Connectez-vous pour consulter le corrigé.
On considère, dans cette partie, les matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) : \[A=\begin{pmatrix} 4 & 0 &0\\-5&9&0\\-5&5&4 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}.\]
Trouver, en fonction de \(I_3\) et de \(A,\) deux matrices \(P_1\) et \(P_2\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que : \[P_1+P_2=I_3 \quad\text{et}\quad 4P_1+9P_2=A.\]
Expliciter ensuite les coefficients de \(P_1\) et ceux de \(P_2.\)
Calculer les matrices \(P_1^2\), \(P_1P_2\), \(P_2P_1\) et \(P_2^2\).
En déduire : \(\forall k\in\mathbb{N}, \ A^k=4^kP_1+9^kP_2\).
Trouver au moins une matrice \(B\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), dont on explicitera les coefficients, telle que \(B^2=A.\)
Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?
Dans toute la suite du problème, \(E\) désigne un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 1 et \(f\) un endomorphisme de \(E.\)
On note \(e\) l’endomorphisme identité de \(E\) qui, à chaque élément de \(E,\) associe lui-même, et \(\widetilde{0}\) l’endomorphisme nul de \(E\) qui, à chaque élément de \(E\), associe l’élément nul de \(E\).
On suppose qu’il existe un entier \(m\) de \(\mathbb{N}^\ast\), des réels \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) deux à deux distincts et des endomorphismes \(p_1,\dots,p_m\) de \(E\) tous différents de \(\widetilde{0}\), tels que : \(\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,m} \right]\kern-0.15em\right], \; f^k=\displaystyle\sum_{i=1}^m\lambda_i^kp_i\).
Enfin on considère les polynômes : \[N=\prod_{\ell=1}^m(X-\lambda_\ell)\]
et pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[M_i=\prod_{\substack{ 1\leqslant \ell\leqslant m \\ \ell\neq i}}(X-\lambda_\ell) \quad\text{et}\quad L_i=\frac{1}{M_i(\lambda_i)} \, M_i.\]
On admet que, pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]\) : \((P\times Q)(f)=P(f)\circ Q(f)\).
Montrer, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_m[X]\) : \(P(f)=\displaystyle\sum_{i=1}^mP(\lambda_i) \, p_i\).
En déduire : \(N(f)=\widetilde{0}\).
Montrer que, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]^2,\) \(L_i(\lambda_j)\) est égal à 1 si \(i=j\) et égal à 0 si \(i\neq j.\)
En déduire, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(L_i(f)=p_i\).
Montrer : \(e=\displaystyle\sum_{i=1}^m p_i.\)
En déduire que \(E\) est la somme des \(m\) sous-espaces vectoriels \(\mathrm{Im}(p_1),\dots,\) \(\mathrm{Im}(p_m)\).
Soit \(i\) appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\).
Vérifier : \(N=M_i(\lambda_i)\, (X-\lambda_i)L_i\).
En déduire, en utilisant le résultat de la question 6 : \(\mathrm{Im}(p_i)\subset \mathrm{Ker}(f-\lambda_i\,e)\).
Déduire des questions précédentes que \(f\) est diagonalisable, que les valeurs propres de \(f\) sont les réels \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) et que, pour \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\), le sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_i\) est \(\mathrm{Im}(p_i)\).
Montrer, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i\neq j\) : \(p_i\circ p_j=\widetilde{0}\).
En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a, pour \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(p_i\circ p_i=p_i\).
Établir, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(p_i\circ f=\lambda_i \, p_i.\)
Montrer : \(\forall k\in\mathbb{N}, \ f^k=\displaystyle\sum_{i=1}^m\lambda_i^k\,p_i\), puis, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[X]\) : \(P(f)=\displaystyle\sum_{i=1}^mP(\lambda_i) \, p_i.\)
On munit le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) d’un produit scalaire \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
On considère l’application \(\varphi\) de \(E\times E\) dans \(\mathbb{R}\) définie, pour tout \((x,y)\in E\times E,\) par : \[\varphi(x,y)=\sum_{i=1}^m \left \langle p_i(x), p_i(y) \right \rangle.\]
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).
On remarquera qu’ainsi \(E\) est muni de deux produits scalaires, \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) et \(\varphi\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) pour le produit scalaire \(\varphi\). Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul ?
Démontrer que, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\), \(p_i\) est le projecteur orthogonal sur \(\mathrm{Im}(p_i)\) pour le produit scalaire \(\varphi\).
On s’intéresse dans cette partie, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), à la série \(\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}^\ast}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\).
Justifier que, pour tout \(x\in\mathbb{R}^-\), la série \(\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}^\ast}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\) diverge.
Soit \(x\in\mathbb{R}^{+\ast}\). On note, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k^x}\).
Montrer que les suites \((u_{2p})_{p\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((u_{2p-1})_{p\in\mathbb{N}^\ast}\) sont adjacentes, puis en déduire qu’elles convergent vers une même limite notée \(S(x)\).
En déduire : \(\forall \varepsilon >0,\ \exists \, n_0\in\mathbb{N}^\ast \ / \ \forall n\geqslant n_0,\ \left| u_n-S(x) \right| \leqslant \varepsilon\).
Justifier alors que la série \(\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}^\ast}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\) converge et que l’on a : \[S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}.\]
Justifier : \(\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ u_{2p}\leqslant S(x)\leqslant u_{2p+1}\leqslant u_{2p-1}\).
En déduire : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \left| S(x)-u_n \right| \leqslant \displaystyle\frac{1}{(n+1)^x}\).
On pourra séparer les cas \(n\) pair et \(n\) impair.
En déduire une fonction Python qui,
étant donnés deux réels \(x>0\) et
\(\varepsilon>0\), renvoie une
valeur approchée de \(S(x)\) à \(\varepsilon\) près.
Soient \(x\in\mathbb{R}^{+\ast}\) et \(p\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer : \[\sum_{k=1}^{2p}\frac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{(2k-1)^x}-\frac{1}{2^x}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k^x}\] puis : \[\sum_{k=1}^{2p}\frac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum_{k=1}^{2p}\frac{1}{k^x}-\frac{1}{2^{x-1}}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k^x}.\]
On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast, \ v_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^*.\) Montrer, en utilisant la question 3 : \[v_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}.\]
En déduire la convergence et la limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\), puis la valeur de \(S(1).\)
On admet que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\). Déterminer la valeur de \(S(2)\).
On rappelle que la fonction \(\Gamma\) est définie sur \(]0\, ;\, +\infty[\) par : \[\forall x\in\left] 0 \, ; \, +\infty \right[,\ \Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1} \mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t.\]
On rappelle également l’égalité suivante : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \Gamma(n)=(n-1)!\).
Soit \(x\in\mathbb{R}\). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{1+\mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(x>-1\).
On pose, pour tout réel \(x\) de \(\displaystyle]-1\, ; \, +\infty[,\ I(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{1+ \mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}t\).
Soit \(x\in \left] -1 \, ; \, +\infty \right[\). On définit la fonction \(g_x: \left] 0\, ; \, +\infty \right[ \to \mathbb{R}, \ t\mapsto \displaystyle\frac{t^x}{1+ \mathrm{e}^t}\).
Montrer : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall t\in\mathbb{R}^{+\ast},\ g_x(t)=(-1)^ng_x(t) \,\mathrm{e}^{-nt}+\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} \, t^x \,\mathrm{e}^{-kt}\).
Justifier, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^x \, \mathrm{e}^{-kt} \,\mathrm{d}t\) converge et que l’on a : \[\int_0^{+\infty} t^x \, \mathrm{e}^{-kt} \,\mathrm{d}t=\frac{1}{k^{x+1}}\, \Gamma(x+1).\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} g_{x}(t) \,\mathrm{e}^{-nt} \,\mathrm{d}t\) converge, puis que la limite de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} g_{x}(t) \,\mathrm{e}^{-nt} \,\mathrm{d}t\), lorsque l’entier \(n\) tend vers \(+\infty\), est égale à 0.
En déduire la relation : \(I(x)=S(x+1)\, \Gamma(x+1)\), où la fonction \(S\) a été définie dans la partie I.
En utilisant la partie I, déterminer la valeur de \(I(1).\)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\forall t\in\mathbb{R},\ f(t)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^t}{(1+ \mathrm{e}^t)^2}\).
Vérifier que la fonction \(f\) est paire.
Montrer que \(f\) est une densité d’une variable aléatoire réelle.
On considère une variable aléatoire réelle \(X\) à densité, de densité \(f\).
Déterminer la fonction de répartition de \(X.\)
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^nf(t) \,\mathrm{d}t\) converge.
En déduire que \(X^n\) admet une espérance, que l’on note \(m_n(X)\).
Justifier que : \(\forall p\in\mathbb{N}, \ m_{2p+1}(X)=0\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast, \ m_{2p}(X)=4p\, I(2p-1).\]
En déduire l’existence et la valeur de l’espérance et de la variance de \(X.\)
On considère une suite de variables aléatoires réelles \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) mutuellement indépendantes et de même densité \(f\).
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\) : \(Y_n=\max(X_1,\dots,X_n)\) et \(Z_n=Y_n-\ln(n)\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), déterminer la fonction de répartition de \(Y_n\) puis la fonction de répartition de \(Z_n\).
En déduire que la suite \((Z_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera une densité .
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
