Connectez-vous pour consulter le corrigé.
On note \(\mathcal{B} = (e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(A\) donnée par : \[A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -5 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
On considère également l’endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^3\) défini par : \[\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \ g(x,y,z) = (x+y-z,2y, -x+y+z).\]
Enfin, on pose : \[u = e_1 - e_2 = (1,-1,0) \quad\text{et}\quad v = f(e_1) + e_1.\]
Calculer \(v\).
Montrer que la famille \(\mathcal{C} = (u,v,e_1)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
On note \(P\) la matrice de
passage de la base \(\mathcal{B}\) à la
base \(\mathcal{C}\).
Expliciter la matrice \(P\) et calculer
\(P^{-1}\).
Déterminer la matrice \(A'\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{C}\).
Quelles sont les valeurs propres de \(A'\) ?
L’endomorphisme \(f\) est-il bijectif ?
Expliciter, sans justification, le lien entre les matrices \(A\), \(A'\), \(P\) et \(P^{-1}\).
Déterminer la matrice \(B\) de \(g\) dans la base \(\mathcal{B}\).
Montrer : \(B^2 = 2B\).
En déduire les valeurs propres de \(g\), ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.
L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?
On pose : \(\mathcal{E} = \{M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\ BM = MA \}\).
Montrer que \(\mathcal{E}\) est un espace vectoriel.
Soit \(M\) une matrice appartenant à \(\mathcal{E}\). Montrer que \(M\) n’est pas inversible. (On pourra raisonner par l’absurde).
On cherche à montrer que \(\mathcal{E}\) n’est pas réduit à l’ensemble \(\{ 0\}\).
Justifier que, pour tout réel \(\lambda\), les matrices \(A - \lambda I_3\) et \({}^t\!A-\lambda I_3\) ont même rang, la matrice \(I_3\) désignant la matrice identité de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).
En déduire que les matrices \(B\) et \({}^t\!A\) admettent une valeur propre en commun, notée \(\alpha\).
Soient \(X\) un vecteur propre
de \(B\) associé à la valeur propre
\(\alpha\), et \(Y\) un vecteur propre de \({}^t\!A\) associé à la valeur propre \(\alpha\). On note : \(N = X \,{}^t\!\,Y\).
Montrer que la matrice \(N\) est non
nulle et que \(N\) appartient à \(\mathcal{E}\).
En déduire : \(\dim (\mathcal{E}) \geqslant 2\).
Dans tout cet exercice, \(f\) désigne la fonction définie sur \(\left] 0 ,+\infty \right[\) par : \[\forall x \in \left] 0 ,+\infty \right[, \ f(x)=x-\ln (x)\]
Dresser le tableau de variations de \(f\) en précisant ses limites en 0 et en \(+\infty\).
Montrer que l’équation \(f(x)=2\), d’inconnue \(x \in \left] 0 ,+\infty \right[\), admet exactement deux solutions, que l’on note \(a\) et \(b\), telles que \(0<a<1<b\).
Montrer : \(b \in[2 , 4]\). On donne \(\ln (2) \simeq 0,7\).
On pose : \[u_0=4 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=\ln (u_n )+2\]
Montrer que la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est bien définie et que l’on a : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_n \in[b ,+\infty[\).
Déterminer la monotonie de la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\). En déduire qu’elle converge et préciser sa limite.
Montrer: \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}-b \leqslant \frac{1}{2}\left(u_n-b\right)\).
En déduire : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant u_n-b \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}\).
Écrire une fonction Python d’en-tête
function def suite(n) qui, prenant en argument
un entier \(n\) de \(\mathbb{N}\), renvoie la valeur de \(u_n\).
Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction
Python suivante afin que, prenant en argument
un réel epsilon strictement positif, elle renvoie une valeur approchée
de \(b\) à
epsilon près :
On note \(\Phi\) la fonction donnée par :
\[\Phi(x)=\int_x^{2 x} \frac{1}{f(t)}\,\mathrm{d}t\]
Montrer que \(\Phi\) est bien définie et dérivable sur \(\left] 0 ,+\infty \right[\), et que l’on a : \[\forall x \in \left] 0 ,+\infty\right[, \ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\ln (2)-\ln (x)}{(x-\ln (x))(2 x-\ln (2 x))}\]
En déduire les variations de \(\Phi\) sur \(\left] 0 ,+\infty \right[\).
Montrer: \(\forall x \in \left] 0 ,+\infty \right[, \ 0 \leqslant \Phi(x) \leqslant x\).
Montrer que \(\Phi\) est prolongeable par continuité en 0. On note encore \(\Phi\) la fonction ainsi prolongée. Préciser alors \(\Phi(0)\).
Montrer : \(\lim\limits _{x \rightarrow 0} \Phi^{\prime}(x)=0\). On admet que la fonction \(\Phi\) est alors dérivable en 0 et que \(\Phi^{\prime}(0)=0\).
On donne \(\Phi(2) \simeq 1,1\) et on admet que \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \Phi(x)=\ln (2) \simeq 0,7\). Tracer l’allure de la courbe représentative de \(\Phi\) ainsi que la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
On considère la fonction \(H\) de classe \(\mathcal C^2\) sur l’ouvert \(U=\left] 0 , +\infty \right[ \times \mathbb{R}\) définie par : \[\forall(x, y) \in U, \ H(x, y)=\frac{x^2}{2}-x y-2 x+\mathrm{e}^y\]
Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de \(H\) en tout \((x, y)\) de \(U\).
Montrer que la fonction \(H\) admet exactement deux points critiques : \((a, \ln (a))\) et \((b, \ln (b))\), où les réels \(a\) et \(b\) sont ceux introduits dans la question 2.
Écrire la matrice hessienne, notée \(M_a\), de \(H\) au point \((a, \ln (a))\).
Montrer que \(M_a\) admet deux valeurs propres distinctes, notées \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), vérifiant \[\begin{cases} \lambda_1+\lambda_2 =a+1 \\ \lambda_1 \lambda_2 =a-1 \end{cases}\]
La fonction \(H\) présente-t-elle un extremum local au point \((a, \ln (a))\) ?
La fonction \(H\) présente-t-elle un extremum local au point \((b, \ln (b))\) ?
On dispose d’une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité \(\dfrac 23\) et Face avec la probabilité \(\dfrac 13\).
On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoire \(X\) prenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l’obtention du deuxième Pile.
Décrire les événements \([X = 0]\), \([X=1]\), \([X=2]\) puis calculer leurs probabilités.
Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}( X=n ) = \left( n+1 \right) \dfrac{4}{3^{n+2}}\).
On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu’à l’obtention du deuxième Pile ; puis en fonction du nombre \(n\) de Face obtenus, on place \(n+1\) boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 à \(n\) et indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule dans cette urne.
On note toujours \(X\) la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on note \(U\) la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On pose \(V = X-U\).
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(U\).
Déterminer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), la loi conditionnelle de \(U\) sachant \([X = n]\).
En déduire, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) : \[\mathbb{P}(U=k)= \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{1}{n+1} \, \mathbb{P}( X=n ) \quad \textrm{puis} \quad \mathbb{P}(U=k)= \frac{2}{3^{k+1}}.\]
Montrer que \(U\) admet une espérance et une variance et les calculer.
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable \(V\).
Déterminer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), la loi conditionnelle de \(V\) sachant \([X=n]\).
En déduire la loi de \(V\).
Montrer que les variables aléatoires \(U\) et \(V\) sont indépendantes.
Que vaut \(\mathrm{Cov}(U,V)\) ? En déduire \(\mathrm{Cov}(X,U)\).
Dans cette partie, \(p\) désigne un réel de \(\left] 0, 1 \right[\).
Deux individus \(A\) et \(B\) s’affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes :
le joueur \(A\) dispose d’une pièce amenant Pile avec la probabilité \(\dfrac 23\) et lance cette pièce jusqu’à l’obtention du deuxième Pile ; on note \(X\) la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;
le joueur \(B\) dispose d’une autre pièce amenant Pile avec la probabilité \(p\) et lance cette pièce jusqu’à l’obtention d’un Pile ; on note \(Y\) la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;
Le joueur \(A\) gagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui de \(B\) ; sinon c’est le joueur \(B\) qui gagne.
On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueurs \(A\) et \(B\) ont la même probabilité de gagner.
Simulation informatique
Sous Python, on suppose avoir importé la
bibliothèque numpy.random à l’aide de la
commande import numpy.random as rd.
Écrire une fonction en langage Python
d’en-tête def simuleX() qui simule la variable
aléatoire \(X\).
On suppose que l’on dispose d’une fonction
simuleY qui, prenant en argument un réel \(p\) de \(\left]
0, 1 \right[\), simule la variable aléatoire \(Y\). Expliquer ce que renvoie la fonction
suivante :
On trace, en fonction de \(p\), une estimation de la probabilité que \(A\) gagne et on obtient le graphe suivant :
À la vue de ce graphe, conjecturer une valeur de \(p\) pour lequel le jeu serait équilibré.
Étude de la variable aléatoire \(Y\)
On note \(Z\) la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueur \(B\).
Reconnaître la loi de \(Z\) et préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.
Exprimer \(Y\) à l’aide de \(Z\) et en déduire l’existence de l’espérance et de la variance de \(Y\) et préciser leurs valeurs.
Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(Y \geqslant n) = (1-p)^n\).
Montrer : \(\mathbb{P}(X \leqslant Y) =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X = n) \, \mathbb{P}(Y \geqslant n)\).
Déduire des résultats précédents : \(\mathbb{P}(X \leqslant Y) = \dfrac{4}{(2+p)^2}\).
Déterminer la valeur de \(p\) pour laquelle le jeu est équilibré.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un joli sujet proposé par l'EML.