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On note \(I\) et \(A\) les matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) définies par : \[I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\] et \(\mathcal E\) l’ensemble des matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) défini par : \[\mathcal E=\left\{\begin{pmatrix}a+c&b&c\\b&a+2c&b\\c&b&a+c\end{pmatrix} ,\ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \right\}\]
Calculer \(A^2\).
Montrer que la famille \((I,A,A^2)\) est libre.
Justifier, sans calcul, que \(A\) est diagonalisable.
Déterminer une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) inversible dont tous les coefficients de la première ligne sont égaux à 1 et une matrice \(D\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant telles que : \(A=PDP^{-1}\).
Montrer : \(A^3=2A\).
Montrer que \(\mathcal E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et que la famille \((I,A,A^2)\) est une base de \(\mathcal E\). En déduire la dimension de \(\mathcal E\).
Montrer que, pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal E\), la matrice \(AM\) appartient à \(\mathcal E\).
On note \(f\) l’application de \(\mathcal E\) dans \(\mathcal E\) qui, à toute matrice \(M\) de \(\mathcal E\), associe \(AM\).
Vérifier que \(f\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\mathcal E\).
Former la matrice \(F\) de \(f\) dans la base \((I,A,A^2)\) de \(\mathcal E\).
Montrer : \(f\circ f\circ f=2f\).
L’endomorphisme \(f\) est-il bijectif?
Déterminer une base de \(\textrm{Im}(f)\) et une base de \(\textrm{Ker}(f)\).
Résoudre l’équation \(f(M)=I+A^2\), d’inconnue \(M\in \mathcal E\).
Résoudre l’équation \(f(N)=A+A^2\), d’inconnue \(N\in \mathcal E\).
On considère l’application \(f: \left[ 0,+\infty \right[ \rightarrow\mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\) de \([0,+\infty[\), par : \[f(t)=\begin{cases} t^2-t\ln(t)&\text{si $t\neq 0$}\\ \hfill 0 \hfill &\text{si $t=0$}\end{cases}\] On admet : \(0{,}69<\ln(2)<0{,}70\).
Montrer que \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal C^2\) sur \(]0,+\infty[\) et calculer, pour tout \(t\) de \(]0,+\infty[\), \(f'(t)\) et \(f''(t)\).
Dresser le tableau des variations de \(f\). On précisera la limite de \(f\) en \(+\infty\).
On note \(C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\).
Montrer que \(C\) admet une tangente en \(O\) et préciser celle-ci.
Montrer que \(C\) admet un point d’inflexion et un seul, noté \(I\), et préciser les coordonnées de \(I\).
Tracer l’allure de \(C\).
Montrer que l’équation \(f(t)=1\), d’inconnue \(t\in[0,+\infty[\), admet une solution et une seule et que celle-ci est égale à \(1\).
On considère l’application \(F: \left] 0,+\infty \right[^2\rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C^2\), définie, pour tout \((x,y)\) de \(]0,+\infty[^2\) , par : \[F(x,y)=x\ln(y)-y\ln(x)\]
Calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout \((x,y)\) de \(]0,+\infty[^2\).
Soit \((x,y)\in \left] 0,+\infty \right[ ^2\). Montrer que \((x,y)\) est un point critique de \(F\) si et seulement si : \[x>1,\quad y=\dfrac{x}{\ln(x)}\quad \text{et}\quad f\left(\ln(x)\right)=1\]
Établir que \(F\) admet un point critique et un seul et qu’il s’agit de \((\mathrm{e}, \mathrm{e})\).
La fonction \(F\) admet-elle un extremum local en \((\mathrm{e}, \mathrm{e})\)?
On considère la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(u_0=\dfrac{1}{2}\) et : \(\forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=f(u_n)\).
Montrer : \(\forall n\in \mathbb{N}, \ u_n\in \left[\dfrac{1}{2},1\right]\).
Montrer que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est croissante.
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite (on pourra étudier les variations de la fonction \(t\mapsto t-\ln(t)\)).
Écrire un programme en Python qui
calcule et affiche un entier naturel \(N\) tel que \(1-u_N<10^{-4}\).
On considère l’application \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}\), par : \(f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{-t}}{(1+ \mathrm{e}^{-t})^2}\).
Vérifier que la fonction \(f\) est paire.
Montrer que \(f\) est une densité d’une variable aléatoire réelle.
Dans toute la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoire réelle \(X\) à densité, de densité \(f\).
Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}tf(t)\,\mathrm{d}t\) converge.
En utilisant l’imparité de la fonction \(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), \(t\mapsto tf(t)\), montrer que \(X\) admet une espérance et que l’on a : \(\mathbb{E}(X)=0\).
On considère l’application \(\varphi: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), par : \(\varphi(x)=\ln(1+ \mathrm{e}^x)\).
Montrer que \(\varphi\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(I\) à préciser.
Exprimer, pour tout \(y\) de \(I\), \(\varphi^{-1}(y)\).
On considère la variable aléatoire réelle \(Y\) définie par : \(Y=\varphi(X)\).
Justifier : \(\mathbb{P}(Y\leqslant 0)=0\).
Déterminer la fonction de répartition de \(Y\).
Reconnaître alors la loi de \(Y\) et donner, sans calcul, son espérance et sa variance.
On considère une suite de variables aléatoires réelles \((X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\), mutuellement indépendantes, de même densité \(f\), où \(f\) a été définie dans la Partie I.
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \(T_n=\max(X_1,\ldots,X_n)\) et \(U_n=T_n-\ln(n)\).
Déterminer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la fonction de répartition de \(T_n\).
En déduire : \(\forall n\in \mathbb{N}^*, \ \forall x\in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(U_n\leqslant x)=\left(1+\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{n}\right)^{-n}\).
En déduire que la suite de variables aléatoires \((U_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera la fonction de répartition et une densité.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
