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On considère la fonction \(f: \left] 0 , +\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\), par : \[f(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e} \ln(x)\] On admet les encadrements numériques suivants : \[2,7<\mathrm{e}<2,8 \qquad 7,3<\mathrm{e}^2<7,4 \qquad 0,6<\ln(2)<0,7\]
Montrer que \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\) et calculer, pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\), \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
Dresser le tableau de variations de \(f'\) avec la limite de \(f'\) en 0 et la limite de \(f'\) en \(+\infty\) et préciser \(f'(1)\).
Dresser le tableau de variations de \(f\) avec la limite de \(f\) en 0 et la limite de \(f\) en \(+\infty\) et préciser \(f(1)\).
Tracer la courbe représentative de \(f\).
Étudier les variations de la fonction \(u: \left] 0,+\infty \right[\rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto f'(x)-x\).
En déduire que l’équation \(f'(x)=x\), d’inconnue \(x\in \left]0 ,+\infty \right[\), admet une solution et une seule, notée \(\alpha\), et montrer : \(1<\alpha<2\).
On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par : \[u_0=2 \ \ \text{ et, pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}, \ \ u_{n+1}=f(u_n)\]
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n\) existe et \(u_n\geqslant 2\).
Étudier les variations, puis le signe, de la fonction \(g: \left[ 2,+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto f(x)-x\).
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est croissante.
Démontrer que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) admet \(+\infty\) pour limite.
Écrire un programme en Python qui,
étant donné un réel \(A\), renvoie un
entier naturel \(N\) tel que \(u_N\geqslant A\).
Démontrer : \(\forall x\in \left[ 2 , +\infty \right[, \ 2\ln(x)\leqslant x\leqslant \dfrac{\mathrm{e}^x}{3}\)
En déduire : \(\forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}\geqslant \dfrac{6-\mathrm{e}}{2} \, u_n\).
Déterminer la nature de la série de terme général \(\dfrac{1}{u_n}\).
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1f(x) \,\mathrm{d}x\) converge et calculer cette intégrale.
L’intégrale \(\displaystyle \int_1^{+\infty}f(x) \,\mathrm{d}x\) converge-t-elle?
Montrer que \(\displaystyle \int_2^{+\infty}\dfrac{1}{f(x)} \,\mathrm{d}x\) converge. On pourra utiliser le résultat de la question 9. (a).
On considère la fonction \(F: \left] 1 , +\infty \right[^2\rightarrow\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal C^2\) sur l’ouvert \(]1,+\infty[^2\), définie pour tout \((x,y)\) de \(]1,+\infty[^2\) par : \[F(x,y)=f(x)+f(y)-xy\]
Montrer que \(F\) admet un point critique et un seul et qu’il s’agit de \((\alpha,\alpha)\), le réel \(\alpha\) ayant été défini à la question 4 de la partie I.
Déterminer la matrice hessienne de \(F\) en \((\alpha, \alpha)\).
La fonction \(F\) admet-elle un extremum local en \((\alpha,\alpha)\)? Si oui, s’agit-il d’un maximum local ou s’agit-il d’un minimum local?
On note \(E=\mathbb{R}_2[x]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et \(\mathcal{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\).
Pour tout polynôme \(P\) de \(E\), on note indifféremment \(P\) ou \(P(X)\).
On note, pour tout polynôme \(P\) de \(E\) : \[a(P)=P-XP', \qquad b(P)=P-P', \qquad c(P)=2XP-(X^2-1)P'\]
Par exemple, \(a(X^2)=X^2-X(2X)=-X^2\). Enfin, on note \(f=b\circ a-a\circ b\).
Montrer que \(a\) est un endomorphisme de \(E\).
Montrer que la matrice de \(A\) de \(a\) dans la base \(\mathcal{B}\) de \(E\) est : \[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\]
Déterminer le rang de la matrice \(A\).
L’endomorphisme \(a\) est-il bijectif? Déterminer \(\mathrm{Ker}(a)\) et \(\mathrm{Im}(a)\).
On admet, pour la suite de l’exercice, que \(b\) et \(c\) sont des endomorphismes de \(E\) et on note \(B\) et \(C\) les matrices, dans la base \(\mathcal{B}\) de \(E\), de \(b\) et \(c\) respectivement.
Montrer que \(b\) est bijectif et que, pour tout \(Q\) de \(E\), on a : \(b^{-1}(Q)=Q+Q'+Q''\).
Montrer que \(B\) admet une unique valeur propre et la déterminer.
La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?
Montrer que : \[C=\begin{pmatrix} 0&1&0\\2&0&2\\0&1&0\end{pmatrix}\]
L’endomorphisme \(c\) est-il bijectif?
Déterminer une matrice \(R\), carrée d’ordre 3, inversible, dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, et une matrice \(D\), carrée d’ordre trois, diagonale, à coefficients diagonaux dans l’ordre croissant, telles que \(C=RDR^{-1}\).
En déduire une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(c\) est diagonale.
Montrer que : \(\forall P\in E, \ f(P)=P'\).
En déduire : \((BA-AB)^3=0\).
On considère une urne contenant initialement une boule bleue et deux boules rouges.
On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la façon suivante : on pioche une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne en ajoutant une boule de la même couleur que celle qui vient d’être obtenue.
Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^*\), on note \(B_k\) l’événement : « on obtient une boule bleue au \(k\)-ième tirage » et \(R_k\) l’événement : « on obtient une boule rouge au \(k\)-ième tirage ».
Recopier et compléter la fonction suivante afin qu’elle simule l’expérience étudiée et renvoie le nombre de boules rouges obtenues lors des \(n\) premiers tirages, l’entier \(n\) étant entré en argument.
On exécute le programme suivant :
On obtient 6.657. Comment interpréter ce
résultat?
On définit la variable aléatoire \(Y\) égale au rang d’apparition de la première boule bleue et la variable aléatoire \(Z\) égale au rang d’apparition de la première boule rouge.
Montrer : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \mathbb{P}( Y=n )=\frac{2}{(n+1)(n+2)}\).
La variable aléatoire \(Y\) admet-elle une espérance? une variance?
Déterminer la loi de \(Z\). La variable aléatoire \(Z\) admet-elle une espérance? une variance?
On définit, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(X_k\) égale à 1 si l’on obtient une boule rouge au \(k\)-ième tirage et égale à 0 sinon.
On définit, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(S_n\) égale au nombre de boules rouges obtenues au cours des \(n\) premiers tirages.
Donner, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), une relation entre \(S_n\) et certaines variables aléatoires \(X_k\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\).
Déterminer la loi de \(X_1\), son espérance et sa variance.
Déterminer la loi du couple \(\left(X_1, X_2\right)\).
En déduire la loi de \(X_2\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes?
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Calculer \(\mathbb{P}(R_1 \cap \cdots \cap R_k \cap B_{k+1} \cap \cdots \cap B_n)\).
Justifier que : \[\mathbb{P}(S_n=k )= \binom nk \mathbb{P}(R_1 \cap \cdots \cap R_k \cap B_{k+1} \cap \cdots \cap B_n)\] puis en déduire : \[\mathbb{P}( S_n=k )=\frac{2 \left( k+1 \right)}{(n+1)(n+2)}\]
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(S_n\) admet une espérance et : \(\displaystyle \mathbb{E}( S_n)=\frac{2 n}{3}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\).
Montrer : \(\displaystyle \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}_{\left[S_n=k\right]}(X_{n+1}=1)=\frac{k+2}{n+3}\).
En déduire : \(\displaystyle \mathbb{P}(X_{n+1}=1 )=\frac{\mathbb{E}(S_n)+2}{n+3}\).
Déterminer alors la loi de la variable aléatoire \(X_{n+1}\). Que remarque-t-on?
On s’intéresse dans cette partie à la proportion de boules rouges obtenues lors des \(n\) premiers tirages.
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*, \ T_n=\dfrac{S_n}{n}\).
Justifier, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \(\forall x<0, \ \mathbb{P}( T_n\leqslant x )=0\) et : \(\forall x>1, \ \mathbb{P}( T_n\leqslant x )=1\).
Soit \(x\in [0 ,1]\). Montrer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\): \(\mathbb{P}( T_n\leqslant x)=\dfrac{\left(\lfloor nx\rfloor+1\right)\left(\lfloor nx\rfloor+2\right)}{(n+1)(n+2)}\) où \(\lfloor . \rfloor\) désigne la fonction partie entière.
En déduire que la suite de variables aléatoires \((T_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire à densité, dont on précisera la fonction de répartition et une densité.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
