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On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,1[\) par : \[f : x \mapsto \dfrac{\ln(1-x)}{\ln(x)}\]
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,1[\) et que l’on a : \[\forall x \in \left] 0, 1 \right[, \ f'(x) = \dfrac{1}{x \left( 1-x \right) \left[ \ln(x) \right]^2} \left[ -x \ln(x) - \left(1-x \right) \ln(1-x) \right]\]
Justifier que : \(\forall t \in \left]0,1 \right[,\ t \ln(t) <0\).
En déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0,1[\).
Montrer que la fonction \(f\)
est prolongeable par continuité en \(0\).
On note encore \(f\) la fonction ainsi
prolongée en \(0\). Préciser \(f(0)\).
Montrer que \(f\) est dérivable en \(0\) et préciser \(f'(0)\).
Calculer la limite de \(f\) en \(1\). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de \(f\) ?
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé, en faisant figurer la tangente en \(0\) et les branches infinies éventuelles.
On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \((E_n)\) l’équation : \(x^n +x-1 = 0\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\).
Étudier les variations sur \(\mathbb{R}_+\) de la fonction \(x \mapsto x^n +x-1\).
En déduire que l’équation \((E_n)\)
admet une unique solution sur \(\mathbb{R}_+\) que l’on note \(u_n\).
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(u_n\) appartient à l’intervalle \(]0,1[\).
Déterminer \(u_1\) et \(u_2\).
Recopier et compléter la fonction
Python suivante afin que, prenant en argument
un entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), elle renvoie une valeur
approchée de \(u_n\) à \(10^{-3}\) près, obtenue à l’aide de la
méthode par dichotomie :
On représente alors les premiers termes de la suite \((u_n)_{n
\in \mathbb{N}^*}\) et on obtient le graphe suivant.
Quelles conjectures peut-on faire sur la suite \((u_n)_{n \in
\mathbb{N}^*}\) concernant sa monotonie, sa convergence et
son éventuelle limite ?
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \(f(u_n) = n\).
En déduire que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est croissante.
Montrer que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge et préciser sa limite.
On considère la fonction \(F\) de classe \(\mathcal C^2\) sur l’ouvert \(\left] 0, +\infty \right[^2\) définie par : \[F : (x,y) \mapsto x^2 \, y + x^2 - \dfrac{y^2}{2} - 2x\]
Calculer les dérivées partielles d’ordre \(1\) de \(F\) en tout point \((x,y)\) de \(\left] 0, +\infty \right[^2\).
Montrer que la fonction \(F\) admet \((u_3, u_3^2)\) comme unique point critique, où le réel \(u_3\) est l’unique solution sur \(\mathbb{R}_+\) de l’équation \((E_3)\) définie sans la partie B.
Écrire la matrice hessienne, notée \(H\), de la fonction \(F\) au point \((u_3, u_3^2)\).
Montrer que la matrice \(H\) admet deux valeurs propres distinctes, notées \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), vérifiant : \[\lambda_1 \, \lambda_2 = -6 u_3^2 - 2\]
La fonction \(F\) présente-t-elle des extrema locaux sur \(]0,+\infty[^2\) ?
On définit, pour tous réels \(a\) et
\(b\), \(M(a,b)\) la matrice carrée d’ordre \(4\) par : \[M(a,b) =
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 & a\\
a & 0 & 0 & a\\
a & 0 & 0 & a\\
b & b & b & b
\end{pmatrix}\] et on note : \(E =
\big\{ M(a,b),\ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \big\}\).
L’objectif de cet exercice est de déterminer les matrices de \(E\) qui sont diagonalisables.
Montrer que \(E\) est un
sous-espace vectoriel de \(\mathcal
M_4(\mathbb{R})\).
Déterminer une base de \(E\) et sa
dimension.
Le produit de deux matrices quelconques de \(E\) appartient-il encore à \(E\) ?
Justifier que la matrice \(M(0,0)\) est diagonalisable.
Soit \(a\) un réel non nul. On note \(A\) la matrice \(M(a,0)\).
Calculer \(A^2\) et déterminer un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire les valeurs propres de la matrice \(A\) et préciser une base de chacun des sous-espaces propres associés.
Prouver alors que la matrice \(A\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(P\) de \(\mathcal M_4(\mathbb{R})\) inversible et une matrice \(D\) de \(\mathcal M_4(\mathbb{R})\) diagonale telles que : \(A = PDP^{-1}\).
Soit \(b\) un réel non nul. On note \(B\) la matrice \(M(0,b)\).
Déterminer le rang des matrices \(B\) et \(B - b \mathrm{I}_4\), \(\mathrm{I}_4\) désignant la matrice identité d’ordre \(4\).
En déduire l’ensemble des valeurs propres de \(B\) et préciser la dimension des sous-espaces propres associés.
La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?
Soient \(a\) et \(b\) deux réels non nuls. On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^4\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) est \(M(a,b)\). On pose : \[v_1 = (1,1,1,0), \qquad v_2 = (0,0,0,1) \qquad \text{et} \qquad T = \begin{pmatrix} a & a\\ 3b & b \end{pmatrix}\]
Montrer que \(\mathrm{Ker}(f)\) est de dimension \(2\) et préciser une base \((v_3, v_4)\) de \(\mathrm{Ker}(f)\).
Montrer que la famille \({\cal B}' = (v_1, v_2, v_3, v_4)\) est une base de \(\mathbb{R}^4\).
Déterminer la matrice notée \(N\) de l’endomorphisme \(f\) dans la base \({\cal B}'\).
Soient \(\lambda\) un réel non
nul et \(X =
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix}\) une matrice colonne de \(\mathcal M_{4,1}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(X\) est un vecteur propre
de \(N\) associé à la valeur propre
\(\lambda\) si et seulement si \(z=t=0\) et \(\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}\) est un vecteur propre de \(T\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
On suppose dans cette question
uniquement que \((a,b) =
(1,1)\).
Déterminer les valeurs propres de \(T\). En déduire que la matrice \(M(1,1)\) est diagonalisable.
On suppose dans cette question
uniquement que \((a,b) =
(1,-1)\).
Justifier que \(T\) n’admet aucune
valeur propre. La matrice \(M(1,-1)\)
est-elle diagonalisable ?
Montrer l’équivalence : \[\text{$M(a,b)$ est diagonalisable} \ \Longleftrightarrow \ a^2 + 10 \, ab + b^2 > 0\]
Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x) = \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } x<b \\ a \, \dfrac{b^a}{x^{a+1}} &\text{si } x\geqslant b \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
On dit qu’une variable aléatoire suit la loi de Pareto de paramètres
\(a\) et \(b\) lorsqu’elle admet pour densité la
fonction \(f\).
Dans toute la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoire
\(X\) suivant la loi de Pareto de
paramètres \(a\) et \(b\).
Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
Soit \(U\) une variable
aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1[\).
Montrer que la variable aléatoire \(b \,
U^{-\frac{1}{a}}\) suit la loi de Pareto de paramètres \(a\) et \(b\).
On suppose qu’un programme en langage
Pythonb commence par les commandes suivantes
:
Écrire une fonction en langage Python
d’en-tête def pareto(a,b) qui prend en
arguments deux réels \(a\) et \(b\) strictement positifs et qui renvoie une
simulation de la variable aléatoire \(X\).
On considère la fonction Python
ci-dessous :
Que contient la liste L renvoyée par la
fonction mystere ?
On exécute la fonction précédente avec différentes valeurs de \(a\) et de \(b\).
Comment interpréter les résultats obtenus ?
Montrer que \(X\) admet une espérance si et seulement si \(a>1\) et que, dans ce cas : \[\mathbb{E}(X) = \dfrac{a \, b}{a-1}\]
Montrer que \(X\) admet une variance si et seulement si \(a>2\) et que, dans ce cas : \[\mathbb{V}(X) = \dfrac{a \, b^2}{(a-1)^2 \, (a-2)}\]
On suppose dans cette partie uniquement
que \(a=3\) et on chercher à déterminer
un estimateur performant de \(b\).
Ainsi, la variable aléatoire \(X\)
admet pour densité la fonction \(f\)
définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)
= \begin{cases}
\hfill 0 \hfill &\text{si } x<b \\
\dfrac{3b^3}{x^{4}} &\text{si } x\geqslant b \rule[0pt]{0pt}{20pt}
\end{cases}\]
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et
\(X_1\), \(\ldots\), \(X_n\) des variables aléatoires
indépendantes, toutes de même loi que \(X\).
On définit : \[Y_n = \min(X_1, \ldots, X_n)
\qquad \text{et} \qquad Z_n =
\dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}\] On admet que \(Y_n\) et \(Z_n\) sont encore des variables aléatoires
définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Calculer, pour tout \(x\) de \([b, +\infty[\), \(\mathbb{P}( Y_n >x )\).
En déduire que \(Y_n\) suit une loi de Pareto dont on précisera les paramètres.
Montrer que \(Y_n' = \dfrac{3n-1}{3n} \, Y_n\) est un estimateur de \(b\).
Calculer l’espérance et la variance de cet estimateur.
Déterminer l’espérance et la variance de \(Z_n\).
En déduire un estimateur noté \(Z_n'\) de \(b\) tel que \(\mathbb{E}(Z_n') = b\) et de la forme \(\alpha \, Z_n\) où \(\alpha\) est un réel à préciser.
Calculer la variance de cet estimateur.
Entre \(Y_n'\) et \(Z_n'\), quel estimateur choisir ? Justifier votre choix.
On suppose dans cette partie uniquement que \(b=1\) et on cherche à construire un intervalle de confiance pour \(a\).
Ainsi, la variable aléatoire \(X\) admet pour densité la fonction \(f\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x) = \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } x<1 \\ \dfrac{a}{x^{a+1}} &\text{si } x\geqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Soit \((X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi que \(X\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On pose : \(W_n = \ln(X_n)\).
Montrer que la variable aléatoire \(W_n\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
En déduire l’espérance et la variance de \(W_n\).
On définit, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[M_n = \dfrac{\ln(X_1) + \cdots + \ln(X_n)}{n} \qquad \text{et} \qquad T_n = \sqrt{n} \left( a \, M_n - 1 \right)\]
Justifier que la suite de variables aléatoires \((T_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
En déduire que l’intervalle \(\left[ \dfrac{\sqrt{n} - 2}{\sqrt{n} \, M_n} , \dfrac{\sqrt{n} +2}{\sqrt{n} \, M_n} \right]\) est un intervalle de confiance asymptotique pour \(a\) au niveau de confiance \(95\%\).
On admettra que \(\Phi(2) \geqslant 0,975\), où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
