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On s’intéresse à la suite récurrente \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=1\) et \[\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=u_{n}\, \mathrm{e}^{1 / u_{n}}\]
Montrer que \({u}_{n}>0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Donner le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Démontrer, en raisonnant par l’absurde, que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) admet \(+\infty\) comme limite.
Recopier et compléter le programme
Python ci-dessous de sorte qu’il affiche le
premier entier \(n \in \mathbb{N}\) tel
que \(u_{n} \geqslant
10^{6}\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0,+\infty[\) par :
\[\forall x>0, \ f(x)=x \, \mathrm{e}^{1 / x}\]
On note \(\mathscr{C}_{f}\) la courbe de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.
Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\).
Soit \(x>0\).
Justifier la convergence de la série \(\displaystyle \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^{-k}}{k!}\) et calculer sa somme.
En déduire que:
\[f(x)=x+1+\frac{1}{x} \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^{2-k}}{k!}\]
Soit \(x \geqslant 1\).
Établir séparément les inégalités suivantes:
\[\frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^{2-k}}{k!} \leqslant \mathrm{e}\]
En déduire que:
\[\text { (*) } \quad \frac{1}{2 x} \leqslant f(x)-(x+1) \leqslant \frac{\mathrm{e}}{x}\]
Montrer que \(f(x)=x+1+\circ(1)\) au voisinage de \(+\infty\).
Représenter sur un même dessin la courbe \(\mathscr{C}_{f}\) et la droite d’équation \(y=x+1\).
Montrer que, pour tout entier \(k \in \mathbb{N}, \ \displaystyle \ln (u_{k+1})-\ln (u_{k})=\frac{1}{u_{k}}\).
En déduire que, pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^{*}, \ \displaystyle \ln (u_{n})=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_{k}}\).
À l’aide de l’encadrement \((*)\) montrer que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\),
\[1+\frac{1}{2 u_{k}} \leqslant u_{k+1}-u_{k} \leqslant 1+\frac{\mathrm{e}}{u_{k}}\]
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), établir: \[n+\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_{k}} \leqslant u_{n}-1 \leqslant n+ \mathrm{e}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_{k}}\]
puis : \[1+\frac{1}{2} \ln (u_{n}) \leqslant u_{n}-n \leqslant 1+\mathrm{e}\ln (u_{n})\]
Justifier que: \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\ln (u_{n})}{u_{n}}=0\).
En déduire un équivalent simple de \(u_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Déterminer un équivalent simple de \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_{k}}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre.
Soit \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre trois à coefficients réels. On pose :
\[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \text { et } \quad K=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
et on considère \(\mathscr{E}=\operatorname{Vect}(I, J, K)\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\) engendré par les matrices \(I, J\) et \(K\).
Montrer que \((I, J, K)\) est une base de \(\mathscr{E}\), en déduire la dimension de \(\mathscr{E}\).
Justifier sans calcul que les matrices \(J\) et \(K\) sont diagonalisables.
Exprimer la matrice \(J^{3}\) comme un multiple de \(J\).
En déduire que les valeurs propres de \(J\) appartiennent à l’ensemble \(\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\}\).
On pose \(U_{1}=\begin{pmatrix}\sqrt{2} \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\) et \(U_{2}=\begin{pmatrix}0 \\1 \\ -1\end{pmatrix}\).
Vérifier que \(U_{1}\) et \(U_{2}\) sont des vecteurs propres de \(J\).
Déterminer un vecteur propre \(U_{3}\) de \(J\) associé à la valeur propre \(-\sqrt{2}\).
Justifier que \(\left(U_{1}, U_{2}, U_{3}\right)\) est une base de \(\mathcal M_{3,1}(\mathbb{R})\).
Donner une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\) telle que :
\[P^{-1} J P=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}\]
Montrer que \(\left(U_{1}, U_{2}, U_{3}\right)\) est aussi une base de vecteurs propres de \(K\).
Déterminer la matrice \(P^{-1} K P\).
Soit \(M\) une matrice de \(\mathscr{E}\) de coordonnées \((a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\) dans la base \((I, J, K)\).
Exprimer la matrice \(P^{-1} M P\) sous la forme d’un tableau de nombres dépendant de \(a, b\) et \(c\).
En déduire les valeurs propres de \(M\).
On considère l’application linéaire \(s: \mathscr{E} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) définie par:
\[s(M)=s(a I+b J+c K)=(a+b \sqrt{2}+c, a-c, a-b \sqrt{2}+c)\]
pour toute matrice \(M=a I+b J+c K\) avec \((a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\).
Donner la matrice \(S\) de \(s\) relativement à la base \((I, J, K)\) de \(\mathscr{E}\) et à la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).
Montrer que l’application linéaire \(s\) est bijective.
Soit \(n \geqslant 1\) un entier, on considère un graphe non orienté \(G\) donné par sa matrice d’adjacence \(A\) appartenant à \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note \(\mathscr{S}=\left\{s_{0}, \ldots, s_{n-1}\right\}\) l’ensemble des sommets de \(G\), dans les programmes informatiques on confondra un sommet \(s_{i}\) avec son numéro \(i\). On dit que deux sommets sont voisins s’ils sont distincts et reliés par une arête.
Une coloration de \(G\) est une application \(c: \mathscr{S} \rightarrow \mathbb{N}\) telle que \(c(s_{i}) \neq c(s_{j})\) si les sommets \(s_{i}\) et \(s_{j}\) sont voisins. Dans cette définition, \(N\) représente l’ensemble des « couleurs » disponibles, la coloration \(c\) attribue à chaque sommet une « couleur » de sorte que deux sommets voisins soient de « couleurs » différentes.
Le graphe \(G\) admet la coloration triviale donnée par \(c(s_{i})=i\) pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), il peut cependant admettre une coloration nécessitant moins de \(n\) « couleurs ». Ainsi, le graphe à cinq sommets ci-dessous admet la coloration à trois « couleurs » définie par: \(c(s_{0})=0, c(s_{1})=1, c(s_{2})=0, c(s_{3})=1, c(s_{4})=2\).
Figure \(1:\) Un graphe d’ordre cinq
Figure 2: Le graphe colorié avec trois « couleurs » (0,1 et 2)
Les questions suivantes ont pour but de réaliser un programme Python
qui renvoie une coloration d’un graphe \(G\) quelconque, en essayant de minimiser le
nombre de couleurs utilisées. On commence par rédiger deux fonctions
auxiliaires, « voisins » et « min_ext », qui
serviront pour la fonction finale « coloration ». On suppose que la
matrice d’adjacence \(A\) de \(G\) est définie à l’aide de la commande «
np.array ».
Recopier et compléter le programme
Python ci-dessous de manière à ce qu’il
définisse une fonction « voisins » , prenant en arguments
la matrice d’adjacence \(A\) et un
entier \(i \in \left[\kern-0.15em\left[
{0,n-1}
\right]\kern-0.15em\right]\), et renvoyant la liste des sommets
voisins de \(s_{i}\).
Rédiger en Python une fonction «
min_ext » qui prend en argument une liste d’entiers
naturels \(L\), et qui renvoie le plus
petit entier naturel n’appartenant pas à \(L\) (par exemple, si \(L=[1,0,3]\), alors la commande « min_ext(L)
» renvoie 2). On pourra transcrire en langage Python l’algorithme
suivant :
On affecte à une variable \(m\) la valeur 0.
Tant que \(m\) appartient à la liste \(L\) :
| On augmente de 1 la valeur de \(m\).
On renvoie \(m\).
À l’aide des fonctions introduites précédemment on rédige maintenant une fonction « coloration » prenant en argument la matrice d’adjacence \(A \in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) d’un graphe \(G\), et renvoyant une coloration de \(G\) sous la forme d’une liste d’entiers \(C=\left[C_{0}, \ldots, C_{n-1}\right]\), où \(C_{i}\) désigne la « couleur » du sommet \(s_{i}\) pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
On construit cette fonction selon l’algorithme « glouton » ci-dessous :
On affecte à la variable \(n\) le nombre de sommets de \(G\).
On affecte à la variable \(C\) la liste \([0,1, \ldots, n-1]\).
Pour \(i\) allant de \(1\) à \(n-1\) :
| On affecte à la variable « C_voisins » la liste des «
couleurs »
| des sommets voisins de \(s_{i}\).
| On affecte à \(C_{i}\) le plus petit entier naturel qui n’est pas élément
| de la liste « C_voisins » .
On renvoie la liste \(C\).
Recopier et compléter la fonction « coloration »
ci-dessous.
On note \(A\) la matrice d’adjacence du graphe \(G\) représenté en figure 3 ci-dessous.
Figure 3: Le graphe \(G\)
Donner la liste obtenue en exécutant la commande «
coloration(A) ».
Le graphe \(G\) admet-il une coloration à trois couleurs? Si oui, exhiber une telle coloration.
Les parties B, C et D de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.
Toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1]\), on note \(V\) la variable aléatoire définie par :
\[V=\frac{1}{\sqrt{U}}\]
Justifier que \(V\) est à valeurs dans \([1,+\infty[\).
Montrer que la fonction de répartition de \(V\) est donnée par: \[F_{V}(x)= \begin{cases} 1-\frac{1}{x^{2}} & \text { si } x \geqslant 1 \\ 0 & \text { si } x<1 \end{cases}\]
En déduire que \(V\) est une variable aléatoire à densité, et donner une densité \(f_{V} \operatorname{de} V\).
Déterminer si \(V\) admet une espérance et une variance, calculer leurs valeurs éventuelles.
La variable aléatoire \(V\) suit une loi de Pareto, les compagnies d’assurance utilisent cette loi pour modéliser les montants des sinistres. Afin d’établir des prévisions, un actuaire étudie une suite \(( V_{i} )_{i \geqslant 1}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi que \(V\), la variable aléatoire \(V_{i}\) représente le coût du \(i\)-ième sinistre survenu à partir d’un instant donné.
Pour tout entier \(n \geqslant 1\) on définit une variable aléatoire \(M_{n}\) en posant : \[M_{n}=\max \left(V_{1}, \ldots, V_{n}\right)\]
On note \(F_{n}\) la fonction de répartition de \(M_{n}\).
Montrer que \(F_{n}=\left(F_{V}\right)^{n}\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).
Calculer la limite \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} F_{n}(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Justifier que la suite \(\left(M_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) ne converge en loi vers aucune variable aléatoire.
On considère une variable aléatoire \(W\) dont la fonction répartition \(F_{W}\) est définie par :
\[F_{W}(x)= \begin{cases} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text { si } x>0 \\ 0 & \text { si } x \leqslant 0 \end{cases}\]
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(G_{n}\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(\displaystyle \frac{M_{n}}{\sqrt{n}}\).
Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} G_{n}(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\) pour tout \(x>0\).
Conclure quant à la convergence en loi de la suite \(\displaystyle \left(\frac{M_{n}}{\sqrt{n}}\right)_{n \geqslant 1}\).
La compagnie d’assurance tient à jour une table
sinistres contenant des informations sur tous les sinistres
qu’elle a indemnisés entre les années 2000 et 2024 . Les attributs
(colonnes) de cette table sont :
id (de type INTEGER) : numéro
d’identification du sinistre,
annee (de type INTEGER) : année durant
laquelle est survenu le sinistre,
mois (de type TEXT) : mois durant
lequel est survenu le sinistre (on écrit le mois en
minuscules),
montant (de type INTEGER) : montant de
l’indemnisation versée à l’assuré (en euros).
Rédiger une requête SQL permettant d’afficher :
La liste des montants d’indemnisation des sinistres de l’année 2024.
Le mois et l’année de tous les sinistres dont le montant d’indemnisation dépasse un million.
Le sinistre numéro 7652 s’est produit en avril 2025 et a été
indemnisé à hauteur de 1540 euros. Rédiger une requête SQL
ajoutant à la table sinistres une ligne correspondant à ce
sinistre.
On rappelle que \(\left(V_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi que \(V\) (voir partie A). On suppose que le nombre de sinistres se produisant au cours d’une année est donné par une variable aléatoire \(N\) suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). On s’intéresse au nombre de sinistres dont le coût dépasse un certain montant \(A>1\). On note ainsi \(T\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(\left\{V_{1}, \ldots, V_{N}\right\}\) prenant une valeur supérieure à \(A\), formellement:
\[\forall \omega \in \Omega, \quad T(\omega)=\left|\left\{i \in[1, N(\omega)] \ ;\ V_{i}(\omega)>A\right\}\right|\]
où la notation \(|\cdot|\) désigne le cardinal.
Exprimer \(\mathbb{P}(N=n)\) pour tout \(n \in N(\Omega)\).
Quel est l’ensemble \(T(\Omega)\) des valeurs prises par \(T\) ?
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
Justifier que la loi conditionnelle de \(T\) sachant \((N=n)\) est la loi binomiale \(\displaystyle \mathcal{B} \!\left(n, \frac{1}{A^{2}}\right)\).
Donner la valeur de \(\mathbb{P}_{[N=n]}(T=k)\) pour tout \(k \in N\), vous distinguerez les cas \(k \leqslant n\) et \(k>n\).
Calculer \(\mathbb{P}(T=k)\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\), puis reconnaitre la loi de \(T\).
En moyenne, combien de sinistres avec un coût supérieur à \(A\) surviennent en un an?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
