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On considère, dans cette partie, les matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) : \[A=\begin{pmatrix} 4 & 0 &0\\-5&9&0\\-5&5&4 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}.\]
Trouver, en fonction de \(I_3\) et de \(A,\) deux matrices \(P_1\) et \(P_2\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que : \[P_1+P_2=I_3 \quad\text{et}\quad 4P_1+9P_2=A.\]
Expliciter ensuite les coefficients de \(P_1\) et ceux de \(P_2.\)
Calculer les matrices \(P_1^2\), \(P_1P_2\), \(P_2P_1\) et \(P_2^2\).
En déduire : \(\forall k\in\mathbb{N}, \ A^k=4^kP_1+9^kP_2\).
Trouver au moins une matrice \(B\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), dont on explicitera les coefficients, telle que \(B^2=A.\)
Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?
Dans toute la suite du problème, \(E\) désigne un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 1 et \(f\) un endomorphisme de \(E.\)
On note \(e\) l’endomorphisme identité de \(E\) qui, à chaque élément de \(E,\) associe lui-même, et \(\widetilde{0}\) l’endomorphisme nul de \(E\) qui, à chaque élément de \(E\), associe l’élément nul de \(E\).
On suppose qu’il existe un entier \(m\) de \(\mathbb{N}^\ast\), des réels \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) deux à deux distincts et des endomorphismes \(p_1,\dots,p_m\) de \(E\) tous différents de \(\widetilde{0}\), tels que : \(\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,m} \right]\kern-0.15em\right], \; f^k=\displaystyle \sum_{i=1}^m\lambda_i^kp_i\).
Enfin on considère les polynômes : \[N=\prod_{\ell=1}^m(X-\lambda_\ell)\]
et pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[M_i=\prod_{\substack{ 1\leqslant \ell\leqslant m \\ \ell\neq i}}(X-\lambda_\ell) \quad\text{et}\quad L_i=\frac{1}{M_i(\lambda_i)} \, M_i.\]
On admet que, pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]\) : \((P\times Q)(f)=P(f)\circ Q(f)\).
Montrer, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_m[X]\) : \(P(f)=\displaystyle \sum_{i=1}^mP(\lambda_i) \, p_i\).
En déduire : \(N(f)=\widetilde{0}\).
Montrer que, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]^2,\) \(L_i(\lambda_j)\) est égal à 1 si \(i=j\) et égal à 0 si \(i\neq j.\)
En déduire, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(L_i(f)=p_i\).
Montrer : \(e=\displaystyle \sum_{i=1}^m p_i.\)
En déduire que \(E\) est la somme des \(m\) sous-espaces vectoriels \(\mathrm{Im}(p_1),\dots,\) \(\mathrm{Im}(p_m)\).
Soit \(i\) appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\).
Vérifier : \(N=M_i(\lambda_i)\, (X-\lambda_i)L_i\).
En déduire, en utilisant le résultat de la question 6 : \(\mathrm{Im}(p_i)\subset \mathrm{Ker}(f-\lambda_i\,e)\).
Déduire des questions précédentes que \(f\) est diagonalisable, que les valeurs propres de \(f\) sont les réels \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) et que, pour \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\), le sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_i\) est \(\mathrm{Im}(p_i)\).
Montrer, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i\neq j\) : \(p_i\circ p_j=\widetilde{0}\).
En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a, pour \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(p_i\circ p_i=p_i\).
Établir, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(p_i\circ f=\lambda_i \, p_i.\)
Montrer : \(\forall k\in\mathbb{N}, \ f^k=\displaystyle\sum_{i=1}^m\lambda_i^k\,p_i\), puis, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[X]\) : \(P(f)=\displaystyle\sum_{i=1}^mP(\lambda_i) \, p_i.\)
On munit le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) d’un produit scalaire \(\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle\).
On considère l’application \(\varphi\) de \(E\times E\) dans \(\mathbb{R}\) définie, pour tout \((x,y)\in E\times E,\) par : \[\varphi(x,y)=\sum_{i=1}^m \left \langle p_i(x), p_i(y) \right \rangle.\]
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).
On remarquera qu’ainsi \(E\) est muni de deux produits scalaires, \(\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle\) et \(\varphi\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) pour le produit scalaire \(\varphi\). Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul ?
Démontrer que, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\), \(p_i\) est le projecteur orthogonal sur \(\mathrm{Im}(p_i)\) pour le produit scalaire \(\varphi\).
On s’intéresse dans cette partie, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), à la série \(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}^\ast}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\).
Justifier que, pour tout \(x\in\mathbb{R}^-\), la série \(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}^\ast}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\) diverge.
Soit \(x\in\mathbb{R}^{+\ast}\). On note, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k^x}\).
Montrer que les suites \((u_{2p})_{p\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((u_{2p-1})_{p\in\mathbb{N}^\ast}\) sont adjacentes, puis en déduire qu’elles convergent vers une même limite notée \(S(x)\).
En déduire : \(\forall \varepsilon >0,\ \exists \, n_0\in\mathbb{N}^\ast \ / \ \forall n\geqslant n_0,\ \left| u_n-S(x) \right| \leqslant \varepsilon\).
Justifier alors que la série \(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}^\ast}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\) converge et que l’on a : \[S(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}.\]
Justifier : \(\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ u_{2p}\leqslant S(x)\leqslant u_{2p+1}\leqslant u_{2p-1}\).
En déduire : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \left| S(x)-u_n \right| \leqslant \displaystyle \frac{1}{(n+1)^x}\).
On pourra séparer les cas \(n\) pair et \(n\) impair.
En déduire une fonction Python qui,
étant donnés deux réels \(x>0\) et
\(\varepsilon>0\), renvoie une
valeur approchée de \(S(x)\) à \(\varepsilon\) près.
Soient \(x\in\mathbb{R}^{+\ast}\) et \(p\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer : \[\sum_{k=1}^{2p}\frac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{(2k-1)^x}-\frac{1}{2^x}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k^x}\] puis : \[\sum_{k=1}^{2p}\frac{(-1)^{k+1}}{k^x}=\sum_{k=1}^{2p}\frac{1}{k^x}-\frac{1}{2^{x-1}}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k^x}.\]
On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast, \ v_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^*.\) Montrer, en utilisant la question 3 : \[v_n=\displaystyle \sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}.\]
En déduire la convergence et la limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\), puis la valeur de \(S(1).\)
On admet que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\). Déterminer la valeur de \(S(2)\).
On rappelle que la fonction \(\Gamma\) est définie sur \(]0\, ;\, +\infty[\) par : \[\forall x\in\left] 0 \, ; \, +\infty \right[,\ \Gamma(x)=\displaystyle \int_0^{+\infty}t^{x-1} \mathrm{e}^{-t}\, \mathrm{d}t.\]
On rappelle également l’égalité suivante : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \Gamma(n)=(n-1)!\).
Soit \(x\in\mathbb{R}\). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t^x}{1+\mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(x>-1\).
On pose, pour tout réel \(x\) de \(\displaystyle ]-1\, ; \, +\infty[,\ I(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{1+ \mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}t\).
Soit \(x\in \left] -1 \, ; \, +\infty \right[\). On définit la fonction \(g_x: \left] 0\, ; \, +\infty \right[ \to \mathbb{R}, \ t\mapsto \displaystyle \frac{t^x}{1+ \mathrm{e}^t}\).
Montrer : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall t\in\mathbb{R}^{+\ast},\ g_x(t)=(-1)^ng_x(t) \,\mathrm{e}^{-nt}+\displaystyle \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} \, t^x \,\mathrm{e}^{-kt}\).
Justifier, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} t^x \, \mathrm{e}^{-kt} \,\mathrm{d}t\) converge et que l’on a : \[\int_0^{+\infty} t^x \, \mathrm{e}^{-kt} \,\mathrm{d}t =\frac{1}{k^{x+1}}\, \Gamma(x+1).\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} g_{x}(t) \,\mathrm{e}^{-nt} \,\mathrm{d}t\) converge, puis que la limite de \(\displaystyle \int_0^{+\infty} g_{x}(t) \,\mathrm{e}^{-nt} \,\mathrm{d}t\), lorsque l’entier \(n\) tend vers \(+\infty\), est égale à 0.
En déduire la relation : \(I(x)=S(x+1)\, \Gamma(x+1)\), où la fonction \(S\) a été définie dans la partie I.
En utilisant la partie I, déterminer la valeur de \(I(1).\)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\forall t\in\mathbb{R},\ f(t)=\displaystyle \frac{\mathrm{e}^t}{(1+ \mathrm{e}^t)^2}\).
Vérifier que la fonction \(f\) est paire.
Montrer que \(f\) est une densité d’une variable aléatoire réelle.
On considère une variable aléatoire réelle \(X\) à densité, de densité \(f\).
Déterminer la fonction de répartition de \(X.\)
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}t^nf(t) \,\mathrm{d}t\) converge.
En déduire que \(X^n\) admet une espérance, que l’on note \(m_n(X)\).
Justifier que : \(\forall p\in\mathbb{N}, \ m_{2p+1}(X)=0\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast, \ m_{2p}(X)=4p\, I(2p-1).\]
En déduire l’existence et la valeur de l’espérance et de la variance de \(X.\)
On considère une suite de variables aléatoires réelles \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) mutuellement indépendantes et de même densité \(f\).
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\) : \(Y_n=\max(X_1,\dots,X_n)\) et \(Z_n=Y_n-\ln(n)\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), déterminer la fonction de répartition de \(Y_n\) puis la fonction de répartition de \(Z_n\).
En déduire que la suite \((Z_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera une densité .
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
