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Les parties B et C sont indépendantes de la partie A.
On considère l’équation différentielle \[(E): \qquad x^{\prime}(t)=-x(t)+\mathrm{e}^{-t}\] où \(x\) est une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Résoudre l’équation différentielle homogène \(x^{\prime}(t)=-x(t)\) sur \(\mathbb{R}\).
Déterminer une solution particulière \(x_0\) de \((E)\) de la forme \(x_0: t \mapsto \left( a t+b \right) \mathrm{e}^{-t} \operatorname{avec}(a, b) \in \mathbb{R}^2\).
Résoudre l’équation différentielle \((E)\).
On s’intéresse maintenant au système différentiel : \[(S): \begin{cases} x^{\prime}(t) =-x(t)+y(t) \\ y^{\prime}(t) = -y(t) \end{cases}\] où \(x\) et \(y\) désignent des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Donner la matrice \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \((S) \Leftrightarrow X^{\prime}(t)=A X(t)\) avec \(X(t)= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
Justifier l’existence d’une unique solution \((x, y)\) de \((S)\) telle que \(x(0)=1\) et \(y(0)=1\).
Déterminer cette solution \((x, y)\) en vous aidant de la question 1.
Étudier la convergence de la solution \((x, y)\) vers un état d’équilibre lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\).
Recopier et compléter le programme en langage
Python ci-dessous de manière à ce qu’il
produise le graphique sur la droite représentant la trajectoire \(t \mapsto(x(t), y(t))\) pour \(t \in[-2,10]\).
On rappelle que la commande
np.linspace(-2,10,200) crée une liste de 200
valeurs régulièrement espacées allant de \(-2\) à 10.
Pour tout entier \(k \in \mathbb{N}^*\), on considère la fonction \(f_k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f_k(x)= \left( x+1 \right) \mathrm{e}^{k x}\]
On note \(\mathscr{C}_k\) la courbe de \(f_k\) dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Calculer les limites de la fonction \(f_k\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
Dresser le tableau de variation de \(f_k\) en y faisant figurer les valeurs prises par \(f_k\) en \(-1\) et en 0.
Étudier la position relative des courbes \(\mathscr{C}_k\) et \(\mathscr{C}_{k+1}\). Vous préciserez leurs points d’intersection.
Dessiner sur un même graphique l’allure de \(\mathscr{C}_k\) et \(\mathscr{C}_{k+1}\).
Montrer que, pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), l’équation \(f_k(x)=k\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\) notée \(u_k\).
Déterminer explicitement \(u_1\).
Montrer que, pour tout entier \(k \geqslant 1\), on a : \[0 \leqslant u_k \leqslant \frac{\ln (k)}{k}\]
En déduire que la suite \(\left(u_k\right)\) converge et donner sa limite.
Soit \(k \geqslant 1\) un entier, montrer que: \[u_k=\frac{\ln (k)}{k}-\frac{\ln \left(u_k+1\right)}{k}\]
En déduire que \(u_k \sim \frac{\ln (k)}{k}\) lorsque \(k\) tend vers \(+\infty\).
Quelle est la nature de la série \(\displaystyle \sum_{k \geqslant 1} u_k\) ?
On considère les matrices carrées d’ordre deux suivantes : \[\mathrm{O}_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathrm{I}_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text { et } \quad A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
On note \(\mathscr{C}\) le sous-ensemble de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) défini par: \[\mathscr{C}=\left\{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \ / \ A M=M A\right\}\]
Calculer \(A^2\). En déduire que \(A\) est inversible et donner son inverse.
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
Justifier que \(\mathscr{C}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Résoudre l’équation \(A M=M A\) d’inconnue \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\left( \mathrm{I}_2 , A\right)\) est une base de \(\mathscr{C}\).
Soient \(M\) et \(N\) deux matrices quelconques de \(\mathscr{C}\).
Montrer que le produit \(M N\) appartient à \(\mathscr{C}\).
Montrer que \(M\) et \(N\) commutent, c’est-à-dire que \(M N=N M\).
Soit \(M\) une matrice non nulle de \(\mathscr{C}\). Montrer que \(M\) est inversible et que \(M^{-1}\) appartient à \(\mathscr{C}\).
On fixe un polynôme unitaire du second degré à coefficients réels : \[P(x)=x^2+u x+v \quad \text { avec }(u, v) \in \mathbb{R}^2\]
On note \(\Delta=u^2-4 v\) son discriminant.
Le but de cette partie est de montrer qu’il existe une matrice \(M \in \mathscr{C}\) telle que \(P(M)= \mathrm{O}_2\).
Soit \(M=a \mathrm{I}_2+b A\) avec \((a, b) \in \mathbb{R}^2\).
Montrer: \(M^2=\left(a^2-b^2\right) \mathrm{I}_2+2 a b A\).
En déduire: \[P(M)= \mathrm{O}_2 \Leftrightarrow \begin{cases} a^2-b^2+u a+v=0 \\ 2 a b+u b=0 \end{cases}\]
Dans cette question, on montre que le système ci-dessus admet au moins une solution \((a, b) \in \mathbb{R}^2\) en distinguant deux cas :
Si \(\Delta \geqslant 0\), montrer que le système admet au moins une solution de la forme \((a, 0)\).
Si \(\Delta<0\), montrer que le système admet au moins une solution \((a, b)\) avec \(b \neq 0\).
En vous aidant de la question précédente, donner une matrice \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que : \[M^2+M+ \mathrm{I}_2= \mathrm{O}_2\]
On considère l’application \(\varphi: \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) définie par : \[\forall M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}), \ \varphi(M)=A M A\]
On note \(\left(E_1, E_2, E_3, E_4\right)\) la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) définie par : \[E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text { et } \quad E_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Calculer \(\varphi \circ \varphi\). En déduire que l’endomorphisme \(\varphi\) est bijectif, et donner \(\varphi^{-1}\).
Calculer \(\varphi(E_1), \ldots, \varphi(E_4)\), puis donner la matrice \(B\) de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Justifier sans calcul que \(B\) est diagonalisable et \(\operatorname{Sp}(B)=\{-1,1\}\).
(On pourra remarquer que \(B^2= \mathrm{I}_4\) où \(\mathrm{I}_4\) est la matrice identité d’ordre 4)
Déterminer une base de chaque sous-espace propre de \(B\).
Soit \(N\) un entier naturel supérieur ou égal à 1. On dispose d’une urne contenant \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\), et on effectue une succession illimitée de tirages d’une boule avec remise dans l’urne. Pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), on note \(X_k\) la variable aléatoire indiquant le numéro de la boule obtenue au \(k\)-ième tirage.
Pour tout entier \(i \in \left[\!\left[1 , N\right]\!\right]\), on note \(T_i\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir \(i\) numéros distincts, ainsi \(T_i=k\) si on a obtenu \(i\) numéros distincts lors des \(k\) premiers tirages, mais seulement \(i-1\) numéros distincts lors des \(k-1\) premiers tirages.
Exemple : on suppose \(N=4\), si les huit premiers tirages donnent
| $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| $X_i$ | 2 | 3 | 3 | 3 | 1 | 2 | 1 | 4 |
alors \(T_1=1, T_2=2, T_3=5\) et \(T_4=8\).
Soit \(k \in \mathbb{N}^*\). Reconnaître la loi de \(X_k\).
Le programme en langage Python
ci-dessous définit une fonction « ajout » qui
prend en argument une liste L et un entier
x.
Expliquez succinctement comment et à quelle condition l’exécution de
la commande ajout(L,x) modifie la liste
L.
Recopier et compléter la fonction Python «
Simul_ T » ci-dessous.
Cette fonction prend en argument deux entiers \(N \in \mathrm{N}^*\) et \(i \in \left[\!\left[1 ,N\right]\!\right]\). Elle a pour but de simuler la variable aléatoire \(T_i\). Dans le script nous notons :
L la liste sans répétition des numéros
sortis lors des tirages effectués;
k le rang du tirage en cours;
x le résultat du tirage en
cours.
On suppose \(N=3\).
Rédiger un programme Python qui calcule et
affiche la moyenne de 100 réalisations de
Simul_T(3,2).
Que représente le résultat obtenu par rapport à la variable aléatoire \(T_2\) ?
Dans cette partie on suppose \(N=3\) : l’urne contient exactement trois boules numérotées 1,2 et 3.
Donner l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_2\).
Soit \(k \geqslant 2\) un entier fixé.
Décrire l’évènement \([ T_2=k ] \cap [ X_1=1 ]\) à l’aide des évènements \([ X_j=1 ]\) et \([ X_j \neq 1 ]\) avec \(j \in N^*\).
En déduire \(\mathbb{P}([T_2=k ] \cap [ X_1=1 ])\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}( T_2=k) =\frac{2}{3^{k-1}}\).
Justifier que \(T_2\) admet une espérance et la calculer.
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(Z_2=T_2-1\). Reconnaître une loi usuelle, retrouver l’espérance de \(T_2\) et donner sa variance.
On retourne au cas général, l’urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). Pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(Z_i\) la variable aléatoire définie par : \[\begin{cases}Z_1=1 & \text { si } i=1 \\ Z_i=T_i-T_{i-1} & \text { si } i \geqslant 2\end{cases}\]
La variable aléatoire \(Z_i\) donne le nombre de tirages nécessaires, après le \(T_{i-1}\)-ième tirage, pour obtenir un numéro distinct des \(i-1\) numéros déjà tirés. On admet que les variable aléatoires \(Z_1, \ldots, Z_N\) sont indépendantes.
Soit \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {2,N} \right]\kern-0.15em\right]\).
Justifier que \(Z_i\) suit la loi géométrique de paramètre \(\frac{N-i+1}{N}\).
Exprimer \(\mathbb{E}(Z_i )\) et \(\mathbb{V}(Z_i)\) en fonction de \(i\) et \(N\). Vérifier que ces formules restent vraies pour \(i=1\).
Soit \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\). Exprimer \(T_i\) comme somme de \(Z_1, \ldots, Z_i\).
Calculer \(\mathbb{P}( [ Z_2=\ell ] \cap [ Z_3=k ] )\) pour tous \(\ell\) et \(k\) dans \(\mathbb{N}^*\).
En déduire que, pour tout entier \(n \geqslant 2\), \[\mathbb{P}( Z_2+Z_3 = n) =\frac{(N-1)(N-2)}{2}\left[\left(\frac{2}{N}\right)^n-\frac{2}{N^n}\right]\]
Déterminer la loi de \(T_3\).
Soit \(i \in \left[\!\left[1 , N\right]\!\right]\), montrer que \(\displaystyle \mathbb{E}(T_i)=N \sum_{k=N-i+1}^N \frac{1}{k}\).
Soient \(i\) et \(j\) deux entiers tels que \(1 \leqslant i \leqslant j \leqslant N\), montrer que : \[\operatorname{cov}(T_i, T_j)=\mathbb{V}(T_i)\] où \(\operatorname{cov}(T_i, T_j)\) désigne la covariance de \(T_i\) et \(T_j\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Cette année l'EM Lyon nous propose comme souvent un sujet assez complet et de difficulté modeste qui fera un bon sujet de révisions pour les années à venir.