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On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(]-\infty, 1]\) par : \[\forall x \in\left]{-\infty},1 \right],\ \varphi(x) = \begin{cases} x + \left( 1-x \right) \ln(1-x) &\text{si } x<1 \\ \hspace{1.5cm} 1 &\text{si } x=1 \end{cases}\]
Montrer que la fonction \(\varphi\) est continue sur \(]-\infty, 1]\).
Justifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(]-\infty, 1[\) et calculer, pour tout \(x \in \left]-\infty, 1 \right[\), \(\varphi'(x)\).
En déduire les variations de \(\varphi\) sur \(]-\infty, 1]\).
La fonction \(\varphi\) est-elle dérivable en \(1\) ?
Calculer la limite de \(\varphi\) en \(-\infty\).
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(\varphi\) en soignant le tracé aux voisinages de \(0\) et \(1\).
À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que \[\lim_{y\to 1} \int_0^y \left( 1-x \right) \ln(1-x)\,\mathrm{d}x= - \frac{1}{4}\]
En déduire : \(\displaystyle \int_{0}^{1} \varphi(x)\, \mathrm{d}x= \dfrac{1}{4}\).
Soit \(x\) un réel appartenant à \([0, 1[\).
Vérifier que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et tout \(t\) de \([0, x]\) : \[\dfrac{1}{1-t} - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n-1} t^k = \dfrac{t^n}{1 - t}\]
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[-\ln(1-x) - \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{x^k}{k} = \int_{0}^{x} \dfrac{t^n}{1 - t}\, \mathrm{d}t\]
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[0 \ \leqslant \ \displaystyle \int_{0}^{x} \dfrac{t^n}{1 - t}\, \mathrm{d}t\leqslant \dfrac{1}{(n+1) (1-x)}\]
En déduire la limite de \(\displaystyle \int_{0}^{x} \dfrac{t^n}{1 - t} \,\mathrm{d}t\) lorsque l’entier \(n\) tend vers \(+\infty\).
Montrer alors que la série \(\sum \frac{x^n}{n}\) converge et que : \[\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\]
Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \dfrac{1}{n \, (n+1)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1}\]
En déduire que la série \(\sum \frac{x^{n+1}}{n \left( n+1 \right)}\) converge et que : \[\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{x^{n+1}}{n \left( n+1 \right)} = \varphi(x)\]
Montrer que la série \(\sum\dfrac{1}{n \left( n+1 \right)}\) converge et que l’on a encore : \[\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{1}{n \left( n+1 \right)} = \varphi(1)\]
Dans cette partie, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On considère une urne contenant initialement une boule bleue et une boule rouge. On procède à des tirages successifs d’une boule au hasard selon le protocole suivant :
si on obtient une boule bleue, on la remet dans l’urne et on ajoute une boule bleue supplémentaire;
si on obtient une boule rouge, on la remet dans l’urne et on arrête l’expérience.
On suppose que toutes les boules sont indiscernables au toucher et on admet que l’expérience s’arrête avec une probabilité égale à \(1\). On note \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de boules présentes dans l’urne à la fin de l’expérience.
Dans toutes les questions d’informatiques, on suppose que les programmes Python commencent par les instructions :
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0, 1\},\ \mathbb{P}(N=n) = \dfrac{1}{n \left( n-1 \right)}\]
La variable aléatoire \(N\) admet-elle une espérance ?
Recopier et compléter les lignes incomplètes de la fonction
Python suivante de façon à ce qu’elle renvoie
une simulation de la variable aléatoire \(N\).
On considère une suite \((X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On suppose que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), les variables aléatoires \(X_1,\dots, X_n\) et \(N\) sont mutuellement indépendantes.
On note \(F\) la fonction de répartition commune aux variables aléatoires \(X_n\), \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
On définit la variable aléatoire \(T = \max(X_1, \ldots, X_N)\), ce qui signifie : \[\forall \omega \in \Omega, \ T(\omega) = \max(X_1(\omega), \dots, X_{N(\omega)}(\omega) )\] Ainsi par exemple, si \(N\) prend la valeur \(3\), alors \(T = \max(X_1, X_2, X_3)\); si \(N\) prend la valeur \(5\), alors \(T = \max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)\); etc.
Montrer que : \[\forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0, 1\},\ \mathbb{P}_{[N = n]}( T \leqslant x ) = \left[ F(x) \right]^n\]
En déduire que : \[\forall x \in \mathbb{R},\ \mathbb{P}(T \leqslant x) = \varphi ( F(x) )\]
On suppose, dans cette question uniquement, que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(X_n\) suit la loi uniforme sur \([0, 1]\).
On rappelle que l’instruction
rd.random([n,p]) renvoie une matrice de \(\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})\) où les
coefficients sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes
suivant la loi uniforme sur \([0,
1]\).
Écrire une fonction en langage Python
d’en-tête def simulT(): qui renvoie une
simulation de la variable aléatoire \(T\).
On considère la fonction en langage
Python suivante :
À son appel, on obtient :
array([0.75198246, 0.73324017, 0.75159731])
Que renvoie la fonction mystere ? Que
peut-on conjecturer sur la variable aléatoire \(T\) ?
Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \mathbb{P}(T \leqslant x) = \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } x<0 \\ \varphi(x) &\text{si } x\in [0,1 [ \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } x \geqslant 1 \end{cases}\]
En déduire que \(T\) est une variable aléatoire à densité.
Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que \(T\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(T)\).
On suppose, dans cette question uniquement, que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(X_n\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda \in \mathbb{R}_+^{*}\).
Rappeler une expression de la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
En déduire une expression de la fonction de répartition de \(T\).
Montrer que \(T\) est une variable aléatoire à densité et qu’une densité de \(T\) est la fonction : \[g : x\mapsto \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } x<0 \\ \lambda^2 x \, \mathrm{e}^{-\lambda x} &\text{si } x \geqslant 0 \end{cases}\]
Justifier que \(T\) admet une espérance et que : \(\mathbb{E}(T) = \lambda \ \mathbb{E}( X_1^2 )\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{E}(T)\).
Pour tout \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\), on définit la matrice \(M(a, b, c)\) par : \[M(a,b,c) = \begin{pmatrix} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{pmatrix}\] Pour tout \((a, b, c)\) de \(\mathbb{R}^3\), on appelle cardinal de l’ensemble \(\{a, b, c\}\), noté \(\mathrm{Card}( \{a, b, c\} )\), le nombre d’éléments distincts de cet ensemble.
Par exemple, si \(a = b = c\), alors
\(\mathrm{Card}( \{a, b, c\} ) = 1\);
si \(a = b\) et \(a \neq c\), alors \(\mathrm{Card}( \{a, b, c\} ) =
2\).
Pour tout \((a, b, c) \in
\mathbb{R}^3\), on s’intéresse dans ce problème au nombre de
valeurs propres distinctes de la matrice \(M(a, b, c)\) et on souhaite démontrer la
propriété \((*)\) suivante : \[(*) \qquad \text{$M(a, b, c)$ est inversible} \
\Longleftrightarrow \ ab
+ bc + ac + abc \neq 0\]
Dans tout ce problème, on admettra que deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
Justifier que, pour tout \((a, b, c)\) de \(\mathbb{R}^3\), la matrice \(M(a, b, c)\) est diagonalisable.
Soit \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\).
Montrer que la matrice \(M(a, b, c)\) ne peut pas admettre une unique valeur propre.
On pourra par exemple raisonner par l’absurde.
En déduire que la matrice \(M(a, b, c)\) admet soit deux soit trois valeurs propres distinctes.
Soient \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\) et \(\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).
On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est \(M(a, b, c)\).
Écrire la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B} ' = (e_2, e_1, e_3)\).
En déduire que les matrices \(M(a, b, c)\) et \(M(b, a, c)\) ont les mêmes valeurs propres.
De la même façon, montrer que les matrices \(M(a, b, c)\) et \(M(a, c, b)\) ont les mêmes valeurs propres.
Ces deux derniers résultats permettent de justifier que les valeurs propres de la matrice \(M(a, b, c)\) ne dépendent pas de l’ordre des réels du triplet \((a, b, c)\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(a = b = c = 0\) et on note \(J = M(0, 0, 0)\).
Calculer \(J^2\). Déterminer alors un polynôme annulateur de \(J\).
En déduire les valeurs propres de \(J\) et préciser une base des sous-espaces propres de \(J\).
Déterminer une matrice \(P\) inversible de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et une matrice \(D\) diagonale de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que : \(J = PDP^{-1}\).
Soit \(a \in \mathbb{R}\).
Vérifier que : \(M(a, a, a) = P \left( a \, \mathrm{I}_3 + D \right) P^{-1}\).
En déduire que la matrice \(M(a, a, a)\) admet exactement deux valeurs propres distinctes et les déterminer en fonction de \(a\).
Vérifier la propriété \((*)\) pour la matrice \(M(a, a, a)\).
Dans cette question uniquement, on suppose que \(a = b = 0\) et que \(c \in \mathbb{R}^*\).
On note \(C = M(0, 0, c)\).
Justifier que \(0\) est une valeur propre de \(C\).
Soit \(\lambda\) un réel non nul.
Soit \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\). Montrer l’équivalence : \[CX = \lambda X \Longleftrightarrow \begin{cases} y = x \\ z = \left( \lambda - 2 \right) x \\ \left( \lambda^2 - \left( c+3 \right) \, \lambda + 2c \right) x = 0 \end{cases}\]
En déduire que \(\lambda\) est une valeur propre de \(C\) si et seulement si \(\lambda^2 - \left( c+3 \right) \, \lambda + 2c= 0\).
Montrer alors que \(C\) admet trois valeurs propres distinctes.
Soit \((a, c) \in \mathbb{R}^2\) tel que \(a \neq c\).
Exprimer \(M(a, a, c)\) comme une combinaison linéaire de \(\mathrm{I}_3\) et de \(M(0, 0, c-a)\).
En déduire que la matrice \(M(a, a, c)\) admet trois valeurs propres distinctes.
Vérifier la propriété \((*)\) pour la matrice \(M(a, a, c)\).
Soit \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\) tel que \(\mathrm{Card}( \{a, b, c\} ) = 2\).
À l’aide de la conclusion de la question 3, montrer que la matrice \(M(a, b, c)\) admet trois valeurs propres distinctes et vérifier la propriété \((*)\) dans ce cas.
Soit \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\) tel que \(a < b < c\).
On note \(g\) la fonction définie sur l’ensemble \(D = \mathbb{R}\setminus \{a, b, c\}\) par : \[\forall x \in D, \ g(x) \ = \ \dfrac{1}{x-a} + \dfrac{1}{x-b} + \dfrac{1}{x-c}\]
Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(D\) en y précisant les limites en \(+\infty\), en \(-\infty\), ainsi qu’à gauche et à droite de \(a\), de \(b\) et de \(c\).
En déduire que l’équation \(g(x) = 1\), d’inconnue \(x \in D\), admet exactement trois solutions distinctes \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), vérifiant : \(a < \lambda_1 < b < \lambda_2 < c < \lambda_3\).
Soit \(\lambda \in D\) une solution de l’équation \(g(x) = 1\). On note \(X_{\lambda}\) la matrice colonne de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) définie par : \[X_{\lambda} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\lambda-a} \\[.4cm] \dfrac{1}{\lambda-b} \\[.4cm] \dfrac{1}{\lambda-c} \end{pmatrix}\]
Montrer que \(X_{\lambda}\) est un vecteur propre de la matrice \(M(a, b, c)\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
En déduire que la matrice \(M(a, b, c)\) admet trois valeurs propres distinctes.
Soit \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\) tel que \(\mathrm{Card}( \{a, b, c\} ) = 3\).
Montrer que la matrice \(M(a, b, c)\) admet trois valeurs propres distinctes.
Vérifier la propriété \((*)\) pour la matrice \(M(a, b, c)\).
On pose : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\).
Justifier que la matrice \(A\) est inversible.
On note \(\alpha\) la plus grande valeur propre de \(A\).
Montrer que : \(4 < \alpha < 5\).
Recopier et compléter les lignes incomplètes de la fonction
Python ci-dessous afin qu’elle renvoie une
valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près à l’aide de la méthode de
dichotomie.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
