Annale

EML 2023 Sujet 0Maths appliquées

Connectez-vous pour consulter le corrigé.

Toutes les annales EML 2023 Maths appliquées

ÉcoleEML

Année2023

ÉpreuveSujet 0

OptionMaths appliquées

Énoncé original PDF Aides et corrigé

Thème principalAlgèbre, Analyse, Probabilités

ChapitresCalcul matriciel, Espaces vectoriels, Diagonalisation, Suites, Fonctions, Calcul intégral, Equations différentielles, Systèmes différentiels, Intégrales impropres, Espaces probabilisés, Variables aléatoires discrètes, Vecteurs aléatoires discrets, Vecteurs aléatoires quelconques, Variables aléatoires à densité, Convergence et approximation, Informatique

Exercice 1 - Deux systèmes différentiels

On considère la matrice $A= \begin{pmatrix} 1&2&-1\\2&4&-2\\-1&-2&1 \end{pmatrix}$.

Le but de cette question est de diagonaliser la matrice $A$.
1. Justifier que la matrice $A$ est de rang 1.
2. En déduire une valeur propre de $A$ ainsi qu’une base du sous-espace propre associé.
3. Justifier que $6$ est valeur propre de $A$ et qu’un vecteur propre associé est $X_3= \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$.
4. Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ appartenant à $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A=PDP^{-1}$.
Résoudre le système différentiel : \[(SH) \begin{cases}x'=x+2y-z\\y'=2x+4y-2z\\z'=-x-2y+z\end{cases}\]
Soient $X_1: t\mapsto X_1(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\y_1(t)\\z_1(t)\end{pmatrix}$ et $X_2: t\mapsto X_2(t)=\begin{pmatrix} x_2(t)\\y_2(t)\\z_2(t)\end{pmatrix}$ deux solutions du système $(SH)$.
On suppose qu’il existe $t_0\in \mathbb{R}$ vérifiant $X_1(t_0)=X_2(t_0)$.
Que pouvez-vous dire de $X_1$ et $X_2$ ?
1. Déterminer la solution $X: t\mapsto X(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}$ du système $(SH)$ vérifiant $X(0)=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$.
2. Déterminer la solution $X: t\mapsto X(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}$ du système $(SH)$ vérifiant $X(0)=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}$.
Dans cette question on considère trois fonctions continues $a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $b:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ et $c:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. On s’intéresse au système différentiel : \[(S) \begin{cases}x'=x+2y-z+a(t)\\y'=2x+4y-2z+b(t)\\z'=-x-2y+z+c(t)\end{cases}\] où $x$, $y$ et $z$ sont des fonctions de classe $\mathcal C^1$, inconnues, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, de la variable réelle $t$.

Une solution de $(S)$ sur $\mathbb{R}$ est une application $X:t\mapsto \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}$ où $x$, $y$ et $z$ sont des fonctions de classe $\mathcal C^1$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $t$ réel, on ait : \[\begin{cases}x'(t)=x(t)+2y(t)-z(t)+a(t)\\y'(t)=2x(t)+4y(t)-2z(t)+b(t)\\z'(t)=-x(t)-2y(t)+z(t)+c(t)\end{cases}\]
1. Préciser quel vecteur colonne $B(t)\in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ dépendant de la variable réelle $t$ permet d’écrire le système $(S)$ sous la forme : \[(S)\ \ X'=AX+B(t)\]
2. Soit $Y$ une solution particulière sur $\mathbb{R}$ de $(S)$. Démontrer que $X:t\mapsto X(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}$ est solution de $(S)$ sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $Z:t\mapsto X(t)-Y(t)$ est solution de $(SH)$ sur $\mathbb{R}$, $(SH)$ désignant le système de la question ???.
3. Dans cette question, on pose pour $t\in \mathbb{R}$ : $a(t)=1$, $b(t)=2 \left( 1-\mathrm{e}^t \right)$, $c(t)=\mathrm{e}^t-1$.
  
  Démontrer que $Y:t\mapsto Y(t)=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^t\\0\\1 \end{pmatrix}$est solution de $(S)$ sur $\mathbb{R}$.
  En déduire toutes les solutions du système différentiel $(S)$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2 - Des variables aléatoires à densité

Dans tout l’exercice, $\lambda$ désigne un réel strictement positif.
On considère la fonction $f_\lambda:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par: \[f_\lambda(x)=\begin{cases}\displaystyle{\lambda\over\ 2\sqrt{x}}\,\mathrm{e}^{-\lambda\sqrt{x}} & \mbox{si $x>0$} \cr\qquad{0} & \mbox{si $x\leqslant 0$} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]

1. Justifier que la fonction $f_\lambda$ est de classe $\mathcal C^{\,2}\,$ sur $\mathbb{R}^*_+$.
2. Démontrer que pour tout $x>0$ on a : $f_\lambda'(x)=-\dfrac{1}{2x} \left( 1+\lambda \sqrt x \right) f_\lambda(x)$.
3. Déterminer les limites suivantes: $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f_\lambda(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_\lambda(x)$.
  Dresser le tableau de variation de $f_\lambda$ sur $\mathbb{R}^*_+$.
4. Démontrer que la fonction $f_\lambda$ est convexe sur $\mathbb{R}^*_+$.
5. Tracer, l’allure de la courbe représentative de $f_1$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (on donne $\exp(-1)\approx 0,37$).
1. Vérifier que la fonction $x\longmapsto -\,\mathrm{e}^{-\lambda\sqrt{x}}$ est une primitive de $f_{\lambda}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
2. Établir la convergence de l’intégrale impropre $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f_\lambda(x) \,\mathrm{d}x$ et calculer sa valeur.
3. En déduire que la fonction $f_\lambda$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$.
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $\mathbb{P}$, à valeurs strictement positives, ayant $f_\lambda$ pour densité.

On note $F_\lambda$ la fonction de répartition de $X$ et on pose: $Y=\lambda\sqrt{X}$. On admet que $Y$ est une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ .
1. Calculer pour tout $x$ réel, $F_\lambda(x)$.
2. Démontrer que la variable aléatoire $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre 1.
3. En déduire la valeur de l’espérance de $X$.
4. Compléter la fonction Python VarX suivante afin qu’elle renvoie une liste de $n$ valeurs prises par la variable aléatoire $X$. On rappelle qu’avec la bibliothèque numpy.random, importée sous l’alias rd, l’appel rd.exponential(1) simule une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1.
Soit $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$, indépendantes et de même loi que $X$.

On pose pour tout $n\in \mathbb{N}^*$: \[M_n=\min(X_1,\ldots,X_n) \quad\text{et}\quad J_n=n^2M_n-\dfrac 1n\] On admet que $M_n$ et $J_n$ sont des variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
1. Les figures ??? et ??? présentent des histogrammes représentant la répartition de 1000 valeurs prises respectivement par les variables aléatoires $J_{10}$, $J_{100}$, $J_{1000}$ et $X$ dans les cas où $\lambda=0,5$ puis $\lambda=1$.
  
  Cas $\lambda=0,5$
  
  Cas $\lambda=1$
  
  Quelle conjecture pouvez-vous émettre ?
2. On prend $\lambda=1$. Écrire une fonction Python varJ(n) qui renvoie une liste de 1000 valeurs simulant la variable aléatoire $J_n$ et qui utilise la fonction varX de la question ???. On rappelle qu’avec la bibliothèque numpy, importée sous l’alias np, l’appel np.min(L) donne le minimum d’une liste de nombres L.
3. Démontrer que la fonction de répartition de $M_n$ est donnée par : \[G_n(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill &\mbox{si $x\leqslant 0$}\\ 1-\mathrm{e}^{-n\lambda \sqrt x}&\mbox{si } x>0\end{cases}\]
4. En déduire la fonction de répartition $H_n$ de la variable aléatoire $J_n$.
5. Démontrer, quelque soit la valeur de $\lambda >0$, la conjecture émise à la question 4???.

Exercice 3 - Étude d’une marche aléatoire

On considère trois points distincts du plan $A$, $B$ et $C$. Le but de l’exercice est d’étudier le déplacement aléatoire d’un pion se déplaçant sur ces trois points.

À l’étape $n=0$, on suppose que le pion se trouve sur le point $A$. Ensuite, le mouvement aléatoire du pion respecte les deux règles suivantes :

le mouvement du pion de l’étape $n$ à l’étape $n+1$ ne dépend que de la position du pion à l’étape $n$ : il ne dépend donc pas des positions occupées aux autres étapes précédentes.
pour passer de l’étape $n$ à l’étape $n+1$, on suppose que le pion a une chance sur deux de rester sur place, sinon il se déplace de manière équiprobable vers l’un des deux autres points.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note :

$A_n$ l’évènement «le pion se trouve en $A$ à l’étape $n$»,
$B_n$ l’évènement «le pion se trouve en $B$ à l’étape $n$»
$C_n$ l’évènement «le pion se trouve en $C$ à l’étape $n$».

Pour tout $n$ entier naturel, on note également : $p_n = \mathbb{P}(A_n)$, $q_n = \mathbb{P}(B_n)$, $r_n = \mathbb{P}(C_n)$ ainsi que $V_n= \begin{pmatrix} p_n & q_n & r_n \end{pmatrix}$, le $n$-ème état probabiliste de cette chaîne de Markov.

Partie I - Modélisation

Représenter la situation par un graphe probabiliste et expliquer pourquoi la matrice de transition est : \[M = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).\]
1. Déterminer $p_0$, $q_0$, $r_0$ ainsi que $p_1$, $q_1$, $r_1$.
2. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a la relation : $V_{n+1} =V_n M$.
3. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a : $V_n = V_0 M^n$.

Partie II - Calcul des puissances de la matrice $M$ et application

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).$
1. Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable.
2. Calculer $A^2-5A$.
  
  Quelle sont les valeurs propres possibles de $A$ ?
3. Déterminer une matrice inversible $P$ ainsi qu’une matrice diagonale $D$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A=PDP^{-1}$. On calculera la matrice $P^{-1}$.
4. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a : $A^n=PD^nP^{-1}$.
La chaîne de Markov associée au graphe probabiliste de la question ??? a-t-elle un état stable ? Lequel ?
Soit $n\in\mathbb{N}$.
1. Démontrer que : \[M^n = \dfrac{1}{3 \cdot 4^n} \begin{pmatrix} 4^n+2 & 4^n-1 & 4^n-1 \\ 4^n-1 & 4^n+2 & 4^n-1 \\ 4^n-1 & 4^n-1 & 4^n+2\end{pmatrix}\]
  
  où $M$ est la matrice introduite à la question ???.
2. Démontrer que $p_n=\dfrac 13\left( 1+\dfrac 2{4^n}\right)$ et déterminer alors une expression de $q_n$ et $r_n$.
Déterminer les limites respectives des suites $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(q_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
Interpréter ces résultats.

Partie III - Nombre moyen de passages en $A$ et temps d’attente avant le premier passage en $B$

Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on définit la variable aléatoire : \[X_n = \begin{cases} 1 &\text{ si } A_n \text{ est réalisé } \\ 0 &\text{ si } \overline{A_n} \text{ est réalisé } \end{cases}\]
1. Interpréter la variable aléatoire $S_n=X_1 + \cdots + X_n$.
  
  Quelle est la signification de l’espérance $\mathbb{E}(S_n)$ ?
2. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X_n$.
3. En déduire, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, le nombre moyen de passage en $A$ entre l’étape 1 et l’étape $n$.
On définit la variable aléatoire $T_B$ de la façon suivante : $T_B$ est le numéro de l’étape à laquelle le pion passe pour la première fois en $B$, et dans le cas où le point ne passe jamais en $B$, on pose $T_B=0$.

Le but de cette question est de déterminer la loi de la variable aléatoire $T_B$ ainsi que son espérance.
1. Calculer les probabilités $\mathbb{P}(T_B=1)$ et $\mathbb{P}(T_B=2)$.
2. Soit $n\in\mathbb{N}$. Exprimer l’événement $\overline{B_n}$ à l’aide des événements $A_n$ et $C_n$.
3. Démontrer que : $\mathbb{P}(B_3 \cap \overline{B_2} \cap \overline{B_1}) = \dfrac{1}{4} \, \mathbb{P}(\overline{B_2} \cap \overline{B_1})$.
  En déduire que : $\mathbb{P}_{\overline{B_2} \cap \overline{B_1}}(B_3) = \dfrac{1}{4}$.
  
  Dans la suite de l’exercice, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, on note $D_n$ l’événement $\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n} \overline{B_k}$ et on admettra que : $\mathbb{P}_{D_n}(B_{n+1}) =\dfrac{1}{4}.$
4. Soit $k\in\mathbb{N}^*$. Calculer la probabilité $\mathbb{P}(T_B=k)$.
  
  En déduire la probabilité $\mathbb{P}(T_B=0)$.
5. Justifier que la variable aléatoire $T_B$ admet une espérance. Quelle est l’espérance de $T_B$ ?

Tu veux le corrigé détaillé ?

Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.

Travailler cette annale dans la plateforme Découvrir l’abonnement