EML 2017Maths approfondies

Problème 1

Partie I : Étude d’un exemple

On considère la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\).

1. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Quel est son rang ?

2. Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ? La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ?

3. Déterminer une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), inversible, dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à \(1\), et une matrice \(D\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) diagonale, dont les coefficients diagonaux sont rangés dans l’ordre croissant, telles que : \(A=PDP^{-1}\).

Partie II : Étude d’un endomorphisme d’un espace de polynômes

Soit \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(n\geqslant 2\).

On note \(E=\mathbb{R}_n[X]\) l’espace vectoriel réel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à \(n\), et \(\mathscr B=(1,X,\dots,X^n)\) la base canonique de \(E\).

On note, pour tout \(P\) de \(E\), \(T(P) = \left( X \left( X-1\right) P'\right)'\), où l’accent désigne la dérivation.

Par exemple, si \(P=X^2\), alors \(P'=2X\) et donc : \[T(P)= \left( X \left( X-1\right) 2X\right)' = (2X^3-2X^2)'=6X^2-4X.\]

4. Montrer que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).

5. Calculer, pour tout \(k\) de \(\{0,\dots,n\}\), \(T(X^k)\). En déduire la matrice \(M\) de \(T\) dans la base \(\mathscr B\).

6. L’endomorphisme \(T\) est-il bijectif ? Quel est le rang de \(T\) ? Déterminer \(\mathrm{Ker}(T)\).

7. Quelles sont les valeurs propres de \(T\) ? L’endomorphisme \(T\) est-il diagonalisable ?

Partie III : Intervention d’un produit scalaire

On conserve les notations de la partie II.

On considère l’application \(\varphi: E^2 \to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall (P,Q)\in E^2, \ \varphi(P,Q)=\int_0^1 P(x)\,Q(x)\,\mathrm{d}x.\]

8. Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).

9. Démontrer que : \(\displaystyle\forall (P,Q)\in E^2, \ \varphi(T(P),Q) = -\int_0^1 x\left( x-1 \right) P'(x)\,Q'(x)\,\mathrm{d}x\).

10. En déduire que \(T\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) pour le produit scalaire \(\varphi\).

    Quel résultat de la partie II peut-on retrouver ainsi ?

11. 1. Établir : \(\forall P\in E,\ \varphi(T(P),P) \geqslant 0\).

    2. Déterminer l’ensemble des polynômes \(P\) de \(E\) tels que \(\varphi(T(P),P)=0\).

Partie IV : Retour sur l’exemple de la partie I

On conserve les notations des parties II et III et on suppose dans cette partie que \(n=2\).

12. Quelle est la matrice de \(T\) dans la base \(\mathscr B\) de \(E\) ?

13. En utilisant les résultats obtenus dans la question 3 de la partie I, déterminer une base orthonormale \(\mathscr C\) de \(E\) pour le produit scalaire \(\varphi\), formée de vecteurs propres de \(T\) associés aux valeurs propres de \(T\) dans l’ordre croissant.

14. Déterminer, par sa matrice dans la base \(\mathscr C\) de \(E\), un endomorphisme \(V\) de \(E\), symétrique pour le produit scalaire \(\varphi\), tel que : \[\begin{cases} V \circ V = T\\ \forall P\in E,\ \varphi(V(P),P) \geqslant 0 \end{cases}.\]

Problème 2

On définit la fonction réelle \(H\) d’une variable réelle \(x\) par : \(H(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^x}\).

Dans tout le problème, \(I\) désigne l’intervalle \(\left] \dfrac{1}{2},{+\infty}\right[\).

Partie I : Premières propriétés de la fonction \(H\)

1. Justifier que la fonction \(H\) est définie sur \(I\).

2. Montrer que \(H\) est décroissante sur \(I\).

3. 1. Calculer \(H(1)\).

   2. Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer, à l’aide d’une intégration par parties : \[H(n)= 2n\left( H(n) - H(n+1)\right).\] En déduire une expression de \(H(n+1)\) en fonction de \(n\) et de \(H(n)\).

   3. Écrire un programme Python qui, étant donné un entier \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), renvoie la valeur de \(H(n)\).

   4. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ H(n) = \displaystyle\frac{(2n-2)!\, \pi}{2^{2n-1}\left( (n-1)! \right)^2}\).

Partie II : Étude de \(H(x)\) lorsque \(x\) tend vers

4. 1. Montrer que la fonction \(\varphi : u\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}}{2}\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

      Préciser \(\varphi^{-1}(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to {+\infty}} \varphi^{-1}(t)\).

   2. À l’aide du changement de variable \(t=\varphi(u)\), montrer : \[\forall x\in I,\ H(x) = \frac{4^x}{2} \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}u}{(\mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u})^{2x-1}}.\]

5. 1. Justifier : \(\forall u \in [0,{+\infty}[,\ \mathrm{e}^u \leqslant\mathrm{e}^u + \mathrm{e}^{-u} \leqslant 2\, \mathrm{e}^u\).

   2. En déduire : \(\displaystyle\forall x\in I,\ \dfrac{1}{2x-1} \leqslant H(x) \leqslant \frac{4^x}{2 \left( 2x-1\right)}\).

6. Déterminer la limite de \(H\) en \(\dfrac{1}{2}\) et un équivalent simple de \(H(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\).

Partie III : Étude de \(H(x)\) lorsque \(x\) tend vers \({+\infty}\)

7. 1. Montrer : \(\forall u\in [0,1],\ \ln(1+u) \geqslant \dfrac{u}{2}\).

   2. À l’aide d’une loi normale bien choisie, montrer que, pour tout \(x\) de \(I\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{xt^2}{2}}\mathrm{d}t\) converge et calculer sa valeur.

   3. En déduire : \(\displaystyle\forall x\in I,\ 0 \leqslant \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^x} \leqslant\int_0^1 \mathrm{e}^{-\frac{xt^2}{2}}\mathrm{d}t\leqslant\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\).

   4. Montrer : \(\displaystyle\forall x\in I,\ 0 \leqslant \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^x} \leqslant \frac{1}{2x-1}\).

   5. En déduire la limite de \(H\) en \({+\infty}\).

8. On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), \(u_n=\displaystyle\ln\!\left( H(n)\right) + \frac{\ln(n)}{2}\).

   1. Déterminer un équivalent simple de \(u_{n+1}-u_n\) lorsque l’entier \(n\) tend vers \({+\infty}\).

      On pourra utiliser le résultat obtenu à la question 3b.

   2. Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \left( u_{n+1}-u_n\right)\) converge.

   3. En déduire l’existence d’un réel \(K\) strictement positif tel que : \[H(n) \displaystyle\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{K}{\sqrt{n}}.\]

9. Donner enfin un équivalent simple de \(H(x)\) lorsque le réel \(x\) tend vers \({+\infty}\) à l’aide de \(K\).

Partie IV : Étude d’une suite de variables aléatoires

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ f(t)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text{si } t<0\\ \dfrac{2}{\pi \left( 1+t^2 \right)} &\text{si } t\geqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}.\]

10. Montrer que \(f\) est une densité.

11. On considère une variable aléatoire réelle \(X\) à densité, de densité \(f\).

    1. Déterminer la fonction de répartition \(F_X\) de \(X\).

    2. La variable aléatoire \(X\) admet-elle une espérance ? une variance ?

12. On considère une suite de variables aléatoires réelles \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) à densité, à valeurs strictement positives, mutuellement indépendantes, dont chacune a pour densité \(f\).

    On définit, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), les variables aléatoires \(M_n=\max(X_1,\dots,X_n)\) et \(Z_n=\dfrac{n}{M_n}\).

    1. Déterminer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), la fonction de répartition \(F_{M_n}\) de \(M_n\).

    2. Justifier : \(\forall u\in \left] 0,{+\infty}\right[,\ \mathrm{Arctan}(u)+\mathrm{Arctan}\!\left(\dfrac{1}{u}\right) =\dfrac{\pi}{2}\)

       et : \(\mathrm{Arctan}(u) \;\underset{u\to 0}{\sim}\; u\).

    3. Montrer alors, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\) : \[\displaystyle\forall x\in \left] 0,{+\infty}\right[,\ \mathbb{P}(Z_n\leqslant x) = 1- \left( 1- \dfrac{2}{\pi}\,\mathrm{Arctan}\!\left( \dfrac{x}{n}\right)\right)^n.\]

    4. En déduire que la suite de variables aléatoires \((Z_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on reconnaîtra la loi.