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Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(P_n\) la fonction polynôme définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_n(x) = \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{(-x)^k}{k!}\]
Calculer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), les limites de \(P_n\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), le polynôme \(P_n\) admet au moins une racine réelle.
Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},~\forall x\in\mathbb{R},~P'_n(x)=-P_n(x)-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), les racines de \(P_n\) sont toutes simples.
Vérifier que : \[\forall n\in\mathbb{N},~\forall x\in\mathbb{R},~P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}\left(1-\frac{x}{2k+1}\right)\]
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), les racines réelles de \(P_n\) appartiennent nécessairement à l’intervalle \([1,2n+1]\).
Montrer les relations: \[\forall n\in\mathbb{N},~\forall x\in\mathbb{R}, \ \begin{cases}\displaystyle P'_{n+1}(x)=-P_n(x)-\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \\P''_{n+1}(x)=P_n(x)\end{cases}\]
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), la fonction \(P_n\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) et ne s’annule qu’une seule fois, en un réel noté \(u_n\).
Écrire une fonction Python d’en-tête
def P(n,x): qui prend pour arguments un entier
\(n\) de \(\mathbb{N}\) et un réel \(x\), et qui renvoie la valeur de \(P_n(x)\).
Recopier et compléter la fonction
Python suivante afin que, prenant pour
argument un entier \(n\) de \(\mathbb{N}\), elle renvoie une valeur
approchée de \(u_n\) à \(10^{-3}\) près à l’aide de la méthode par
dichotomie.
On utilise la fonction précédente pour représenter les premiers termes de la suite \(\left(\frac{u_n}n\right)_{n\in\mathbb{N}^\star}\). Conjecturer un équivalent de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) et la limite éventuelle de \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},~P_{n+1}(u_n)=\frac{u_n^{2n+2}}{(2n+2)!}\left(1-\frac{u_n}{2n+3}\right)\]
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante.
On suppose dans cette question que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est convergente de limite \(\ell\).
Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},~\left| P_n(u_n)-P_n(\ell) \right| \leqslant e^\ell \left| u_n-\ell \right|\]
Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n(\ell)\). En déduire: \[\lim_{n\to+\infty}P_n(u_n)=e^{-\ell}\]
Aboutir à une contradiction.
En déduire la nature et la limite de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Les deux questions de cette Partie sont indépendantes entre elles et indépendantes de la Partie A.
On note \(f\) la fonction définie sur \(]0,1]\) par: \(\forall t\in \left] 0, 1 \right],~f(t)=-\ln(t)\).
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1f(t) \,\mathrm{d}t\) converge et préciser sa valeur.
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2.
Justifier, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\): \[\frac 1n \, f \! \left(\frac{k+1}n\right)\leqslant\int_{\frac kn}^{\frac{k+1}n}f(t)\, \mathrm{d}t\leqslant\frac 1n \, f \! \left(\frac kn\right)\]
En déduire: \[\displaystyle \int_{\frac1n}^1f(t)\, \mathrm{d}t\leqslant\frac1n\sum_{k=1}^nf \! \left(\frac kn\right)\leqslant\int_{\frac1n}^1f(t)\, \mathrm{d}t+\frac{\ln(n)}n\]
En déduire la limite de \(\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^n\ln \! \left(\frac kn\right)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Montrer finalement: \[\lim_{n\to+\infty}\frac{(n!)^{\frac1n}}n = \mathrm{e}^{-1}\]
On note \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par: \(\forall t\in \left] 0 , +\infty \right[,~g(t)=t+\ln(t)+1\).
Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\) appartenant à \(]0,+\infty[\) tel que \(g(\alpha)=0\) et justifier:
\[\mathrm{e}^{-2}<\alpha< \mathrm{e}^{-1}\]
Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},~\forall x\in\mathbb{R},~\mathrm{e}^{-x}=\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-x)^k}{k!}-\int_0^x\frac{(x-t)^{2n}}{(2n)!} \, \mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t\]
Justifier : \[\forall n\in\mathbb{N},~\forall x\in\mathbb{R}^+,~0\leqslant\int_0^x\frac{(x-t)^{2n}}{(2n)!}\mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t\leqslant\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
En déduire: \[\forall n\in\mathbb{N},~\forall x\in\mathbb{R}^+,~P_n(x)\leqslant \mathrm{e}^{-x}\leqslant P_n(x)+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
Soit \(n\) un entier de \(\mathbb{N}\).
Montrer que : \[P_{n+1}(u_n)\leqslant \mathrm{e}^{-u_n}\leqslant \frac{(u_n)^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
En utilisant le résultat des questions 3b et 6a, obtenir: \[\frac{2 \left( u_n \right)^{2n}}{(2n+3)!}\leqslant \mathrm{e}^{-u_n}\leqslant \frac{(u_n)^{2n}}{(2n)!}\] puis: \[(2n)!\leqslant (u_n)^{2n}\mathrm{e}^{u_n}\leqslant \frac{(2n+3)!}2\]
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\star\): \(\displaystyle w_n=\frac{u_n}{2n}\).
Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\star,~\frac{((2n)!)^{\frac1{2n}}}{2n}\leqslant w_n \, \mathrm{e}^{w_n}\leqslant \left(\frac{(2n+3)^3}2\right)^{\frac1{2n}}\frac{((2n)!)^{\frac1{2n}}}{2n}\]
En déduire que la suite \((g(w_n))_{n\in\mathbb{N}^\star}\) converge vers 0 puis que la suite \((w_n)_{n\in\mathbb{N}^\star}\) converge vers \(\alpha\), la fonction \(g\) et le réel \(\alpha\) étant définis dans la question 10.
En déduire un équivalent simple de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On note \(\mathcal{B}_n=(P_0,P_1,\dots,P_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Montrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[x]\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} P(t) \, \mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t\) converge.
Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on pose \(\displaystyle I_k=\int_0^{+\infty}t^k\mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t\).
Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), déterminer à l’aide d’une intégration par parties une relation entre les intégrales \(I_{k+1}\) et \(I_k\).
En déduire: \[\forall k\in\mathbb{N},~I_k=k!\]
Pour tout couple \((P,Q)\) de \(\mathbb{R}[x]^2\), on pose: \[\langle P,Q\rangle=\int_0^{+\infty}P(t) \, Q(t) \, \mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t\]
Montrer que \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[x]\).
Dans toute la suite du problème, on munit \(\mathbb{R}[x]\) de ce produit scalaire et on note \(\|\cdot\|\) la norme associée.
Calculer, pour tout \((i,j)\) de \(\mathbb{N}^2\), \(\langle P_i,P_j\rangle\) et, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}\), \(\| P_i \|\).
On admet qu’il existe une unique suite de polynômes \((Q_k)_{k\in\mathbb{N}}\) définie par:
pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), le polynôme \(Q_k\) est de degré \(k\) et de coefficient dominant strictement positif,
pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), la famille \((Q_0,\ldots,Q_k)\) est une famille orthonormale.
Déterminer \(Q_0\) et \(Q_1\) et vérifier que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ Q_2(x) = \frac{1}{2}\, x^2 -2x+1\]
Montrer que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), la famille \(\mathcal{C}_k=(Q_0,\ldots,Q_k)\) est une base de \(\mathbb{R}_k[x]\).
On définit la matrice \(H_n=(h_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n+1}\) de \(\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})\) par: \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]^2,~h_{i,j}=\langle P_{i-1},P_{j-1}\rangle.\] On note également \(A_n\) la matrice de la famille \(\mathcal{B}_n=(P_0,P_1,\dots,P_n)\) dans la base \(\mathcal{C}_n\).
Étude du cas \(n=2\).
Expliciter la matrice \(H_2\).
Montrer que la matrice \(H_2\) est inversible et vérifier que \(\displaystyle H_2^{-1}=\begin{pmatrix}3&-3&\frac12\\-3&5&-1\\\frac12&-1&\frac14\end{pmatrix}\).
Expliciter la matrice \(A_2\) et calculer \({}^t\!A_2A_2\). Que remarque-t-on?
On note, pour tout \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]^2\), \(a_{i,j}\) le coefficient d’indice \((i,j)\) de la matrice \(A_n\).
Justifier que la matrice \(A_n\) est inversible.
Justifier que : \[\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right],~P_{j-1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{k,j}Q_{k-1}\] En déduire que : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]^2,~\langle P_{i-1},P_{j-1} \rangle=\sum_{k=1}^{n+1}a_{k,i}a_{k,j}\]
Montrer alors la relation: \(H_n= {}^t\!A_nA_n\).
Montrer que la matrice \(H_n\) est inversible.
Établir (sans calcul) que la matrice \(H_n\) est diagonalisable.
Montrer que les valeurs propres de \(H_n\) sont strictement positives.
(On pourra calculer, pour tout vecteur propre \(Y\) de \(H_n\), \({}^t\!\, YH_nY\).)
Soit \(P\) un polynôme de \(\mathbb{R}[x]\). On définit la matrice colonne \(\displaystyle U=\begin{pmatrix}\langle P,P_0\rangle\\\langle P,P_1\rangle\\\vdots\\\langle P,P_n\rangle\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n+1,1}(\mathbb{R})\).
\(\mathbb{R}_n[x]\) étant un sous-espace vectoriel de dimension finie de \(\mathbb{R}[x]\), on admet que \(\mathbb{R}_n[x]\) et \((\mathbb{R}_n[x])^\perp\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}[x]\) et on appelle projection orthogonale sur \(\mathbb{R}_n[x]\) la projection sur \(\mathbb{R}_n[x]\) parallèlement à \((\mathbb{R}_n[x])^\perp\).
Soit \(R\) un polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
On note \(V=\begin{pmatrix}\alpha_0\\\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}\) la matrice colonne des coordonnées de \(R\) dans la base \(\mathcal{B}_n\).
Montrer, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\): \[\langle R,P_i\rangle=\sum_{k=0}^n\alpha_k\, \langle P_i , P_k \rangle\]
Montrer que : \[R \text{ est le projeté orthogonal de } P \text{ sur } \mathbb{R}_n[x] \Longleftrightarrow \forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],~\langle P, P_i \rangle=\langle R,P_i \rangle\]
En déduire: \[R \text{ est le projeté orthogonal de } P \text{ sur } \mathbb{R}_n[x] \Longleftrightarrow V=H_n^{-1}U\]
Retour au cas \(n=2\). Déterminer le projeté orthogonal du polynôme \(P_3\) sur \(\mathbb{R}_2[x]\).
On souhaite retrouver le résultat précédent par une méthode différente.
On définir la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^3\) par: \[\forall (a,b,c)\in\mathbb{R}^3,~f(a,b,c)=\int_0^{+\infty}(a+bt+ct^2-t^3)^2 \,\mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t\]
Vérifier: \[\forall (a,b,c)\in\mathbb{R}^3,~f(a,b,c)=a^2+2b^2+24c^2+2ab+4ac+12bc-12a-48b-240c+720\]
Montrer que \(f\) admet un unique point critique \((a_0,b_0,c_0)\) vérifiant: \(H_2\begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\24\\120\end{pmatrix}\).
Montrer que la matrice hessienne de \(f\) au point \((a_0,b_0,c_0)\) est la matrice \(2H_2\).
En déduire que la fonction \(f\) admet au point \((a_0,b_0,c_0)\) un minimum local.
Justifier: \[\inf_{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}f(a,b,c)=\inf_{R\in\mathbb{R}_2[x]}\|P_3 -R\|^2\]
En déduire que \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^3\) et que ce minimum est atteint en un unique point.
Retrouver alors l’expression du projeté orthogonal du polynôme \(P_3\) sur \(\mathbb{R}_2[x]\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
