EML 2018Maths approfondies

Problème 1

On définit la fonction d’une variable \(x\) par : \[I(x) = \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{xt} + \mathrm{e}^{-xt}}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t\]

Partie I : Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), on pose : \[W_k = \int_0^\frac{\pi}{2} \left[ \sin(u) \right]^k \mathrm{d}u\]

1. Calculer \(W_0\) et \(W_1\).

2. 1. Soit \(k\in\mathbb{N}\). À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[W_k - W_{k+2} = \frac{W_{k+2}}{k+1}\]

   2. En déduire : \[\forall k\in\mathbb{N},\ W_{2k} = \frac{(2k)!}{2^{2k} \left( k! \right)^2} \times \frac{\pi}{2}\]

Partie II : Une autre expression de \(I(x)\)

3. Soit \(k\in\mathbb{N}\). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^k}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t\) converge et est égale à \(W_k\). On pourra utiliser le changement de variable \(t=\sin(u)\) après avoir justifié sa validité.

4. 1. Montrer que la fonction \(I\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\) et préciser sa parité.

   2. Donner la valeur de \(I(0)\).

5. Soit \(x\in\mathbb{R}^+\).

   1. Soit \(t\in[0,1]\) et \(n\in\mathbb{N}\). En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre \(2n\) à la fonction \(u\mapsto \mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u}\) entre \(0\) et \(xt\), montrer : \[\left| \mathrm{e}^{xt} + \mathrm{e}^{-xt} - \sum_{k=0}^n \frac{2 \left( xt \right)^{2k}}{(2k)!} \right| \leqslant \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,\mathrm{e}^x\]

   2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \[\left| I(x) - \sum_{k=0}^n \frac{2 x^{2k}}{(2k)!} \, W_{2k} \right| \leqslant \frac{x^{2n+1} \pi}{2\left( 2n+1 \right)!}\,\mathrm{e}^x\]

   3. En déduire que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0} \frac{x^{2k}}{2^{2k} \left( k! \right)^2}\) converge et que l’on a : \[\sum_{k =0}^{+\infty}\frac{x^{2k}}{2^{2k} \left( k! \right)^2} = \frac{I(x)}{\pi}\]

Partie III : Équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \({+\infty}\)

6. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}^+\) : \[0 \leqslant \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-xt}}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t\leqslant \frac{\pi}{2}\]

7. 1. Montrer que : \[\forall v\in \left[ 0,\dfrac{1}{2} \right],\ 1 \leqslant \frac{1}{1-v} \leqslant (1+v)^2\]

   2. Soit \(x\in\mathbb{R}^+\). À l’aide du changement de variable \(u=1-t\), montrer que : \[\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{xt}}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t= \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u} \sqrt{1- \frac{u}{2}}}\,\mathrm{d}u\]

   3. En déduire, pour tout \(x\in\mathbb{R}^+\) : \[\frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u} }\,\mathrm{d}u\leqslant \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{xt}}{\sqrt{1-t^2}} \,\mathrm{d}t\leqslant \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u} }\,\mathrm{d}u+ \frac{\mathrm{e}^x}{2\sqrt{2}} \int_0^1 \mathrm{e}^{-xu} \sqrt{u} \,\mathrm{d}u\]

8. 1. Rappeler l’expression d’une densité de la loi normale d’espérance nulle et de variance \(\frac{1}{2}\).

      En déduire les convergences et les valeurs des intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^2 \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\).

   2. Soit \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\). À l’aide du changement de variable \(t=\sqrt{xu}\), montrer : \[\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-xu}}{\sqrt{u} }\,\mathrm{d}u\;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\sqrt{\frac{\pi}{x}} \quad\text{et}\quad\int_0^1 \mathrm{e}^{-xu} \sqrt{u} \,\mathrm{d}u\;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\frac{1}{2x} \sqrt{\frac{\pi}{x}}\]

9. En déduire : \[I(x) \;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\mathrm{e}^x \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\]

Partie IV : Une application en probabilités

Dans cette partie, \(\lambda\) désigne un réel strictement positif.
On considère deux variables aléatoires indépendantes \(X\) et \(Y\) définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
On s’intéresse à la probabilité de l’événement \([X=Y]\).

10. 1. Écrire une fonction Python d’en-tête def estime(Lambda) qui, prenant en argument un réel Lambda strictement positif, simule un grand nombre de fois les variables aléatoires \(X\) et \(Y\), et renvoie une estimation de \(\mathbb{P}( X=Y )\).

       On rappelle que l’instruction rd.poisson(Lambda) (supposant l’import de la bibliothèque numpy.random avec le préfixe rd) simule la loi de Poisson de paramètre Lambda.

    2. Grâce à la fonction précédente, on trace, en fonction de \(\lambda\), une estimation de \(\sqrt{\pi\lambda} \, \mathbb{P}(X=Y )\) pour \(\lambda\in \left]0,20 \right]\) et on obtient le graphe suivant :

       À la vue de ce graphe, proposer un équivalent de \(\mathbb{P}( X=Y )\) lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

11. Montrer : \(\mathbb{P}( X=Y )=\mathrm{e}^{-2\lambda}\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{2k}}{(k!)^{2}}\).

12. 1. Exprimer \(\mathbb{P}( X=Y )\) en fonction de \(\lambda\) et de la fonction \(I\).

    2. En déduire un équivalent de \(\mathbb{P}(X=Y)\) lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

Problème 2

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On note \(\mathcal{B}=(e_0,e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(E=\mathbb{R}_n[x]\) et \(\varphi\) l’application définie sur \(\mathbb{R}_n[x]\) par : \[\forall P \in \mathbb{R}_n[x],\ \varphi(P) = Q \quad \text{où :} \quad Q(x) = \frac{1}{n}\, x \left( 1-x \right) P'(x) + xP(x)\]

Partie I : Étude d’un endomorphisme de polynômes

1. 1. Montrer que \(\varphi\) est une application linéaire.

   2. Calculer \(\varphi(e_n)\).

   3. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

2. Déterminer la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal{B}\). Préciser le rang de cette matrice.

3. 1. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il injectif ? Justifier la réponse.

   2. Soit \(P\) un polynôme non nul de \(\mathrm{Ker}(\varphi)\). Montrer que \(1\) est l’unique racine de \(P\) et que \(P\) est de degré \(n\).

   3. En déduire une base de \(\mathrm{Ker}(\varphi)\).

4. Montrer que \(\varphi\) est diagonalisable.

5. On pose, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(\forall x\in\mathbb{R},\ P_k(x) =x^k \left( 1-x \right)^{n-k}\).

   1. Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), calculer \(\varphi(P_k)\).

   2. Montrer que la famille \((P_0,P_1,\dots,P_n)\) est une base de \(E\) et expliciter la matrice de \(\varphi\) dans cette base.

   3. Déterminer les sous-espaces propres de \(\varphi\).

Partie II : Étude d’une suite de variables aléatoires

On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\), indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite de tirages avec remise, et on suppose que l’expérience est modélisée par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

On note alors, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(Y_{k}\) la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de numéros distincts qui ont été tirés lors des \(k\) premiers tirages.

Par convention, on pose : \(Y_{0}=0\).

6. On note, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(Z_{k}\) la variable aléatoire prenant la valeur \(1\) si le \(k\)-ième tirage amène un numéro qui n’a pas été tiré lors des tirages précédents, et prenant la valeur \(0\) sinon.

   On pourra remarquer que, en particulier, \(Z_{1}=1\).

   1. Déterminer la loi de \(Z_{2}\).

   2. Soit \(k\in\mathbb{N}^{*}\). Calculer, pour tout \(j\) de \(\left[\!\left[1,k\right]\!\right]\), la valeur de \(\mathbb{P}_{[Y_{k}=j]}( Z_{k+1}=1 )\).

      En déduire : \(\mathbb{P}( Z_{k+1}=1 )=1-\dfrac{1}{n} \, \mathbb{E}(Y_{k})\).

   3. Soit \(k\in\mathbb{N}^{*}\). En remarquant que \(Y_{k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}Z_{j}\), montrer : \[\mathbb{P}( Z_{k+1}=1 )=1-\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{k }\mathbb{P}( Z_{j}=1)\]

   4. En déduire, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\) : \(\mathbb{P}( Z_{k}=1 )=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{k-1}\).

   5. Déterminer alors, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), l’espérance de \(Y_{k}\).

7. On note, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), \(G_{k}\) le polynôme de \(\mathbb{R}_{n}[x]\) défini par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ G_{k}(x) =\sum_{i=0}^{n}\mathbb{P}( Y_{k}=i ) \, x^{i}\]

   1. Déterminer les polynômes \(G_{0}\), \(G_{1}\) et \(G_{2}\).

   2. Montrer, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) et tout \(i\) de \(\left[\!\left[0,n\right]\!\right]\) : \[\mathbb{P}( Y_{k+1}=i )=\dfrac{i}{n} \, \mathbb{P}( Y_{k}=i )+\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\mathbb{P}( Y_{k}=i-1)\]

   3. Montrer, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ G_{k+1}(x) =\dfrac{1}{n} \, x \left( 1- x \right)G'_{k}(x) + x \,G_{k}(x)\]

   4. En déduire, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) : \[G_{k}=\varphi^{k}(G_{0})\]

8. 1. Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), calculer \(G_{k}(1)\) et \(G'_{k}(1)\).

   2. En déduire, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) : \[\mathbb{E}(Y_{k+1})=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\mathbb{E}(Y_{k})+1\]

   3. Retrouver alors, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), l’expression de \(\mathbb{E}(Y_{k})\) obtenue en question 6.e).

9. On rappelle que les polynômes \(P_{0},\ldots,P_{n}\) sont définis à la question 5. par : \[\forall j \in \left[\!\left[0,n\right]\!\right],\ \forall x\in\mathbb{R},\ P_{j}(x) =x^{j} \left( 1-x \right)^{n-j}\]

   1. Calculer \(\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}P_{j}(x)\) pour tout réel \(x\)..

   2. Montrer, pour tout \(j\) de \(\left[\!\left[0,n\right]\!\right]\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{j}(x) =\sum_{i=j}^{n}\dbinom{n-j}{i-j}(-1)^{i-j}x^{i}\]

   3. En déduire, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \varphi^{k}(G_{0})(x) =\sum_{i=0}^{n}\left[ \sum_{j=0}^{i}\dbinom{n}{j}\dbinom{n-j}{i-j}\left(\dfrac{j}{n}\right)^{k}(-1)^{i-j}\right] x^{i}\]

   4. Montrer finalement, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) et pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[0,n\right]\!\right]\) : \[\mathbb{P}( Y_{k}=i )=\dbinom{n}{i}\sum_{j=0}^{i}\dbinom{i}{j}(-1)^{i-j}\left(\dfrac{j}{n}\right)^{k}\]