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Dans tout le sujet, les questions d’informatique portent sur le
langage Python, on suppose que l’on a importé
différentes librairies à l’aide des commandes suivantes :
import numpy as np import numpy.random as rd import matplotlib.pyplot as plt
On note \(\mathcal D\) le domaine du plan : \[\mathcal D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~;~1+xy>0\right\}~;\] et on considère la fonction de deux variables réelles \(f\) définie sur l’ouvert \(\mathcal D\) de \(\mathbb{R}^2\) par : \[\forall (x,y)\in\mathcal D,\ f(x,y)\ =\ x+\ln(1+xy)\]
Calculer le gradient \(\nabla f(x,y)\) pour tout \((x,y)\in \mathcal D.\)
Montrer que \(f\) admet un unique point critique \((x_0,y_0)\) dans \(\mathcal D\).
Calculer la matrice hessienne \(\nabla^2 f(x_0,y_0)\), puis déterminer la nature du point critique \((x_0,y_0)\).
Soit \(k\in\mathbb{R}\), on appelle ligne de niveau \(k\) de la fonction \(f\) le sous-ensemble du plan \(\displaystyle\left\{(x,y)\in \mathcal D~;~f(x,y)=k\right\}.\)
Soit \(k\in\mathbb{R}\) et soit \((x,y)\in\mathcal D\) avec \(x\neq 0\), montrer que : \[f(x,y)=k\ \Leftrightarrow\ y=\dfrac{\mathrm{e}^{k-x}-1}{x}\]
Le graphique ci-dessous, obtenu à l’aide d’un programme
Python, représente certaines lignes de niveau de la
fonction \(f\).
Recopier et compléter la ligne 5 du programme ci-dessous afin qu’il produise le graphique ci-dessus. À la lecture du programme, préciser pour quelles valeurs de \(k\) la ligne de niveau \(k\) apparaît sur le graphique.
K = [-0.4+i/5 for i in range(8)]
X = np.linspace(-2,2,100)
for k in K:
M = [ ...... for x in X]
plt.plot(X,M,color='black')
plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-3,1)
plt.show()On considère la fonction \(g : \mathbb{R}^*\rightarrow\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R}^*,\ g(x)\ =\ \dfrac{\mathrm{e}^{-x}-1}{x}\]
Donner le signe de \(g\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Montrer que la fonction \(g\) admet un prolongement continu en \(0\).
On note encore \(g\) le prolongement continu de \(g\) à \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(g\) est dérivable en \(0\), et préciser la valeur de \(g'(0)\).
Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\).
Montrer que \(g'(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\).
Déterminer soigneusement les limites de \(g\) en \(-\infty\) et \(+\infty\), puis dresser son tableau de variation.
On suppose le plan muni d’un repère orthonormé.
Représenter sur un même dessin :
la courbe d’équation \(1+xy=0\) qui délimite le domaine \(\mathcal D\) ;
la ligne de niveau \(0\) de \(f\) qui est formée de la droite d’équation \(x=0\) et de la courbe de \(g\).
La ligne de niveau \(0\) de la fonction \(f\) divise le domaine \(\mathcal D\) en quatre zones, dans chacune d’elles \(f\) est de signe constant. Hachurer (sur votre dessin) les deux zones dans lesquelles \(f\) prend des valeurs positives.
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) on pose : \[G(x) = \int_0^x g(t) \, dt\]
Justifier que la fonction \(G\) est bien définie et de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\), donner sa dérivée.
Montrer que, pour tout \(x>0\), \[G(x) = G(1)+ \int_1^x \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t} \, dt -\ln(x)\]
En déduire qu’au voisinage de \(+\infty\) on a : \(G(x)\sim -\ln(x)\).
Montrer que, pour \(x>0\) voisin de \(0\), on a : \[\int_x^1 \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t} \,\mathrm{d}t= -\ln(x)+G(1)+x+o(x)\]
Commentaire : l’intégrale ci-dessus est égale à l’aire de la surface formée des points de \(\mathcal D\) situés au-dessous de la ligne de niveau \(0\) dont l’abscisse est comprise entre \(x\in \left] 0,1 \right[\) et \(1\).
On considère l’espace vectoriel \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\) des matrices carrées d’ordre deux à coefficients réels muni de sa base canonique \(\mathcal B=(E_1,E_2,E_3,E_4)\) où \[E_1= \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix} ,\quad E_2=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix} ,\quad E_3=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix} ,\quad E_4=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix}\]
On appelle trace et déterminant les applications \(\mathrm{Tr}\colon \mathcal M_2(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}\) et \(\det\colon\mathcal M_2(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}\) définies, pour toute matrice \(M= \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\) de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\), par : \[\mathrm{Tr}(M)=a+d\quad \text{et}\quad \det(M)=ad-bc\]
Montrer que l’application \(\mathrm{Tr}\) est linéaire.
On définit une application \(\varphi \colon \mathcal M_2(\mathbb{R})\rightarrow \mathcal M_2(\mathbb{R})\) en posant, pour toute matrice \(M\in \mathcal M_2(\mathbb{R})\), \[\varphi(M) =\mathrm{Tr}(M)I -M\] où \(I\) désigne la matrice identité de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\).
Vérifier que \(\varphi(I)=I\).
Soit \(M\in\mathcal M_2(\mathbb{R})\), montrer que \(\mathrm{Tr}\left(\varphi(M)\right)=\mathrm{Tr}(M)\).
Déterminer la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base canonique \(\mathcal B\) de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\).
Calculer \(A^2\). En déduire que \(A\) est inversible et donner son inverse.
Déterminer le spectre de \(A\), ainsi qu’une base de chacun de ses sous-espaces propres.
Soit \(M=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\) une matrice de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\), exprimer \(\varphi(M)\) comme un tableau de nombres puis établir : \begin{align*} M \varphi(M) &=& \det(M)I. \end{align*}
Déduire de cette égalité que \(M\) est inversible si et seulement si \(\det(M)\neq 0\), et que dans ce cas \[M^{-1} = \dfrac{1}{\det(M)} \, \varphi(M)\]
Soient \(M\) et \(N\) deux matrices inversibles de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\) telles que \(M+N\) soit inversible. Montrer que : \[(M+N)^{-1} = \frac{\det(M)}{\det(M+N)} \, M^{-1}+\frac{\det(N)}{\det(M+N)} \, N^{-1}\]
On note \((P_n)_{n\geqslant 0}\) la suite des polynômes de Tchebychev définie par ses deux premiers termes \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_0(x)=0 \quad\text{et}\quad P_1(x)=1\] et la relation de récurrence, valable pour tout entier \(n\geqslant 1\), \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{n+1}(x)\ =\ xP_n(x)-P_{n-1}(x)\]
Déterminer les polynômes \(P_2\) et \(P_3\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on a \(\deg\left(P_n\right)=n-1\).
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\) de déterminant 1, c’est-à-dire avec \(\det(M)=1\).
On définit une suite de nombres réels \((a_n)_{n\geqslant 0}\) en posant, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[a_n\ =\ P_n(\mathrm{Tr}(M))\]
À l’aide de l’identité établie en question ???, montrer que : \[M^2=\mathrm{Tr}(M)M-I\]
Démontrer que, pour tout \(n\geqslant 1\), on a : \[M^n = -a_{n-1}I+ a_nM \qquad (\ast)\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), il existe un polynôme \(Q_n\) tel que : \[\mathrm{Tr}\left(M^n\right)= Q_n(\mathrm{Tr}(M))\] Exprimer le polynôme \(Q_n\) à l’aide des polynômes de Tchebychev.
Compléter la fonction Python « P(n,x)
» ci-dessous qui prend en argument un entier naturel \(n\) et un réel \(x\), et qui renvoie le nombre \(P_n(x)\). Vous pouvez utiliser autant de
lignes que vous le souhaitez dans la boucle « for ».
def P(n,x):
P0 = 0
P1 = 1
for k in range(1,n+1):
.....
.....
.....
return(P0)En utilisant la fonction « P(n,x) » ainsi que
l’identité \((\ast)\) ci-dessus,
rédiger une fonction Python « Puissance(n,M) » qui prend en
argument un entier \(n\geqslant 1\) et
une matrice \(M\) de déterminant 1, et
qui renvoie la matrice \(M^n\). On
suppose la matrice \(M\) construite à
l’aide de la commande « np.array ».
Rappel Python : La commande « np.eye(2)
» renvoie la matrice identité d’ordre 2.
La partie \(C\) est
indépendante des parties A et B.
Toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même
espace probabilisé \((\Omega,\mathcal A,
\mathbb{P})\).
On dispose d’une pièce qui tombe sur pile avec une probabilité \(p\in]0,1[\), on pose \(q=1-p\). Lorsqu’on effectue une succession de \(n\geqslant 2\) lancers avec cette pièce on note, pour tout \(k\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\),
\(P_k\) l’évènement : « on obtient pile au \(k\)-ième lancer »,
\(F_k\) l’évènement : « on obtient face au \(k\)-ième lancer ».
Par abus de notation, on omettra le symbole d’intersection entre ces évènements, ainsi on écrira \(P_1F_2F_3\) au lieu de \(P_1\cap F_2\cap F_3\). Enfin, on appelle :
double pile tout évènement de la forme \(P_{k-1} P_{k}\) avec \(k\in\left[\!\left[2,n\right]\!\right]\),
pile isolé tout évènement de la forme \(P_1F_2\) ou \(F_{k-1}P_kF_{k+1}\) avec \(k\in\left[\!\left[2,n-1\right]\!\right]\).
On considère la première expérience aléatoire suivante : on lance une pièce jusqu’à obtenir un premier pile, puis on relance la pièce une seule fois. On note :
\(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués,
\(S\) l’évènement « le dernier lancer donne pile ».
Exemple : si la succession de lancers donne \(F_1P_2F_3\) alors on a \(N=3\) et l’évènement \(\overline S\) est réalisé, si la succession de lancers donne \(F_1F_2F_3P_4P_5\) alors on a \(N=5\) et l’évènement \(S\) est réalisé.
Reconnaître la loi de la variable aléatoire \(N-1\) qui donne le rang du premier lancer pile.
En déduire la loi de \(N\), puis donner son espérance \(\mathbb{E}(N)\) et sa variance \(\mathbb{V}(N)\).
Soit \(n\geqslant 2\), calculer la probabilité \(\mathbb{P}((N=n) \cap S)\).
Montrer que \(\mathbb{P}(S)=p\).
On s’intéresse maintenant à l’expérience aléatoire consistant à lancer la pièce jusqu’à obtenir un premier double pile. On admet que cela revient à répéter de manière indépendante la première expérience aléatoire jusqu’à la réalisation de l’évènement \(S\). On note alors :
\(R\) la variable aléatoire égale au nombre de répétitions de la première expérience aléatoire,
\(T\) la variable aléatoire égale au nombre total de lancers effectués,
et, pour tout un entier \(i\geqslant 1\),
\(N_i\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers réalisés lors de la \(i\)-ème répétition de la première expérience aléatoire si \(R\geqslant i\), et égale à 0 si \(R<i\).
On admet que toutes ces variables aléatoires sont bien définies presque sûrement.
Exemple : la série de lancers \(F_1P_2F_3F_4F_5F_6P_7P_8\) se décompose en deux répétitions de la première expérience aléatoire, on a \(F_1P_2F_3\) puis \(F_4F_5F_6P_7P_8\), ce sont les deux exemples vus précédemment. Dans ce cas, on a \(R=2\), \(T=8\), \(N_1=3\), \(N_2=5\) et \(N_i=0\) pour tout \(i\geqslant 3\).
Déterminer la loi de \(R\).
En moyenne, combien de piles isolés obtient-on avant le premier double pile ?
Soit \(i\geqslant 1\) un entier. On admet que la loi conditionnelle de \(N_i\) sachant \((R\geqslant i)\) est la loi de \(N\).
Calculer \(\mathbb{P}(N_i=0)\).
Montrer que, pour tout entier \(k\geqslant 2\), \(\mathbb{P}(N_i=k)=p\, q^{i+k-3}\).
Montrer que \(N_i\) admet une espérance donnée par : \(\mathbb{E}(N_i)= q^{i-1}\, \dfrac{1+p}{p}\).
Établir que la série \(\sum\limits_{i\geqslant 1} \mathbb{E}(N_i)\) converge et calculer sa somme.
Par définition des variables aléatoires \(N_i\) on a \(T=\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} N_i\), c’est-à-dire : \[\forall \omega\in\Omega,\ T(\omega)\ =\ \sum\limits_{i=1}^{+\infty} N_i(\omega)\] Notez que cette somme est (presque sûrement) bien définie puisque \(N_i(\omega)=0\) pour tout \(i>R(\omega)\).
Soit \(n\geqslant 2\).
Justifier que, pour tout \(k\in\left[\!\left[0, n\right]\!\right]\), \(\mathbb{P}(T=k)=\mathbb{P}(N_1+\cdots +N_n=k)\).
En déduire que : \(\displaystyle\sum\limits_{k=2}^{n} k\ \mathbb{P}(T=k)\ \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{E}(N_i).\)
Établir que \(T\) admet une espérance.
Conclure que \(\mathbb{E}(T)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \mathbb{E}(N_i)\).
Rappel Python : la commande «
rd.random() » renvoie un nombre dans \([0,1[\) selon la loi uniforme sur \([0,1[\).
Recopier et compléter la fonction « Exp_1(p)
» ci-dessous qui simule la première expérience aléatoire (décrite en
début de partie A). Cette fonction prend en argument le paramètre \(p\in]0,1[\) et renvoie un couple d’entiers
\((N,S)\), où \(N\) représente le nombre de lancers
effectués, et \(S\in\{0,1\}\) prend la
valeur \(1\) si le dernier lancer a
donné pile et 0 sinon.
def Exp_1(p):
N = 1
while ..... :
N = N + 1
if ..... :
S = .....
else:
S = .....
return N+1, SRédiger une fonction « Exp_2(p) » qui simule la
deuxième expérience aléatoire consistant à répéter la première
expérience aléatoire jusqu’à la réalisation de l’évènement \(S\). Cette fonction prend en argument le
paramètre \(p\) et renvoie le couple
d’entiers \((R,T)\), où \(R\) est le nombre de répétitions de la
première expérience aléatoire, et \(T\)
est le nombre total de lancers effectués.
On vous demande de suivre cet algorithme :
On affecte aux variables \(R\), \(S\) et \(T\) la valeur \(0\).
Tant que \(S=0\) :
| \vline\vline\vline\ On augmente la variable $R$ de $1$ | |
|---|---|
\vline\vline\vline\ On affecte à la variable $E$ le résultat de Exp_1(p) | |
| \vline\vline\vline\ On affecte à la variable $S$ la deuxième composante de $E$ | |
| \vline\vline\vline\ On ajoute à la variable $T$ la première composante de $E$ |
On renvoie le couple \((R,T)\)
Rédiger une fonction « Freq_T(n,p) » qui prend en
argument un entier \(n\geqslant 2\)
ainsi que le paramètre \(p\), et qui
renvoie la fréquence d’apparition de \(n\) parmi \(10^4\) réalisations de la variable
aléatoire \(T\) (on pourra simuler
\(T\) par la deuxième composante de «
Exp_2(p) »).
En exécutant la commande « Freq_T(4,1/2)
» l’ordinateur affiche « 0.123 ».
Ce résultat vous paraît-il cohérent ? Justifier votre réponse.
On réalise une succession infinie de lancers avec la même pièce qui tombe sur pile avec une probabilité \(p\), et on note \((Y_n)_{n\geqslant 1}\) la suite de variables aléatoires définies par :
\[\forall n\geqslant 1,\ Y_n=\begin{cases} 1 & \text{si $P_{n}P_{n+1}$ est réalisé} \\ 0& \text{sinon} \end{cases}\]
Autrement dit, \(Y_n\) prend la valeur \(1\) si on réalise un double pile lors des \(n\)-ième et \(n+1\)-ième lancers.
Soit \(n\geqslant 1\) un entier. Reconnaître la loi de \(Y_n\), puis donner son espérance \(\mathbb{E}(Y_n)\) et sa variance \(\mathbb{V}(Y_n)\).
Soit \(n\) et \(m\) deux entiers avec \(n\geqslant 1\) et \(m\geqslant n+2\).
Les variables aléatoires \(Y_n\) et \(Y_{n+1}\) sont-elles indépendantes ? Même question avec \(Y_n\) et \(Y_m\).
Calculer les covariances \(\mathrm{Cov}(Y_n,Y_{n+1})\) et \(\mathrm{Cov}(Y_n,Y_m)\).
Soit \(n\geqslant 1\) un entier, on s’intéresse à la variable aléatoire \(S_n\) égale au nombre de doubles piles survenus au cours des \(n+1\) premiers lancers, on a : \[S_n =\sum_{k=1}^{n} Y_k\]
Calculer l’espérance \(\mathbb{E}(S_n)\), et montrer que la variance \(\mathbb{V}(S_n)\) est donnée par : \[\mathbb{V}(S_n) = np^2(1-p^2)+2(n-1) p^3 (1-p)\]
En déduire que : \[\displaystyle \mathbb{V}\! \left(\frac{S_n}{n}\right) \leqslant \frac{3 p^2}{n}\]
Soit \(\mathrm{e}>0\), à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev établir : \[\mathbb{P}\left(\left|\frac{S_n}{n} - p^2 \right|\geqslant \mathrm{e}\right) \leqslant 3 \ \left(\frac{p}{\mathrm{e}} \right)^2 \ \frac{1}{n}\] En déduire : \[\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\mathbb{P}\left(\left|\frac{S_n}{n} - p^2 \right|\geqslant \mathrm{e}\right) =0\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Sujet globalement classique pour EML, équilibré et progressif.
Le premier exercice propose une étude complète d’une fonction de deux variables autour d’une ligne de niveau, avec interprétation géométrique et calcul d’aire.
Le second développe des résultats d’algèbre linéaire sur les matrices 2×2 jusqu’à une application aux polynômes de Tchebychev.
Le troisième exercice étudie l’apparition de doubles piles dans une suite de lancers, combinant lois géométriques, espérances de temps d’attente et convergence en probabilité.
Un sujet long mais accessible, couvrant efficacement l’ensemble du programme.