et compléter le programme ci-dessous afin qu’il demande un entier \(n\) supérieur à \(2\) et calcule puis affiche la valeur de \(I_n\) trouvée à la question 6b :

Exercice 3

Les deux parties sont indépendantes. Dans tout l’énoncé \(p\) est un réel de l’intervalle \(]0 , 1 [\) et \(q=1-p\).

Partie A

Sur une table sont placées deux boules noires (étape 0).

Une des deux boules est choisie au hasard et éliminée de la table.

Ensuite on repose sur la table :

• soit une boule blanche, avec la probabilité \(p\),

• soit une boule noire, avec la probabilité \(q\).

On a alors atteint l’étape 1. Cette action est répétée ainsi indéfiniment, de sorte qu’à chaque étape \(k\), deux boules sont sur la table:

• soit deux noires (événement noté \(A_{k}\)),

• soit une noire et une blanche (événement noté \(B_{k}\)),

• soit deux blanches (événement noté \(C_{k}\)).

À chaque étape, une des deux boules est choisie au hasard puis remplacée comme précédemment soit par une boule blanche avec la probabilité \(p\) soit par une boule noire avec la probabilité \(q=1-p\). Pour \(k \in \mathbb{N}\) on note également \(a_{k}=\mathbb{P}( A_{k})\), \(b_{k}=\mathbb{P}( B_{k})\), \(c_{k}=\mathbb{P}( C_{k})\) et on pose les matrices suivantes: \[M=\begin{pmatrix} q & \frac{q}{2} & 0 \\ p & \frac{1}{2} & q \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 0 & \frac{p}{2} & p \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 0 & 0 & 1 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}, \quad P= \begin{pmatrix} 1 & q & q^{2} \\ -2 & p-q & 2 p q \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ 1 & -p & p^{2} \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}\]

et \(U_{k}= \begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix}\), avec \(U_{0}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

1. 1. Calculer le produit \(P D\).

   2. Calculer le produit \(M P\) et, en utilisant la relation \(p+q=1\), vérifier que \(M P=P D\).

2. 1. Donner \(a_{0}, b_{0}, c_{0}\). Justifier que \(a_{1}=q, b_{1}=p\) et \(c_{1}=0\).

   2. Soit \(k\) un entier naturel non nul.

      Justifier que: \(\mathbb{P}_{A_{k}}(A_{k+1})=q,\) \(\displaystyle \mathbb{P}_{B_{k}}(A_{k+1})=\frac{q}{2}\) et \(\mathbb{P}_{C_{k}}(A_{k+1})=0\).

      Donner aussi \(\mathbb{P}_{A_{k}}(B_{k+1})\), \(P_{B_{k}}(B_{k+1})\), \(\mathbb{P}_{C_{k}}(B_{k+1})\), \(\mathbb{P}_{A_{k}}(C_{k+1})\), \(\mathbb{P}_{B_{k}}(C_{k+1})\), \(\mathbb{P}_{C_{k}}(C_{k+1})\).

   3. Montrer que pour tout entier naturel \(k\) non nul : \(U_{k+1}=M U_{k}\).

   4. En utilisant la question 1.(b), montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(k\) non nul : \[U_{k}=P D^{k} \begin{pmatrix} p^{2} \\ 2 p \\ 1 \end{pmatrix}\]

   5. En déduire pour tout entier naturel \(k\) non nul \(a_{k}, b_{k}, c_{k}\) en fonction de \(k\) et montrer que: \[\lim _{k \rightarrow+\infty} a_{k}=q^{2}, \quad \lim _{k \rightarrow+\infty} b_{k}=2 p q, \quad \lim _{k \rightarrow+\infty} c_{k}=p^{2} .\]

Partie B : \(n\) désigne un entier naturel non nul

Soient \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) des variables mutuellement indépendantes et de même loi. On donne celle de \(X_{1}\) : \[\mathbb{P}( X_{1}=-1)=q^{2} \quad \mathbb{P}(X_{1}=0)=2 p q \quad \mathbb{P}(X_{1}=1)=p^{2}\]

3. 1. Justifier que \(X_{1}(\Omega)=\{-1,0,1\}\) et montrer que l’espérance de \(X_{1}\) est \(\mathbb{E}(X_{1})=p-q\).

   2. Montrer que la variance de \(X_{1}\) est égale à \(\mathbb{V}(X_{1})=2 p q\).

4. On pose \(\displaystyle Z_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1+X_{k}}{2 n}\).

   1. Déterminer \(\mathbb{E}(Z_{n})\) et \(\mathbb{V}(Z_{n})\).

   2. En déduire que pour tout réel \(\varepsilon>0\), \(\displaystyle \mathbb{P}(\left|Z_{n}-p\right| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{p q}{2 n \varepsilon^{2}}\), puis montrer que \(\left(Z_{n}\right)\) converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à \(p\).

   3. Justifier que \((Z_{n})\) est un estimateur de \(p\) sans biais et convergent.