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Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2 .\) On note \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\). L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) est muni du produit scalaire canonique, noté \(\langle\cdot, \cdot\rangle\), défini par : \[\forall x,y \in (\mathbb{R}^{n} , \ x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right),\ y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right) ,\ \left \langle x, y \right \rangle =\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\] On confond les ensembles \(\mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\) et \(\mathbb{R}\). Ainsi, pour tous \(x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on a, en notant \(X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\) et \(Y= \begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}\) : \(\left \langle x, y \right \rangle ={}^t\!X Y\).
Pour tous réels \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\), on note \(\operatorname{Diag}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)\) la matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont égaux à \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\).
Enfin, on rappelle qu’une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est orthogonale lorsque \(P\) est inversible et que \(P^{-1}= {}^t\!P\).
On considère les matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) suivantes: \[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text { et } \quad B= {}^t\!A A\]
La matrice \(A\) est-elle inversible? Déterminer le rang de \(A\).
Calculer les matrices \(A^{2}\) et \(A^{3}\) et vérifier que : \(A^{3}-A^{2}+A=0\).
En déduire les valeurs propres réelles de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ?
Justifier que la matrice \(B\) est diagonalisable.
On pose : \[R=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{3} & -\sqrt{2} \\ 2 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}\]
Vérifier que la matrice \(R\) est orthogonale.
Montrer que la matrice \({}^t\!R B R\) est diagonale. Dans toute la suite du problème, \(M\) désigne une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et on pose \(r=\operatorname{rg}(M)\).
On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(M\).
On note \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \({}^t\!M\) et \(h=g \circ f\).
Montrer que : \[\forall x, y \in \mathbb{R}^{n}, \ \left \langle x, g(y) \right \rangle = \left \langle f(x), y \right \rangle\] et que : \[\forall x \in \mathbb{R}^{n}, \ \left \langle x, h(x) \right \rangle = \left\| f(x) \right\|^{2}\]
Soit \(x\) appartenant à \(\mathrm{Ker}(h)\). En calculant \(\left \langle x, h(x) \right \rangle\), montrer que \(x\) appartient à \(\mathrm{Ker}(f)\).
En déduire que \(\mathrm{Ker}(h) = \mathrm{Ker}(f)\) puis que \(\mathrm{Rg}(h) = r\).
Justifier que l’endomorphisme \(h\) est diagonalisable et qu’il existe une base orthonormée \(\mathcal{B}_{1}=\left(\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) constituée de vecteurs propres de \(h\).
On note \(P\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}_{1}\).
Montrer que les valeurs propres de \(h\) sont positives ou nulles.
Justifier que la matrice \(P\) est orthogonale et montrer qu’il existe des réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}\) positifs ou nuls tels que: \({}^t\!M M=P D\,{}^t\!P\) avec \(D=\operatorname{Diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}\right)\).
Les réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}\) étant positifs ou nuls, on pose, pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}\).
Les réels \(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n}\) sont appelés les valeurs singulières de la matrice \(M\).
Dans cette question uniquement, on suppose que la matrice \(M\) est symétrique.
Déterminer, dans ce cas, les valeurs singulières de \(M\) en fonction de ses valeurs propres.
Justifier que la matrice \(D\) admet exactement \(r\) coefficients diagonaux non nuls.
Dans toute la suite, on suppose que les réels \(\lambda_{1}, \dots, \lambda_{r}\) sont non nuls et donc que les réels \(\lambda_{r+1}, \dots, \lambda_{n}\) sont nuls.
Pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\), justifier que \(f (\varepsilon_{i} )\) est non nul et calculer \(\left\| f(\varepsilon_i) \right\|\).
On pose, pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(u_{i}=\frac{1}{\left\| f(\varepsilon_i) \right\|} \, f (\varepsilon_{i})\).
Montrer que la famille \(\left(u_{1}, \dots, u_{r}\right)\) est une famille orthonormée.
En déduire qu’il existe une base orthonormée \(\mathcal{B}_{2}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) telle que la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_{1}\) (au départ) et la base \(\mathcal{B}_{2}\) (à l’arrivée) est: \[\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n}\right)=\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \dots, \sigma_{r}, 0, \dots, 0\right)\] On note \(Q\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}_{2}\) et \(\Delta\) la matrice \(\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \dots, \sigma_{r}, 0, \dots, 0\right)\).
Justifier que la matrice \(Q\) est orthogonale et, en calculant de deux façons différentes la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) (au départ) et la base \(\mathcal{B}_{2}\) (à l’arrivée), montrer : \(M=Q \Delta \, {}^t\!P\).
Déterminer deux matrices orthogonales \(P_{1}\) et \(Q_{1}\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et une matrice diagonale \(\Delta_{1}\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que : \(A=Q_{1} \Delta_{1} \, {}^t\!P_{1}\).
On reprend les notations de la partie \(B\). Il existe donc deux matrices orthogonales \(P\) et \(Q\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et des réels strictement positifs \(\sigma_{1}, \dots, \sigma_{r}\) tels que : \[M=Q \Delta \,{}^t\!P \quad \text { avec } \quad \Delta=\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \dots, \sigma_{r}, 0, \dots, 0\right)\] On définit la matrice \(M^{+}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) par : \(M^{+}=P \operatorname{Diag}\left(\frac{1}{\sigma_1}, \dots, \frac{1}{\sigma_{r}}, 0, \dots, 0\right)\,{}^t\!Q\).
La matrice \(M^{+}\) est appelée la matrice pseudo-inverse de \(M\).
On note \(f^{+}\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(M^{+}\) et \(p=f \circ f^{+}\).
Justifier que, si \(M\) est inversible, alors \(M^{-1}=M^{+}\).
Simplifier le produit \(M M^{+}\).
Montrer que \(p\) est un projecteur orthogonal.
Montrer que \(\operatorname{rg}\left(M M^{+}\right)=r\) puis en déduire que : \(\operatorname{Im}(p)=\operatorname{Im}(f)\).
Application. Soit \(y \in \mathbb{R}^{n} \backslash \operatorname{Im}(f)\). Il n’existe donc pas de vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) tel que \(f(x)=y\).
On cherche alors à déterminer un vecteur \(x^{*}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) tel que : \(\left\| y-f(x^\ast) \right\| = \min\limits_{x\in\mathbb{R}^n} \left\| y-f(x) \right\|\).
Justifier que : \[\forall x \in \mathbb{R}^{n}, \ \left\| y - p(y) \right\| \leqslant \left\| y-f(x) \right\|\]
Proposer un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) répondant au problème posé.
Montrer que, lorsque \(r<n\), il existe au moins deux vecteurs distincts de \(\mathbb{R}^{n}\) répondant au problème posé.
Retour sur l’exemple. On note \(f_1\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est la matrice \(A\) et on considère \(y=(1,1,1)\).
Déterminer \(\operatorname{Im}(f_1)\) et vérifier que \(y\) n’appartient pas à \(\operatorname{Im}(f_1)\).
Montrer que : \[\forall x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}, \ \left\| y- f_1(x) \right\|^{2}=\left(x_{2}+x_{3}-1\right)^{2}+\left(x_{1}-x_{3}+1\right)^{2}+1\]
En déduire deux vecteurs distincts \(x^{*}\) et \(z^{*}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tels que : \[\left\| y - f_1(x^\ast) \right\| = \left\| y - f_1(z^\ast) \right\| = \min\limits_{x\in\mathbb{R}^n} \left\| y-f(x) \right\|\]
Ce problème est constitué de trois parties. Les parties \(B\) et \(C\) sont indépendantes l’une de l’autre mais utilisent certains résultats de la partie \(A\).
On rappelle que, pour tout \((k, n)\) de \(\mathbb{N}^{2}\) tel que \(k \leqslant n\) : \[\binom nk =\frac{n !}{k !(n-k) !}\]
Pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\), on note \(c_{n}\) le réel, appelé le nombre de Catalan d’ordre \(n\), défini par : \[c_{n}=\frac{1}{n+1} \binom{2n}n\]
Calculer les réels \(c_{0}, c_{1}\) et \(c_{2}\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ c_{n}= \binom {2n}n - \binom{2n}{n+1}\]
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(c_{n}\) est un entier naturel non nul.
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ c_{n+1}=\frac{2 \left( 2 n+1 \right)}{n+2} \,c_{n}\]
Écrire une fonction en langage Python d’en-tête def catalan(n) qui, prenant en entrée un entier \(n\) de \(N\), renvoie la valeur de \(c_{n}\).
Montrer que la suite \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que la suite \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) diverge vers \(+\infty\).
Montrer que : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ 4\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3 / 2} \leqslant \frac{c_{k+1}}{c_{k}} \leqslant 4\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{3 / 2}\]
En déduire que : \[\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \frac{1}{4} \times \frac{4^{n}}{n \sqrt{n}} \leqslant c_{n} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{4^{n}}{n \sqrt{n}}\]
On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \[S_{n}=\sum_{k=0}^{n} c_{k} c_{n-k} \quad \text{et} \quad T_{n}=\sum_{k=0}^{n} k \,c_{k} c_{n-k}\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ T_{n}=\frac{n}{2}\, S_{n}\]
(on pourra effectuer le changement d’indice \(i=n-k\) dans la somme définissant \(T_{n}\)).
Montrer, à l’aide de l’égalité de la question 3, que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ T_{n+1}+S_{n+1}=c_{n+1}+4 T_{n}+2 S_{n}\]
En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence : \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad S_{n}=c_{n+1}\]
On a donc montré que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ c_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} c_{k} c_{n-k}\]
Montrer que, pour tout \(x\) de \(\left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right]\), la série \(\sum\limits_{n \geqslant 0} c_{n} x^{n}\) converge. On pose alors : \[\forall x\in \left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right],\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} c_{n} x^{n} \quad \text{et} \quad g(x)=2 x f(x)\]
On admet que la fonction \(f\) est continue sur \(\left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right]\).
Soit \(x\) appartenant à \(\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right]\).
En remarquant que, pour tout \(N\) de \(\mathbb{N}\) : \[\left(\sum_{i=0}^{N} c_{i} x^{i}\right) \! \! \left(\sum_{j=0}^{N} c_{j} x^{j}\right)=\sum_{n=0}^{2 N}\left(\sum_{k=0}^{n} c_{k} c_{n-k}\right) x^{n}\]
montrer que : \[(f(x))^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} c_{n} x^{n-1}\]
En déduire que : \[\forall x \in\left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right], \ (g(x))^{2}=2 g(x)-4 x\]
Montrer qu’il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(\left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right]\) et à valeurs dans \(\{-1 , 1\}\) telle que : \[\forall x \in\left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right], \ g(x)=1+\varepsilon(x) \sqrt{1-4 x}\] Montrer ensuite que la fonction \(\varepsilon\) est continue sur \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4} \right[\).
En déduire que : \[\forall x \in\left[-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}\right], \ g(x)=1-\sqrt{1-4 x}\]
On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \varphi(x)= \begin{cases} \frac{1}{2 \pi} \sqrt{4-x^{2}} & \text {si } x \in[-2 , 2] \\ \hspace{1cm} 0 & \text {sinon} \end{cases}\]
Montrer que : \(\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos (t))^{2} \, \mathrm{d} t=\frac{\pi}{2}\).
En déduire, à l’aide du changement de variable \(x=2 \sin(t)\), la valeur de \(\displaystyle \int_{-2}^{2} \varphi(x) \, \mathrm{d}x\).
Montrer que \(\varphi\) est une densité d’une variable aléatoire réelle.
On considère une variable aléatoire réelle \(X\) de densité \(\varphi\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Justifier que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(X\) admet un moment d’ordre \(n\) et que l’on a :
\[\forall n \in \mathbb{N}, \ \mathbb{E}( X^{2 n+1} ) =0 \quad \text { et } \quad \mathbb{E}(X^{2 n})=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2} x^{2 n} \sqrt{4-x^{2}} \, \mathrm{d} x\]
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \(u_{n}=\mathbb{E}( X^{2 n} )\).
Calculer \(u_{0}\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=\frac{2 n+1}{3}\left(4 u_{n}-u_{n+1}\right)\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n}=c_{n}\]
Soit \(p\) un réel appartenant à \(] 0 , 1[\). On considère une pièce qui amène Pile avec la probabilité \(p\) et Face avec la probabilité \(1-p\) avec laquelle on effectue une succession de lancers indépendants. On modélise cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On définit la variable aléatoire \(T\) égale au nombre de lancers effectués lorsque, pour la première fois, on obtient le même nombre de Pile que de Face, et égale à 0 si un tel événement ne se réalise pas.
Par exemple, si on obtient successivement \(PPFPFFPF\dots\) (où \(P\) désigne Pile et \(F\) désigne Face), alors la variable aléatoire \(T\) prend la valeur \(6\).
Écrire une fonction en langage Python, d’en-tête
def simule(p) qui prend en argument le réel
\(p\), simule au plus \(10^{4}\) lancers de la pièce et qui renvoie
la valeur de \(T\) en convenant que si,
sur les \(10^{4}\) lancers, le nombre
de Pile obtenus n’a jamais été égal au nombre de Face, alors \(T\) prend la valeur \(0\).
On exécute le programme Python suivant:
et on obtient le résultat suivant :
[[ 1.392 1.478 1.41]
[100.572 71.172 125.28]
[ 1.454 1.544 1.414]]
Qu’affiche le script? Comment peut-on interpréter ces différents résultats?
Justifier que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(T=2 n+1)=0\]
On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*},\) \(D_{n}\) l’ensemble des résultats possibles de \(2n\) lancers de la pièce pour lesquels :
à l’issue du \((2 n)^{\grave{e}me}\), le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
le nombre de Pile est toujours strictement supérieur au nombre de Face tout au long des \(2 n-1\) premiers lancers;
et on note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(d_{n}=\operatorname{Card}\left(D_{n}\right)\).
On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(E_{n}\) l’ensemble des résultats possibles de \((2 n)\) lancers de la pièce pour lesquels :
à l’issue du \((2 n)^{\grave{e}me}\) lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
le nombre de Pile est toujours supérieur ou égal au nombre de Face tout au long des \(2 n-1\) premiers lancers;
et on pose \(e_{0}=1\) et, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(e_{n}=\operatorname{Card}\left(E_{n}\right)\).
Par exemple, : \[D_{3}=\{PPPFFF, PPFPFF\} \quad \text{et} \quad E_{3}=\{PFPFPF, PFPPFF, PPFFPF, PPFPFF, PPPFFF\}\] donc \(d_{3}=3\) et \(e_{3}=5\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). En remarquant que tout résultat de \(D_{n}\) commence nécessairement par un Pile et se termine par un Face, justifier que : \(d_{n}=e_{n-1}\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ e_{n}=\sum_{k=1}^{n} d_{k} e_{n-k}\]
En déduire : \[\quad \forall n \in \mathbb{N}, \ e_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} e_{k} e_{n-k}\]
Montrer alors que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ e_{n}=c_{n}\] où \(c_{n}\) est le nombre de Catalan d’ordre \(n\).
En déduire : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(T=2 n)=2 c_{n-1} p^{n}(1-p)^{n}\]
Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à \([-1 , 1]\), la série \(\sum\limits_{n \geqslant 0} \mathbb{P}(T=n) x^{n}\) converge.
On pose, pour tout \(x\) appartenant à \([-1 ,1]\) : \[G_{T}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(T=n) \, x^{n}\]
Montrer que : \[p \left( 1-p \right) \leqslant \frac{1}{4}\] et : \[p\left( 1-p\right)=\frac{1}{4} \Longleftrightarrow p=\frac{1}{2}\]
Montrer que : \[\forall x \in[-1 , 1], \ G_{T}(x)= \mathbb{P}(T=0)+g (p(1-p) x^{2})\]
où \(g\) est la fonction définie dans la question 8.
En utilisant la valeur de \(G_{T}(1)\), montrer que : \[\mathbb{P}( T=0)= \left| 2p-1 \right|\]
Interpréter ce résultat lorsque \(p=\frac{1}{2}\).
En utilisant le résultat de la question 6b, montrer que :
si \(p \neq \frac{1}{2}\), alors la variable aléatoire \(T\) admet une espérance.
si \(p=\frac{1}{2}\), alors la variable aléatoire \(T\) n’admet pas d’espérance.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
