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Le sujet est composé d’un unique problème formé de cinq parties, relativement indépendantes les unes des autres.
La partie \(A\) étudie des endomorphismes de polynômes. Cette partie est indépendante du reste du problème.
Les parties \(B\), \(C\) et \(D\) étudient un opérateur fonctionnel. Certains résultats de la partie \(B\) seront utilisés dans les parties \(C\) et \(D.\)
Enfin, la partie \(E\) étudie un analogue discret de cet opérateur manipulant les notions de suites et séries. Cette partie est indépendante du reste du problème.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbb{R}_n[x]\) l’espace vectoriel des polynômes (ou fonctions polynômiales) à coefficients réels de degré inférieurs ou égal à \(n\). On convient de noter, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(X^k\) le polynôme \(x\mapsto x^k\) et et \({\cal B}=(1,X,...,X^n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Dans toute cette partie, \(a\) désigne un réel quelconque.
Pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\), on pose : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Psi_a(P)(x)=2P(x)+ \left( x-a \right) P'(x)\]
Pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\), on définit également la fonction \(\Phi_a(P)\) sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Phi_a(P)(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{(x-a)^2}\int_a^x \left( t-a \right) P(t) \,\mathrm{d}t& \text{si } x\neq a \displaystyle \\ \hfill \dfrac{P(a)}{2} \hfill & \text{si } x = a \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\] Enfin on définit, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\) le polynôme \(Q_k\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ Q_k(x)=(x-a)^k\]
Montrer que l’application \(\Psi_a:P\mapsto \Psi_a(P)\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x].\)
Déterminer la matrice de \(\Psi_a\) dans la base \({\cal B}\) de \(\mathbb{R}_n[x].\)
Montrer que \(\Psi_a\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
Justifier que \(\Psi_a\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_n[x].\)
Calculer, pour tout \(k\) de \([\![0,n]\!], \Psi_a(Q_k).\)
En déduire une base de chacun des sous-espaces propres de \(\Psi_a.\)
Pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\), exprimer la dérivée de la fonction \(x \mapsto (x-a)^2 P(x)\) en fonction de \(\Psi_a(P)\).
En déduire, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) : \(\Phi_a( \Psi_a(P))=P.\)
Prouver alors que \(\Phi_a:P\mapsto \Phi_a(P)\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\) et que \(\Phi_a^{-1}=\Psi_a.\)
Montrer que \(\Phi_a\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
Dans la suite du problème, on fixe \(a=0\) et on prolonge l’application \(\Phi_0\) précédente à l’ensemble des fonctions définies et continues sur \(\mathbb{R}\), que l’on note plus simplement \(\Phi.\)
On considère \(f\) une fonction définie et continue sur \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}.\)
On définit la fonction \(\Phi(f)\) sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Phi(f)(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x^2} \int_0^x tf(t) \, \mathrm{d}t& \text{ si } x\ne 0 \\ \displaystyle \hfill \frac{f(0)}{2} \hfill & \text{ si } x = 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
On pose, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \(h(x)= \displaystyle \int_0^x tf(t) \,\mathrm{d}t\).
Justifier que la fonction \(h\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(h'(x)\).
Soit \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\). Justifier qu’il existe deux réels \(\alpha_x\) et \(\beta_x\) appartenant à \([0,x]\) tels que : \[f (\alpha_x ) \int_0^x t \,\mathrm{d}t\leqslant \int_0^x tf(t) \,\mathrm{d}t\leqslant f (\beta_x ) \int_0^x t \,\mathrm{d}t\]
En déduire : \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.\)
Montrer que l’on a aussi : \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.\)
Montrer que la fonction \(\Phi(f)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et sur \(\mathbb{R}_-^\ast\) et que l’on a : \[\forall x\in \mathbb{R}^\ast, \ (\Phi(f) )'(x)=\frac1x \left[ f(x)-2 \, \Phi(f)(x)\right]\]
Montrer que, si \(f\) est une fonction paire (respectivement impaire), alors \(\Phi(f)\) est encore une fonction paire (respectivement impaire).
Montrer que, si \(f\) est une fonction positive, alors \(\Phi(f)\) est encore une fonction positive.
On admet le résultat suivant : \[\text{ si } \lim_{+\infty}f=0,\ \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=0\]
Soit \(\ell\in\mathbb{R}.\) En utilisant \(\Phi(g)\) où \(g:x\mapsto f(x)-\ell,\) montrer : \[\text{ si } \lim_{+\infty}f=\ell,\ \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}\]
Soit \(\ell\in\mathbb{R}.\) En utilisant \(\Phi(h)\) où \(h:x\mapsto f(-x),\) montrer : \[\text{ si } \lim_{-\infty}f=\ell,\ \text{ alors } \lim_{-\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}\]
Dans cette partie, on pourra utiliser des résultats de la partie B.
On considère \(F\) la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.
On pose \(G=2\, \Phi(F)\) ; ainsi, on a : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad G(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2}{x^2}\int_0^x tF(t) \,\mathrm{d}t& \text{ si } x\ne 0\\ \displaystyle \hfill F(0) \hfill & \text{ si } x = 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Montrer que : \[\forall x\in \mathbb{R}_+^\ast,\ 0\leqslant G(x)\leqslant F(x) \quad \text{et} \quad \forall x\in \mathbb{R}_-^\ast,\ 0\leqslant F(x)\leqslant G(x)\]
Justifier que \(G\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et sur \(\mathbb{R}_-^\ast\) et exprimer, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^*\), \(G'(x)\) à l’aide de \(x\), \(F(x)\) et \(G(x)\).
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ g(x)=\begin{cases} G'(x) & \text{si } x\ne 0 \\ \displaystyle \hfill 0 \hfill & \text{si } x = 0\end{cases}\]
Montrer que \(g\) est une densité de probabilité d’une variable aléatoire \(V\) puis que \(G\) est la fonction de répartition de \(V.\)
On définit la fonction \(h_1\) sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad h_1(x)=\begin{cases} \hfill 0 & \hfill \text{si } x\leqslant 0 \\\displaystyle 2 x\, \mathrm{e}^{-x^2}& \text{si } x > 0\end{cases}\]
Montrer que \(h_1\) est une densité de probabilité.
Soit \(X_1\) une variable aléatoire admettant \(h_1\) pour densité.
Montrer que \(X_1\) admet une espérance, notée \(\mathbb{E}(X_1),\) et que l’on a : \(\mathbb{E}(X_1)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\).
On note \(H_1\) la fonction de répartition de \(X_1\) et on pose \(H_2=2 \, \Phi(H_1).\) Montrer : \[\forall x\in\mathbb{R},\ H_2(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{si } x\leqslant 0 \\\displaystyle \displaystyle 1-\frac{1-\mathrm{e}^{-x^2}}{x^2}& \text{si } x > 0\end{cases}\]
D’après la fonction 11, \(H_2\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité que l’on note \(X_2.\) Déterminer une densité \(h_2\) de \(X_2,\) puis montrer que \(X_2\) admet une espérance (que l’on ne cherche pas à calculer).
On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions définies et continues sur \(\mathbb{R}^+\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et \(E_2\) l’ensemble des fonctions \(f\) de \(E\) telles que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \big(f(x)\big)^2 \, \,\mathrm{d}x\) converge. Pour toute fonction \(f\) de \(E\), on note toujours \(\Phi(f)\) la fonction définie dans cette partie sur \(\mathbb{R}^+\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ \Phi(f)(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x^2}\int_0^x tf(t) \,\mathrm{d}t& \text{si } x> 0 \\ \displaystyle \hfill f(0) \hfill & \text{si } x = 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Justifier : \(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2, \; \vert xy\vert \leqslant \frac12\big(x^2+y^2\big).\)
En déduire que, pour toutes fonctions \(f\) et \(g\) de \(E_2,\) l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \, g(x)\,\mathrm{d}x\) est absolument convergente.
Montrer alors que \(E_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E.\)
On considère l’application \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) de \(E_2\times E_2\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall (f,g)\in E_2\times E_2, \left \langle f, g \right \rangle = \int_0^{+\infty} f(x) \, g(x) \,\mathrm{d}x\]
Montrer que \(\langle\cdot , \cdot \rangle\) est un produit scalaire de \(E_2.\)
On munit \(E_2\) de ce produit scalaire et de la norme associée \(\left\| \cdot \right\|\).
Soit \(f\) une fonction de \(E_2\). On note, comme dans la partie B, pour tout \(x \in \mathbb{R}^+\) : \(h(x)= \displaystyle \int_0^{x} tf(t) \,\mathrm{d}t\).
Calculer les limites de \(x\mapsto \displaystyle \frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}\) et de \(x\mapsto \displaystyle \frac{\big(h(x)\big)^2}{x^3}\) en 0.
Montrer, à l’aide d’une intégration par parties : \[\forall X>0, \ \int_0^{X}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{3} \times \frac{\big(h(X)\big)^2}{X^3} +\frac23\int_0^{X}f(x) \, \Phi(f)(x)\,\mathrm{d}x\]
Soit \(X>0.\) En étudiant le signe de la fonction polynomiale \(\lambda \mapsto \displaystyle \int_0^{X}\big(\lambda f(x)+\Phi(f)(x)\big)^2\,\mathrm{d}x,\) montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz suivante : \[\int_0^{X}f(x) \, \Phi(f)(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\,\mathrm{d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\,\mathrm{d}x\right)^{1/2}\]
En déduire : \(\displaystyle \forall X>0, \ \left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\,\mathrm{d}x\right)^{1/2}\leqslant \frac23\left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\,\mathrm{d}x\right)^{1/2}\)
Montrer alors que la fonction \(\Phi(f)\) appartient à \(E_2\) et que l’on a : \(\left\| \Phi(f) \right\| \displaystyle\leqslant \frac23 \, \left\| f \right\|\).
En utilisant la relation de la question 16b, justifier que la limite de \(X\mapsto X\big(\Phi(f)(X)\Big)^2\) en \(+\infty\) est finie, puis en raisonnant par l’absurde, montrer que cette limite est nulle.
En déduire : \(\left\| \Phi(f) \right\|^2 = \displaystyle \frac23 \,\left \langle \Phi(f), f \right \rangle\).
Dans cette partie, indépendante des précédentes, on étudie un analogue discret de l’application \(\Phi\) étudiée précédemment.
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) une suite réelle positive. On définit la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) par : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ v_n=\frac{1}{n(n+1)}\sum\limits_{k=1}^nku_k\]
On suppose que l’on dispose d’une fonction en langage Python
d’en-tête def u(n) qui prend en argument un
entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et qui renvoie la valeur de
\(u_n\).
Écrire une fonction Python d’en-tête
def v(n) qui prend en argument un entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et qui renvoie la valeur de
\(v_n\) en utilisant la fonction
u précédente.
On suppose dans cette question uniquement que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) est décroissante.
Justifier que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge.
Pour différentes suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) décroissantes,
on a représenté ci-dessous, en utilisant les fonctions
u et v, les premiers
termes des suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) avec le symbole
\(\times\) et ceux de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) avec le symbole
\(\oplus\). À la vue des graphes
obtenus, quelles conjectures peut-on faire sur la monotonie, la
convergence et la valeur de la limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) en fonction de
celle de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) ?
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ v_n\geqslant \displaystyle \frac{u_n}{2} \quad \text{et} \quad v_{2n}\leqslant \displaystyle \frac{n+1}{2(2n+1)} \, v_n+\frac{3n+1}{4 \left( 2n+1 \right)} \, u_{n+1}\]
Prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left( n+2 \right) v_{n+1}=nv_n+u_{n+1}\] puis que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ v_{n+1}-v_n=\displaystyle \frac1n \left( u_{n+1}-2v_{n+1} \right)\]
Démontrer toutes les conjectures faites à la question 18b.
On suppose dans cette question uniquement que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1} u_n\) converge.
Montrer que : \[\forall N\in\mathbb{N}^*,\ \sum\limits_{n= 1}^N v_n=\sum\limits_{k=1}^N u_k-Nv_N\]
En déduire que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1} v_n\) converge.
Montrer ensuite que \(Nv_N\) tend vers une limite finie lorsque l’entier \(N\) tend vers \(+\infty\), puis en raisonnant par l’absurde, montrer que cette limite est nulle.
En déduire : \[\sum\limits_{n= 1}^{+\infty} v_n=\sum\limits_{n= 1}^{+\infty} u_n\]
On considère dans cette question une variable aléatoire \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*.\)
Justifier qu’il existe une variable aléatoire \(Z,\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*,\) telle que : \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(Z=n)=\frac{1}{n(n+1)} \sum\limits_{k=1}^n k \, \mathbb{P}(Y=k)\]
On suppose dans cette question que \(Y\) admet une espérance, notée \(\mathbb{E}(Y).\) Montrer que : \[\mathbb{P}(Z=n)\underset{n\to+\infty}{\sim} \displaystyle \frac{\mathbb{E}(Y)}{n^2}\]
La variable aléatoire \(Z\) admet-elle une espérance ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
