ESC 2006Maths approfondies

Exercice 1

Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes de la question 1.

On considère la matrice \(H=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}\) et l’endomorphisme \(h\) de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par la matrice \(H\) relativement à la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\). On note également \(\lambda_{1}=1-\sqrt{2}\) et \(\lambda_{2}=1+\sqrt{2}\).

1. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe deux réels \(a_{n}\) et \(b_{n}\) tels que : \[H^{n}=\begin{pmatrix} a_{n} & 0 & b_{n} \\ 0 & (-2)^{n} & 0 \\ b_{n} & 0 & a_{n}+2 b_{n} \end{pmatrix}\] et exprimer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et \(b_{n}\).

   2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(b_{n+2}\) en fonction de \(b_{n+1}\) et \(b_{n}\), puis en déduire \(b_{n}\) en fonction de \(n, \lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\).

   3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), exprimer \(a_{n}\) en fonction de \(n, \lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\).

2. 1. Montrer que \(H\) est diagonalisable.

   2. Montrer par la méthode du pivot que les valeurs propres de \(H\) sont \(-2\), \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\).

   3. Déterminer une base de \(\mathbb{R}^{3}\) formée de vecteurs propres de \(h\). Justifier que cette base est orthogonale pour le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).

3. On considère ici l’application \(q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) \[(x, y, z) \mapsto {}^t\!X H X \quad \text { où } \quad X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]

   1. Justifier que \(q\) est une forme quadratique et exprimer \(q((x, y, z))\) en fonction de \(x, y, z\).

   2. Que peut-on dire du signe de \(q\) ? Justifier sa réponse.

4. On considère le sous-ensemble \(D\) de \(\mathbb{R}^{3}\) défini par \(D=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \left]-1 ,+\infty \right[\), ainsi que la fonction \(f\) définie sur \(D\) par: \(f((x, y, z))=x \ln (1+z)+(y-1)^{2}(z-1)+2 z\).

   1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(D\).

   2. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de \(f\).

      Montrer que \(f\) ne présente qu’un point critique \(M_{0}\).

   3. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de \(f\).

      En déduire la Hessienne de \(f\) au point \(M_{0}\).

   4. Le point \(M_{0}\) est-il un maximum, un minimum, ou un point col pour \(f\) ?

Exercice 2

On considère un réel \(\alpha>0\) et la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) définie par : \(\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n \ln ^{\alpha+1}(n)}\). On note, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=2}^{n} u_{k}\).

1. Soit la fonction \(f\) définie sur \(I= \left] 1 ,+\infty\right[\) par \(\displaystyle f(x)=-\frac{1}{\alpha \ln ^{\alpha}(x)}\).

   1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(I\) et calculer sa dérivée \(f^{\prime}\).

      Montrer que \(f\) est concave sur \(I\).

   2. Étudier la nature et la valeur éventuelle de l’intégrale impropre \(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{t \ln ^{\alpha+1}(t)} \,\mathrm{d}t\).

   3. Soit un entier \(k \geqslant 2\). Montrer que pour tout réel \(t \in[k , k+1], \ u_{k+1} \leqslant f^{\prime}(t)\).

      En déduire la nature de la série de terme général \(u_{n}\).

   Dans toute la suite, on note \(\displaystyle L=\sum_{k=2}^{+\infty} u_{k}\) et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\): \(\displaystyle R_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_{k}\).

2. 1. Justifier l’existence de \(R_{n}\). Exprimer \(R_{n}\) à l’aide de \(L\) et \(S_{n}\).

   2. Soit \(p\) et \(n\) deux entiers tels que \(2 \leqslant n<p\).

      Montrer grâce au que : \(\displaystyle \sum_{k=n+1}^{p} u_{k} \leqslant \frac{1}{\alpha \ln ^{\alpha}(n)}-\frac{1}{\alpha \ln ^{\alpha}(p)}\).

   3. En déduire que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \(\displaystyle 0 \leqslant L-S_{n} \leqslant \frac{1}{\alpha \ln ^{\alpha}(n)}\).

3. 1. Montrer que \(\displaystyle \frac{1}{\alpha \ln ^{\alpha}(n)} \leqslant \varepsilon \Leftrightarrow n \geqslant \exp \! \left((\alpha \varepsilon)^{-\frac{1}{\alpha}}\right)\).

   2. Compléter les parties pointillées du programme Python suivant afin qu’il demande deux réels strictement positifs \(\alpha\) et \(\varepsilon\) et affiche un entier naturel \(n\) et une somme partielle \(S_{n}\) tels que l’écart entre \(S_{n}\) et \(L\) soit inférieur à \(\varepsilon\) :

Exercice 3

1. Soit \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) une suite de variables aléatoires admettant une espérance et une variance. On suppose qu’il existe un réel \(m\) tel que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{E}(Y_n)=m \quad\text{et}\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{V}(Y_n)=0\]

   1. Montrer que \(\mathbb{E}(( Y_{n}-m )^{2})= \mathbb{V}( Y_{n})+\left[ \mathbb{E}(Y_{n})-m\right]^{2}\).

   2. En utilisant l’inégalité de Markov, en déduire que : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(\left| Y_n - m \right| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{\mathbb{V}(Y_n) + \left( \mathbb{E}(Y_n) - m \right)^2}{\varepsilon^2}\]

   3. Montrer alors que \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à \(m\).

   Dans la suite de cet exercice, on considère une suite \((X_i)_{i\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et de même loi. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(M_n=\sup(X_1,\dots,X_n)\) désigne la variable aléatoire définie par : \[\forall \omega\in\Omega,\ M_n(\omega) = \max_{1\leqslant i \leqslant n} X_i(\omega)\]

2. On suppose que les variables aléatoires de la suite \((X_i)_{i\in\mathbb{N}^\ast}\) suivent la loi de Bernoulli de paramètre \(p \in \left] 0,1 \right[\) et on note \(q=1-p\).

   1. Montrer que \([ M_{2}=0 ]= [ X_{1}=0 ] \cap [ X_{2}=0 ]\) et en déduire la loi de \(M_{2}\).

   2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(M_n\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(1-q^n\).

   3. Soient \(r\) et \(s\) deux entiers tels que \(1\leqslant r <s\). Montrer que \([M_r=1]\) est inclus dans \([M_s=1]\) et en déduire que : \[\mathbb{E}(M_rM_s)=1-q^r\] Calculer alors la covariance de \((M_r,M_s)\).

   4. Donner la matrice de variance-covariance des variables \(\left(M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n}\right)\).

   5. Déduire de la question 1 que la suite \((M_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à \(1\).

   6. Montrer que la suite \(\left( n \left( 1 - M_n \right)\right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à \(0\).

3. On suppose ici que les variables aléatoires de la suite \((X_i)_{i\in\mathbb{N}^\ast}\) sont des variables aléatoires à densité indépendantes, de loi uniforme sur \([0,1]\).

   1. Rappeler la fonction de répartition d’une loi uniforme sur \([0 , 1]\).

   2. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Prouver que : \[\forall x\in [0,1],\ \mathbb{P}(M_n \leqslant x) = x^n\] puis que \(M_n\) est une variable aléatoire à densité.

   3. Soient \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(\varepsilon\in \left] 0,1\right]\). Calculer \(\mathbb{P}(\left| M_n-1 \right| \leqslant \varepsilon)\).

   4. En déduire que \((M_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à \(1\).

   5. Soit \(\alpha\) un réel strictement positif.

      1. Soit \(n\) un entier strictement supérieur à \(\alpha\). Montrer que : \[\mathbb{P}( n\left( 1-M_n \right) \leqslant \alpha ) = 1- \left( 1- \frac{\alpha}{n} \right)^n\]

      2. En déduire que la suite \(\left( n \left( 1 - M_n \right)\right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(1\).