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Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) définie, pour \(x\) réel, par \(f(x)=\begin{cases}\dfrac1{2x\sqrt x} &\mbox{si $x\geqslant 1$}\\ \hfill 0 \hfill &\mbox{sinon} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\end{cases}\).
Étudier la fonction \(f\) et tracer l’allure de son graphe (on précisera les demi-tangentes au point d’abscisse 1).
Démontrer que \(f\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) dont une densité est \(f\).
Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\). Tracer son graphe (on précisera les demi-tangentes au point d’abscisse 1).
Démontrer que \(F\) réalise une bijection de \(]1,+\infty[\) sur \(]0,1[\) et déterminer la bijection réciproque \(G\).
On conserve les notations introduites à la question précédente. Soit \(U\) une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) de loi uniforme sur \(]0,1[\).
On admet que \(Y=G(U)\) est une variable aléatoire. Déterminer sa loi.
En langage
Python, si L désigne
une variable de type list, la commande
L.append(x) concatène la valeur de
x à la liste L.
Expliquez le but des deux fonctions Python suivantes :
On considère la fonction Python suivante, qui utilise la fonction
varX précédente :
Cinq appels moyX(1000) donnent successivement comme
résultats (arrondis à l’unité): \[1422\ \ \
3812326\ \ \ 11468\ \ \ 2447 \ \ \ 1827\] Que conjecturez-vous
?
Démontrer votre conjecture.
On considère maintenant une suite \((X_k)\) de variables aléatoires indépendantes de même loi que la variable \(X\) de la question 2. Pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on pose : \[Z_n=\inf(X_1,\ldots,X_n)\]
Soit \(n\geqslant 1\) entier. Expliquer pourquoi, pour tout \(x\) réel, \([Z_n\leqslant x]\) est bien un événement.
Cela permet de justifier que \(Z_n\) est bien une variable aléatoire et de considérer la fonction de répartition \(G_n\) de la variable \(Z_n\).
Démontrer que pour tout \(x\) réel on a : \(G_n(x)=1-\big(1-F(x)\big)^n\).
Soit \(n\geqslant 1\) entier. La variable aléatoire \(Z_n\) est-elle à densité ?
Écrire un script Python, utilisant la fonction varX
de la question 3??? permettant de simuler la variable aléatoire \(Z_n\).
On rappelle qu’avec la bibliothèque numpy, importée sous
l’alias np, l’appel np.min(L) donne le minimum
d’une liste de nombres L.
La figure ??? présente des histogrammes représentant la répartition de 1000 valeurs prises respectivement par des simulations des variables aléatoires \(Z_{10}\), \(Z_{100}\), \(Z_{1000}\).
Que laissent suggérer ces graphiques ?
Etudier la convergence en loi de la suite de variable aléatoires \((Z_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\).
Dans tout l’exercice, \(\alpha\) est un nombre réel.
Démontrer que pour tout \(x\in \left] -1,1 \right[\), la série \(\displaystyle \sum\limits_{n\geqslant 1} \frac {x^n}{n^\alpha}\) est convergente.
Dans la suite de l’exercice, pour tout \(x\in \left] -1,1 \right[\), on pose : \(\displaystyle f_\alpha(x)=\sum\limits_{n= 1}^{+\infty} \dfrac {x^n}{n^\alpha}\).
Expliciter les fonctions \(f_0\) et \(f_{-1}\).
Dans la suite de l’exercice, on suppose que \(\alpha\) appartient à l’intervalle \(]0,1[\).
La série \(\displaystyle \sum\limits_{n\geqslant 1} \frac {1}{n^\alpha}\) est-elle convergente ?
Justifier que, pour tout \(x \in \left] 0, 1 \right[\), l’intégrale impropre \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^t}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t\) est convergente.
Dans la suite de l’exercice, pour tout \(x\in \left]0, 1 \right[\), on pose : \[I(x) = \int_0^{+\infty}\frac{x^t}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t\]
On rappelle que la fonction \(\Gamma\) d’Euler est définie correctement sur \(\mathbb{R}_+^*\) par : \[\forall s \in\mathbb{R}_+^*,\ \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\] Soit \(x \in \left] 0, 1 \right[\). Démontrer que : \[I(x)=(-\ln( x))^{\alpha-1}\Gamma(1-\alpha)\]
Soit \(x \in \left] 0, 1 \right[\). On considère la fonction \(u_{x,\alpha}\) définie pour \(t>0\) par : \(u_{x,\alpha}(t)=\dfrac{x^t}{t^\alpha}\).
Démontrer que la fonction \(u_{x,\alpha}\) est décroissante sur \(\mathbb{R}_+^*\).
Soit \(k\in \mathbb{N}^*\). Justifier que : \[u_{x,\alpha}(k+1)\leqslant \int_k^{k+1}u_{x,\alpha}(t)\,\mathrm{d}t\leqslant u_{x,\alpha}(k)\] et en déduire l’encadrement : \(\displaystyle f_\alpha(x)-x \leqslant \int_1^{+\infty}u_{x,\alpha}(t)\,\mathrm{d}t\leqslant f_\alpha(x).\)
Démontrer l’encadrement : \(\displaystyle I(x)-\int_0^{1}\dfrac{x^t}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t\leqslant f_\alpha(x)\leqslant I(x)\).
Déterminer un équivalent de \(f_\alpha (x)\) quand \(x\) tend vers 1, à l’aide de la fonction \(\Gamma\).
\(\mathbb{N}\) désigne l’ensemble des entiers naturels et \(\mathbb{R}\) celui des nombres réels. Pour tout entier \(n\in \mathbb{N}\), on note \([\![0,n]\!]\) l’ensemble \(\{p\in \mathbb{N}\ / \ 0\leqslant p\leqslant n\}\).
On note \(\mathbb{R}[x]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
Pour tout entier naturel \(n\), \(\mathbb{R}_n[x]\) est l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).
Pour tout polynôme \(P\in \mathbb{R}[x]\), on note encore \(P\) la fonction polynomiale associée définie sur \(\mathbb{R}\).
Lorsque \(P\in \mathbb{R}[x]\), \(P'\) et \(P''\) désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de \(P\).
On pose pour tout le problème \(A(x)=x^2-1\) et \(B(x)=2x\).
Pour tout \(k\in \mathbb{N}\), on pose \(P_k(x)=x^k\), de sorte que, si \(n\in \mathbb{N}\), \(\beta=(P_0,\ldots,P_n)\) est la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\).
\({\cal M}_n(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices \(n\times n\) à coefficients réels.
Dans une première partie, on introduit une famille de polynômes \((P_k)\) vecteurs propres d’un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\). L’objet de la seconde partie est l’étude, dans un cas particulier, d’une famille de polynômes orthogonaux de \(\mathbb{R}_n[x]\). La troisième partie généralise l’exemple de la seconde partie.
Soit \(n\in \mathbb{N}\). Pour tout \(P\in \mathbb{R}_n[x]\), on pose : \(\Phi(P)=AP''+BP'\).
Démontrer que si \(P\in \mathbb{R}_n[x]\) alors \(\Phi(P)\in \mathbb{R}_n[x]\).
Démontrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Calculer \(\Phi(P_0)\) et \(\Phi(P_1)\).
Pour tout \(k\in \left\lbrace 2,\ldots,n\right\rbrace\) calculer \(\Phi(P_k)\).
Déterminer la matrice \(M\) de \(\Phi\) dans la base canonique \(\beta=(P_0,P_1,\dots,P_n)\) de \(\mathbb{R}_n[x]\).
En déduire le spectre de \(\Phi\).
L’endomorphisme \(\Phi\) est-il bijectif ?
Déterminez le noyau de \(\Phi\).
L’endomorphisme \(\Phi\) est-il diagonalisable ?
Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Dès que \(P\) et \(Q\) sont des polynômes dans \(\mathbb{R}_n[x]\) on pose : \[\langle P,Q\rangle =\int_{-1}^1 P(t) \,Q(t)\,\mathrm{d}t\]
Démontrer que l’application \((P,Q)\mapsto \langle P,Q\rangle\) définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[x]\).
Dans cette question \(\Phi\) désigne l’endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\) introduit dans la partie I.
Soient \(P\) et \(Q\) dans \(\mathbb{R}_n[x]\). On pose \(R=(P'Q-PQ')A\).
Démontrer que \(R'=\Phi(P) \, Q-P \,
\Phi(Q)\).
Démontrer que l’endomorphisme \(\Phi\) est symétrique.
Montrer qu’il existe une base orthogonale \((Q_0,\dots,Q_n)\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) formée de vecteurs propres de \(\Phi\), unitaires, tels que \(\deg(Q_k)=k\) pour tout \(k\in [\![0,n]\!]\).
Justifier que, pour tout \(k\in [\![1,n]\!]\), le polynôme \(Q_k\) est dans l’orthogonal de \(\mathbb{R}_{k-1}[x]\).
Dans toute cette partie \(\mathbb{R}[x]\) est muni d’un produit scalaire \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\), cette notation étant indépendante de celle de la partie II.
On appelle système orthogonal toute suite de polynômes \((Q_n)_{n \in \mathbb{N}}\) vérifiant les propriétés suivantes :
\((Q_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une famille orthogonale, c’est-à-dire : \(\forall (i,j) \in \mathbb{N}^2,\) \(i \neq j \Rightarrow \left \langle Q_i, Q_j \right \rangle=0\);
pour tout \(n \in \mathbb{N},\) \(Q_n\) est unitaire et de degré \(n.\)
On suppose qu’il existe un système orthogonal \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}.\)
Soit \(n\in \mathbb{N}\). Montrer que la famille \((V_0, V_1, \ldots, V_n)\) est une base orthogonale de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_n[x]\).
Soit \(n\in \mathbb{N}\). On
note \(F_n\) l’orthogonal de \(\mathbb{R}_n[x]\) dans \(\mathbb{R}_{n+1}[x]\).
Démontrer que \(\mathrm{Vect}(V_{n+1})=
F_n\).
Justifier qu’il existe effectivement un système orthogonal \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
On pourra procéder par récurrence.
On suppose que \((W_n)_{n \in
\mathbb{N}}\) est un autre système orthogonal.
Démontrer que pour tout \(n\in
\mathbb{N}\) on a : \(W_n =
V_n.\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
