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Dans ce problème, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soient \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires à densité indépendantes, de densités respectives \(f_U\) et \(f_V\), et de fonctions de répartition respectives \(F_U\) et \(F_V\).
On suppose que les fonctions \(f_U\) et \(f_V\) sont nulles sur \(]-\infty ,0[\) et continues sur \([0,+\infty[\).
Justifier que : \(\forall t\in [0 , +\infty[,\ 0\leqslant F_U(t) \, f_V(t) \leqslant f_V(t)\).
En déduire que l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}{F_U(t) \, f_V(t) \,\mathrm{d}t}}\) converge.
On admet le résultat suivant : \[\int_0^{+\infty}{F_U(t) \,f_V(t) \,\mathrm{d}t} = \mathbb{P}( U\leqslant V)\]
En déduire : \(\mathbb{P}( U> V ) = \displaystyle{\int_0^{+\infty} \left[ 1-F_U(t) \right] f_V(t) \,\mathrm{d}t}\).
Exemple. Soit \(\lambda , \mu\in \mathbb{R}_+^\ast\). On suppose dans cette question que \(U\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) et que \(V\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\mu\).
Rappeler, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}^+\), une expression de \(F_U(t)\) et de \(f_V(t)\).
En déduire : \(\mathbb{P}( U > V ) = \cfrac{\mu}{\lambda +\mu}\).
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}_+^\ast\). On considère \((T_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
On définit ensuite la variable \(N\) égale au plus petit entier \(k\) de \(\mathbb{N}^*\) tel que \(T_k\leqslant T_0\) si un tel entier existe et égale à \(0\) sinon.
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On définit la variable aléatoire \(M_n\) par : \(M_n = \min (T_1,\ldots, T_n)\).
Calculer, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}^+\), \(\mathbb{P}( M_n > t )\).
En déduire la fonction de répartition de \(M_n\) sur \(\mathbb{R}\).
Reconnaître la loi de \(M_n\) et préciser son(ses) paramètre(s).
Montrer que : \(\mathbb{P}( N=1 ) =\mathbb{P}( T_1\leqslant T_0 ) =\cfrac{1}{2}\).
Justifier que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\ [M_n > T_0] = [N> n] \cup [N=0]\).
En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), une expression de \(\mathbb{P}( N>n )\) en fonction de \(n\) et de \(\mathbb{P}(N=0)\).
Montrer alors que : \(\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\},\ \mathbb{P}( N= n ) =\cfrac{1}{n(n+1)}\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}( N = 0 )\).
La variable aléatoire \(N\) admet-elle une espérance?
On rappelle que deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) sont dites semblables lorsqu’il existe une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) inversible telle que : \(B = P^{-1}AP\).
L’objectif de cet exercice est d’étudier des exemples de matrices inversibles qui sont semblables à leur inverse. Les trois parties de cet exercice sont indépendantes entre elles.
On considère la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\).
Justifier que \(A\) est inversible et diagonalisable.
Déterminer une matrice \(D\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) diagonale dont les coefficients diagonaux sont rangés dans l’ordre croissant, et une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) inversible, telles que \(A = PDP^{-1}\).
Expliciter la matrice \(D^{-1}\).
On note \(Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Calculer \(Q^2\) et \(QDQ\).
En déduire que les matrices \(A\) et \(A^{-1}\) sont semblables.
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) défini par : \[\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\ f(x,y,z) = (x,-z,y+2z)\]
On note \(M\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et on considère les vecteurs \(u_1\) et \(u_2\) de \(\mathbb{R}^3\) dont les colonnes des coordonnées dans la base canonique sont : \[U_1 =\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad U_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]
Expliciter la matrice \(M\) et montrer que \(M\) est inversible.
Vérifier que \(1\) est valeur propre de \(M\) et que \((U_1,U_2)\) est une base du sous-espace propre associé.
Déterminer un vecteur \(u_3\) de \(\mathbb{R}^3\) tel que : \(f(u_3)-u_3=u_2\). On note \(U_3\) la colonne des coordonnées de \(u_3\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).
Montrer que la famille \(\mathcal{B}_1= (u_1,u_2,u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). La famille \(\mathcal{B}_2=(u_1,-u_2,u_3)\) est donc aussi une base de \(\mathbb{R}^3\).
Écrire la matrice \(M_1\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_1\) et la matrice \(M_2\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_2\).
Calculer \(M_1M_2\).
En déduire que \(M\) et \(M^{-1}\) sont semblables.
On considère la matrice \(T\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et on pose : \(N = T-I_3\).
Justifier que la matrice \(T\) est inversible. Est-elle diagonalisable?
Calculer \(N^3\) et \((I_3+N)(I_3-N+N^2)\).
En déduire une expression de \(T^{-1}\) en fonction de \(I_3,N\) et \(N^2\).
On note \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(N\).
Justifier qu’il existe un vecteur \(u\) de \(\mathbb{R}^3\) tel que \(g\circ g(u)\neq 0\) et \(g\circ g\circ g (u) = 0\).
Montrer que la famille \(\mathcal{B}_3 = (g\circ g(u), g(u),u )\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Écrire la matrice de \(g\) dans la base \(\mathcal{B}_3\).
Calculer \(N^2-N\) et en déduire que les matrices \(N\) et \(N^2-N\) sont semblables.
Montrer que les matrices \(T\) et \(T^{-1}\) sont semblables.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(t) =t + \cfrac{1}{t}\]
Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Dresser le tableau des variations de \(f\) en précisant les limites en \(0\) et en \(+\infty\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([1,+\infty[\) sur \([2,+\infty[\).
On note \(g : [2,+\infty[\rightarrow [1,+\infty[\) la bijection réciproque de la restriction de \(f\) à \([1,+\infty[\).
Dresser le tableau de variations de \(g\).
Justifier que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]2,+\infty[\).
Soit \(y\in [2,+\infty[\). En se ramenant à une équation du second degré, résoudre l’équation \(f(t) = y\) d’inconnue \(t\in \mathbb{R}_+^\ast\). En déduire une expression de \(g(y)\) en fonction de \(y\).
On considère la fonction \(h\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur l’ouvert \(U =\mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}_+^\ast\) définie par :
\[\forall (x,y)\in U,\, h(x,y) = \left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)(1+x)(1+y)\]
Calculer les dérivées partielles d’ordre \(1\) de \(h\) en tout \((x,y)\in U\).
Soit \((x,y)\in U\). Montrer que \((x,y)\) est un point critique de \(h\) si et seulement si \(\begin{cases} y = x^2 \\ x =y^2 \end{cases}.\)
En déduire que \(h\) admet un unique point critique sur \(U\) dont on précisera les coordonnées \((a,b)\).
Vérifier : \(\forall (x,y)\in U,\, h(x,y) =2+f(x) +f(y)+f\! \left(\cfrac{x}{y}\right)\).
En déduire que \(h\) admet en \((a,b)\) un minimum global sur \(U\).
On introduit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) définie par : \[u_1 = 1 \quad \text{et} \quad \forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_{n+1} = u_n + \cfrac{1}{n^2u_n} = \cfrac{1}{n} \, f(nu_n)\]
Montrer, que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(u_n\) existe et que : \(u_n \geqslant 1\).
Recopier et compléter les lignes \(3\) et \(4\) de la fonction Python suivante afin que, prenant en argument un entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), elle renvoie la valeur de \(u_n\).
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(v_n = u_{n+1}-u_n\).
Montrer : \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\ 0\leqslant v_n \leqslant \cfrac{1}{n^2}\).
En déduire la nature de la série \(\sum\limits_{n\geqslant 1} v_n\).
Calculer, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), \(\sum\limits_{k = 1}^{n-1}{v_k}\).
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge vers un réel \(\ell\), que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Montrer que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(2\), on a : \(\cfrac{1}{k^2}~\leqslant ~ \displaystyle{\int_{k-1}^{k}\cfrac{\mathrm{d}t}{t^2}}\).
Pour tous entiers \(n\) et \(p\) tels que \(2\leqslant p < n\), calculer \(\sum\limits_{k=p}^{n-1}{v_k}\) et en déduire : \[0\leqslant u_n-u_p \leqslant \int_{p-1}^{n-1}\cfrac{\mathrm{d}t}{t^2}.\]
En déduire, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\) : \(u_2\leqslant u_n \leqslant 1+u_2\).
Montrer alors que \(\ell\) appartient à l’intervalle \([2, 3]\).
Montrer, pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à \(2\) : \[0\leqslant \ell -u_p \leqslant \cfrac{1}{p-1}\]
En déduire une fonction Python qui renvoie une valeur approchée de \(\ell\) à \(10^{-4}\) près.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
