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On introduit les deux suites réelles \(\left(I_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) et \(\left(J_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définies par \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} t, \quad \text { et } \quad J_{n}=\int_{-1}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} t\]
Justifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), les intégrales \(I_{n}\) et \(J_{n}\) sont bien définies et exprimer \(J_{n}\) en fonction de \(I_{n}\).
Calculer \(I_{0}\).
Montrer que la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) est décroissante.
Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que, pour tout \(n \geqslant 1\), \[I_{n}=\frac{2 n}{2 n+1} \, I_{n-1}\]
En déduire, par récurrence, que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \[I_{n}=\frac{\left(2^{n} \, n!\right)^{2}}{(2 n+1)!}\]
puis donner la valeur de \(J_{n}\).
Informatique. Compléter alors la fonction
Python ci-dessous pour qu’elle calcule et
renvoie la valeur de \(I_{n}\), où
\(n\) est en argument.
On admet la formule de Stirling: \(\displaystyle n!\underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}\). Montrer que : \[\displaystyle J_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{n}}\]
Dans toute cette section, on considère, l’espace vectoriel \(\mathbb{R}[x]\) des polynômes et, pour un entier \(n \geqslant 2\) fixé, son sous-espace vectoriel \(\mathbb{R}_{n}[x]\) formé des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) dont on note \(\mathcal{B}_{n} = \left(e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{n}\right)\) la base canonique.
Montrer que l’application \begin{align*} \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x] & \longrightarrow \mathbb{R} \\ (P, Q) & \longmapsto \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \, \mathrm{d} t \end{align*}
définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[x]\).
On notera \(\langle\cdot, \cdot\rangle\) ce produit scalaire et \(\|\cdot\|\) la norme associée.
Les polynômes de \(\mathcal{B}_{n}\) sont-ils deux à deux orthogonaux pour ce produit scalaire ?
On définit ensuite l’application \(u\) sur \(\mathbb{R}_{n}[x]\) par \(u: P \mapsto u(P)\) où \(u(P)\) est la dérivée de la fonction polynomiale \(x \mapsto\left(1-x^{2}\right) P^{\prime}(x)\). Par abus de notation et pour alléger la présentation, on s’autorisera à écrire
\[u(P): x \mapsto\left(\left(1-x^{2}\right) P^{\prime}(x)\right)^{\prime}\]
Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
Montrer que \(u(e_{0})=0\) puis que \(u(e_{1})=-2 e_{1}\).
Soit \(k \in \left[\!\left[2, n\right]\!\right]\). Montrer que \(u(e_{k})=-k \left( k+1 \right) e_{k}+k \left( k-1 \right) e_{k-2}\).
Déduire des deux questions précédentes le spectre de \(u\) ainsi que la dimension de chaque sous-espace propre.
Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, qu’il existe une base orthonormale de \(\mathbb{R}_{n}[x]\) formée de vecteurs propres de \(u\). En déduire l’existence d’une base orthogonale de \(\mathbb{R}_{n}[x]\) formée de vecteurs propres de \(u\) pour lesquels le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1.
On notera \(\mathcal{L}_{n}=\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\) cette base.
On admet que, quitte à réordonner les termes, la famille de polynômes \(\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\) ainsi construite est telle que, pour tout \(k \in \left[\!\left[0, n\right]\!\right]\), \(\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{k}\right)\) forme une base orthogonale de \(\mathbb{R}_{k}[x]\). On pourra utiliser cette observation dans la suite du problème.
Soit \(m>n\) un entier. Soit \(f \in \mathbb{R}_{m}[x]\) un polynôme.
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(T_{n} \in \mathbb{R}_{n}[x]\) tel que \[\left\|f-T_{n}\right\|=\min _{g \in \mathbb{R}_{n}[x]}\|f-g\|\]
Montrer qu’il existe \(\left(c_{0}, \ldots, c_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\) tel que \(\displaystyle T_{n}=\sum_{k=0}^{n} c_{k} L_{k}\).
On précisera, pour tout \(k \in \left[\!\left[0, n\right]\!\right]\), l’expression de \(c_{k}\) en fonction de \(f\) et de \(L_{k}\).
Montrer que \(\displaystyle \left\|f-T_{n}\right\|^{2}=\|f\|^{2}-\sum_{k=0}^{n} c_{k}^{2}\left\|L_{k}\right\|^{2}\).
On considère, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), les polynômes \(P_{k}: x \mapsto\left(x^{2}-1\right)^{k}\) et \(Q_{k}=P_{k}^{(k)}\) (\(Q_{k}\) est ainsi obtenu en dérivant \(k\) fois \(P_{k}\)). En particulier, \(Q_{0}=P_{0}^{(0)}=P_{0}\).
Montrer que \(Q_{k}\) est un polynôme de degré \(k\) et que son coefficient de plus haut degré vaut \(\displaystyle \frac{(2 k) \text { ! }}{k!}\).
Expliciter les polynômes \(Q_{0}, Q_{1}\) et \(Q_{2}\).
Montrer que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), pour tout \(x \in \mathbb{R}: P_{1}(x) P_{k}^{\prime}(x)=2 k e_{1}(x) P_{k}(x)\).
Soit \(k \in \left[\!\left[0, n\right]\!\right]\) fixé. En dérivant, à l’aide de la formule de Leibniz, la relation précédente à l’ordre \(k+1\), montrer que :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \ \left(1-x^{2}\right) Q_{k}^{\prime \prime}(x)-2 x Q_{k}^{\prime}(x)+k \left( k+1 \right) Q_{k}(x)=0\]
En déduire que \(Q_{k}\) est un vecteur propre de \(u\) associé à la valeur propre \(-k(k+1)\).
Conclure que, pour tout \(\displaystyle k \in \left[\!\left[0, n\right]\!\right]: \ L_{k}=\frac{k!}{(2 k)!} \, Q_{k}\).
Montrer par récurrence que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on a : \[\begin{gathered} \forall(f, g) \in \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x], \ \int_{-1}^{1} f^{(k)}(t) g(t) \mathrm{d} t=\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{j}\left[f^{(k-1-j)}(t) g^{(j)}(t)\right]_{-1}^{1} \\ +(-1)^{k} \int_{-1}^{1} f(t) g^{(k)}(t) \mathrm{d} t \end{gathered}\]
Soit \(k \in \left[\!\left[0, n\right]\!\right]\) fixé.
Vérifier que : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ P_{k}^{(2 k)}(x)=(2 k)\) !.
Montrer par récurrence que, pour tout \(\ell \in \left[\!\left[0, k\right]\!\right]\), il existe un polynôme \(R_{k, \ell}\) de degré inférieur ou égal à \(\ell\) tel que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ P_{k}^{(\ell)}(x)=\left(x^{2}-1\right)^{k-\ell} R_{k, \ell}(x)\]
En déduire que, pour tout \(\ell \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,k-1} \right]\kern-0.15em\right],\ P_{k}^{(\ell)}(-1)=P_{k}^{(\ell)}(1)=0\) puis, à l’aide des résultats de la partie 1, que : \[\left\|Q_{k}\right\|^{2}=\frac{2^{2 k+1}(k!)^{2}}{2 k+1}, \quad \text { puis } \quad\left\|L_{k}\right\|=2^{k} \sqrt{\frac{2}{2 k+1}}\binom{2 k}{k}^{-1}\]
Dans tout le problème, on considère un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
La partie 2 peut être traitée indépendamment de la partie 1, excepté pour la question 20, qui établit un lien entre un résultat observé à la question 8 et une propriété démontrée tout au long de la partie 2.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)}\).
Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité de probabilité.
On note \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\). On dit que \(X\) suit la loi de Cauchy. On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).
Montrer que \(X\) n’admet ni espérance, ni variance.
Donner, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), l’expression de \(F(x)\). Montrer que \(F\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(] 0,1[\) et préciser, pour tout \(y \in \left] 0,1\right[\), l’expression de \(F^{-1}(y)\).
Soit \(U\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \(] 0,1 [\). Montrer que \(Y=F^{-1}(U)\) suit la même loi que \(X\).
Informatique. Déduire de la question précédente l’écriture d’une
fonction Python d’en-tête def cauchy(): qui
renvoie une simulation de \(X\).
On note maintenant \(Z=\sqrt{|X|}\). On admet que \(Z\) est une variable aléatoire définie sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire à densité et expliciter une densité \(f_{Z}\) de \(Z\).
Justifier que \(Z\) admet une espérance, mais pas de variance.
Le but de cette question est de calculer explicitement \(\mathbb{E}(Z)\).
Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que
\[\forall x \geqslant 0, \ \frac{x^{2}}{\left(x^{2}-\sqrt{2} x+1\right)\left(x^{2}+\sqrt{2} x+1\right)}=\frac{\alpha x}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}+\frac{\beta x}{x^{2}+\sqrt{2} x+1}\]
Justifier que intégrales \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}\) et \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+\sqrt{2} x+1}\) convergent.
Obtenir, à l’aide d’un changement de variable affine que :
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+\sqrt{2} x+1}=\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\]
On admet qu’on peut obtenir de la même manière : \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}=\frac{3 \pi}{2 \sqrt{2}}\).
En observant que, pour tout \(x \geqslant 0\), \[\begin{gathered} \frac{\alpha x}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}+\frac{\beta x}{x^{2}+\sqrt{2} x+1}=\frac{\alpha}{2}\left(\frac{2 x-\sqrt{2}}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}+\frac{\sqrt{2}}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}\right) \\ +\frac{\beta}{2}\left(\frac{2 x+\sqrt{2}}{x^{2}+\sqrt{2} x+1}-\frac{\sqrt{2}}{x^{2}+\sqrt{2} x+1}\right) \end{gathered}\]
en déduire que \(\mathbb{E}(Z)=\sqrt{2}\).
Informatique. On suppose écrite correctement la fonction de la question 4.b. On dispose du programme ci-dessous dont l’exécution produit, après un temps certain, l’affichage ci-après.
Comment interpréter cet affichage ? Quel résultat peut-on conjecturer? À quel résultat du cours serait-on tenté de faire appel pour démontrer cette conjecture? Pourquoi ne peut-on pas l’appliquer ? On détaillera le raisonnement.
Affichage Python
> > >
[[0.99 1. 0.999 1. 1. 1. 1. ]
[0.964 0.995 0.995 0.998 0.999 0.999 1. ]
[0.411 0.725 0.846 0.903 0.965 0.988 0.997 ]
[0.21 0.428 0.548 0.599 0.742 0.834 0.992]]
Soit \(A\) un événement. On appelle variable aléatoire indicatrice de l’évènement \(A\) la variable aléatoire notée \(1\kern-0.35em1_{A}\) définie par :
\[\forall \omega \in \Omega, \ 1\kern-0.35em1_{A}(\omega)= \begin{cases} 1 & \text { si } \omega \in A \\ 0 & \text { si } \omega \notin A \end{cases}\]
Reconnaître la loi de \(1\kern-0.35em1_{A}\). Préciser son espérance et sa variance.
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). On appelle fonction indicatrice de \(I\) la fonction notée \(\chi_{I}\), définie par :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \ \chi_{I}(x)= \begin{cases} 1 & \text { si } x \in I \\ 0 & \text { si } x \notin I \end{cases}\]
Soient \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(g\) et \(s>0\).
Justifier que:
\[\forall \omega \in \Omega, \ 1\kern-0.35em1_{[X>s]}(\omega)=\chi_{ ] s , +\infty [}(X(\omega))\]
Soit \(\varphi_{s}\) la fonction définie par : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ \varphi_{s}(x)=|x| \, \chi_{ ] s , +\infty [}(|x|)\).
Tracer la courbe représentative de \(\varphi_{s}\).
Donner sans justification les points de discontinuité de \(\varphi_{s}\).
On suppose, dans toute la suite, que \(X\) admet une espérance, et que celle-ci est nulle. On souligne le fait qu’on ne suppose pas que \(X\) admet une variance.
On considère alors une suite \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi que \(X\).
Soit \(M>0\). Pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), on introduit les variables
\[Y_{k}=X_{k} \cdot 1\kern-0.35em1_{\left[\left|X_{k}\right| \leqslant M\right]}, \quad \text { et } \quad Z_{k}=X_{k} \cdot 1\kern-0.35em1_{\left[\left|X_{k}\right|>M\right]}.\]
Les variables aléatoires \(Y_{k}\) et \(Z_{k}\) sont donc définies comme produit de la variable aléatoire \(X_{k}\) avec une variable indicatrice.
On fera observer que les variables aléatoires \(Y_{k}\) et \(Z_{k}\) dépendent de \(M\). Toutefois, pour alléger la rédaction, on a choisi de ne pas faire apparaître cette dépendance dans les notations.
Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}\). Quelle relation a-t-on entre \(X_{k}, Y_{k}\) et \(Z_{k}\) ?
Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer que \(Y_{k}\) admet un moment d’ordre 2 et que \(\mathbb{E}(Y_{k}^{2}) \leqslant M^{2}\).
Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}\).
À l’aide des questions 10.a. et 10.b., montrer que : \(\displaystyle \lim _{M \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(\left|Z_{k}\right|)=0\).
En déduire que : \(\displaystyle \lim _{M \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(Z_{k})=0\).
Obtenir alors que : \(\displaystyle \lim _{M \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(Y_{k})= \mathbb{E}(X_{k})=0\).
Dans toute la suite, on considère \(t>0\) et \(\varepsilon>0\) fixés.
Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Montrer que
\[|x+y|>t \Rightarrow\left(\left[|x|>\frac{t}{2}\right] \text { ou }\left[|y|>\frac{t}{2}\right]\right)\]
On note alors, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\),
\[\overline{X}_{n}=\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}, \quad \overline{Y}_{n}=\frac{Y_{1}+\cdots+Y_{n}}{n} \quad \text { et } \quad \overline{Z}_{n}=\frac{Z_{1}+\cdots+Z_{n}}{n}\]
Déduire de la question précédente que:
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}\left(\left|\overline{X}_{n}\right|>t\right) \leqslant \mathbb{P}\left(\left|\overline{Y}_{n}\right|>\frac{t}{2}\right)+\mathbb{P}\left(\left|\overline{Z}_{n}\right|>\frac{t}{2}\right)\]
Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \(\displaystyle \mathbb{P}\! \left(\left|\overline{Z}_{n}\right|>\frac{t}{2}\right) \leqslant \frac{2}{t} \, \mathbb{E}(\left|Z_{1}\right|)\).
Montrer ensuite qu’il existe un réel \(M_{1}>0\), tel que, si \(M \geqslant M_{1}\), alors :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}\! \left(\left|\overline{Z}_{n}\right|>\frac{t}{2}\right) \leqslant \frac{\varepsilon}{3}\]
Montrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{E}(\overline{Y}_{n}^{2})=\frac{1}{n^{2}}\left(\sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}(Y_{k}^{2})+2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \mathbb{E}(Y_{i} Y_{j})\right)\]
Montrer que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ 2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \mathbb{E}(Y_{i} Y_{j}) \leqslant n \left( n-1 \right) \mathbb{E}(Y_{1})^{2}\]
Obtenir ensuite que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{E}(\overline{Y}_{n}^{2}) \leqslant \frac{M^{2}}{n}+\mathbb{E}(Y_{1})^{2}\]
Justifier l’existence d’un réel \(M_{2}>0\) tel que, si \(M \geqslant M_{2}\), alors :
\[\mathbb{E}(Y_{1})^{2} \leqslant \frac{t^{2} \varepsilon}{12}\]
Obtenir alors que, si \(M \geqslant M_{2}\), alors :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}\!\left(\left|\overline{Y}_{n}\right|>\frac{t}{2}\right) \leqslant \frac{4 M^{2}}{t^{2} n}+\frac{\varepsilon}{3}\]
Montrer que, si \(M \geqslant \max \left(M_{1}, M_{2}\right)\), alors :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}\! \left(\left|\overline{X}_{n}\right|>t\right) \leqslant \frac{4 M^{2}}{t^{2} n}+\frac{2 \varepsilon}{3}\]
Conclure qu’on a :
\[\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left(\left|\overline{X}_{n}\right|>t\right)=0\]
Interpréter ce résultat en le comparant à un résultat du cours que l’on citera explicitement.
Commenter alors à nouveau le résultat affiché par l’exécution du programme de la question 8.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet plutôt complet et assez long.
Un très bon sujet de révision pour tous !