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Dans tout le problème, on confond polynôme et application polynômiale de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On note, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{R}_k[x]\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[x]\) formé des polynômes de degré inférieur ou égal à \(k\).
On définit l’ensemble \[E=\left\lbrace P \in \mathbb{R}_4[x] \, ; \ P(0)=P(4)=0 \right\rbrace\]
et le polynôme \(W\) tel que : \(\forall x \in\mathbb{R},\ W(x)=x\left( x-4\right)\).
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_4[x]\).
Pour tout polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}_2[x]\), on note \(\phi(Q)=WQ\).
Montrer que l’application \(\phi : Q \mapsto WQ\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}_2[x]\) sur \(E\).
En déduire une base de \(E\) et la dimension de \(E\).
Pour tout polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}_2[x]\), on considère le polynôme \(\Delta(Q)\) défini par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Delta(Q)(x)= Q(x+1) - Q(x)\]
Ainsi, par exemple, si \(Q : x \mapsto x^2-3x+5\), alors : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Delta(Q)(x) = \left( (x+1)^2 - 3\left( x+1 \right) + 5 \right) - \left( x^2-3x+5\right) = 2x-2\]
Montrer que l’application \(\Delta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[x]\).
Déterminer, pour tout polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}_2[x]\), le degré de \(\Delta(Q)\) en fonction du degré de \(Q\).
Déterminer le noyau et l’image de \(\Delta\).
Établir : \(\Delta\circ \Delta \circ \Delta=0\).
On définit l’endomorphisme \(f\) de \(E\) suivant : \(f=\phi \circ \Delta \circ \phi^{-1}\), où \(\phi^{-1}\) désigne l’application réciproque de l’application \(\phi\).
Montrer : \(f\circ f \circ f = 0\).
Déterminer une base du noyau de \(f\) et une base de l’image de \(f\).
Démontrer que \(f\) admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci. Donner une base et la dimension du sous-espace propre pour \(f\) associé à cette valeur propre.
Est-ce que \(f\) est diagonalisable ?
On considère l’application \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) de \(\mathbb{R}_4[x] \times \mathbb{R}_4[x]\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall (P_1,P_2)\in \mathbb{R}_4[x] \times \mathbb{R}_4[x],\ \left \langle P_1, P_2 \right \rangle = \sum_{k=0}^4 P_1(k)\,P_2(k)\]
Montrer que \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_4[x]\).
On munit dorénavant \(\mathbb{R}_4[x]\) de ce produit scalaire \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) et de la norme associée que l’on note \(\left\| \cdot \right\|\).
On considère les trois polynômes \(L_1,L_2\) et \(L_3\) tels que : \[L_1(x)= (x-2)(x-3),\quad L_2(x)=(x-1)(x-3) \quad\text{et}\quad L_3(x)=(x-1)(x-2)\]
Montrer que la famille \((L_1,L_2,L_3)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[x]\).
Exprimer, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_2[x]\), les coordonnées de \(P\) dans la base \((L_1,L_2,L_3)\) en fonction de \(P(1),P(2),P(3)\).
Exprimer \(\Delta(L_1),\Delta(L_2),\Delta(L_3)\) sur la base \((L_1,L_2,L_3)\) de \(\mathbb{R}_2[x]\) et en déduire que la matrice de l’endomorphisme \(\Delta\) dans la base \((L_1,L_2,L_3)\) de \(\mathbb{R}_2[x]\) est \(\begin{pmatrix} -1 & -1/2 & 0\\ 0 & -1 &-2\\ 1 & 3/2 & 2 \end{pmatrix}\).
On note, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}\), \(M_i=WL_i\).
Montrer que, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}\), \(M_i(i)\) est non nul.
On note alors, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}\), \(N_i=\dfrac{1}{M_i(i)}\,M_i\).
Montrer que \((N_1,N_2,N_3)\) est une base orthonormée du sous-espace vectoriel \(E\) de \(\mathbb{R}_4[x]\).
Déterminer la matrice de l’application linéaire \(\phi\) dans les bases \((L_1,L_2,L_3)\) de \(\mathbb{R}_2[x]\) et \((N_1,N_2,N_3)\) de \(E\).
Déterminer la matrice de l’endomorphisme \(f\) dans la base \((N_1,N_2,N_3)\) de \(E\).
On note, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_4[x]\) : \(u(P)=\displaystyle\sum_{i=1}^3 P(i)\,N_i\).
Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_4[x]\).
Montrer : \(\forall P\in\mathbb{R}_4[x],\ \forall j\in\{1,2,3\},\ \left \langle P-u(P), N_j \right \rangle=0\).
En déduire que \(u\) est la projection orthogonale sur \(E\).
Déterminer le projeté orthogonal du polynôme \(Q\) tel que \(Q(x)=x^2(x-2)(x-3)\) sur \(E\).
Dans tout le problème, on note \(E\) l’ensemble des fonctions \(u:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) continues sur \(\mathbb{R}^+\) vérifiant : \[\text{il existe } p\in\mathbb{N}\text{ tel que : } \lim_{t\to {+\infty}} \frac{u(t)}{t^p} =0\]
On remarquera que l’entier \(p\) dépend a priori de la fonction \(u\) considérée.
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel du \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions définies sur \(\mathbb{R}^+\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(u\) un élément de \(E\).
Montrer, pour tout \(x\in \left] 0\, ; \, {+\infty}\right[\) : \(\displaystyle\lim_{t\to {+\infty}} t^2 u(t)\, \mathrm{e}^{-xt} =0\).
En déduire que, pour tout \(x\in \left] 0\, ; \,{+\infty}\right[\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}u(t)\,\mathrm{e}^{-xt}\,\mathrm{d}t\) est convergente.
Dans toute la suite du problème, pour tout élément \(u\) de \(E\), on définit la fonction \(L(u)\) sur \(]0 \, ; \, {+\infty}[\) par : \[\forall x\in\left]0 \, ; \, {+\infty}\right[,\ L(u)(x)= \int_0^{+\infty}u(t)\,\mathrm{e}^{-xt}\,\mathrm{d}t\]
Montrer, pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\) et pour tout \((u,v)\in E^2\) : \(L(\alpha u +v) = \alpha L(u)+L(v)\).
Soit \(a\in\mathbb{R}^{+\ast}\) fixé. On considère, pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), la fonction \(v_i:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall t\in\mathbb{R}^+,\ v_i(t) = t^i \, \mathrm{e}^{-at}\]
Pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), montrer que la fonction \(v_i\) appartient à \(E\) et, en utilisant par exemple des résultats sur la loi exponentielle, calculer, pour tout \(x\in\left]0\,;\,{+\infty}\right[\), \(L(v_i)(x)\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\) fixé. On considère la fonction \(w_n:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall t\in\mathbb{R}^+,\ w_n(t)=t^n\]
Montrer que la fonction \(w_n\) appartient à \(E\) et montrer : \[\forall x\in\left]0\,;\,{+\infty}\right[,\ L(w_n)(x)=\dfrac{n!}{x^{n+1}}\]
Limite de \(L(u)\) en \({+\infty}\)
Soit \(u\) un élément de \(E\). Justifier qu’il existe \(p\in\mathbb{N}\) et \(A,M\in\mathbb{R}^+\) tels que : \[\forall t\in \left[A \, ; \, {+\infty}\right[,\ \left| u(t) \right| \leqslant t^p \quad\text{et}\quad\forall t\in \left[ 0\,;\,A\right],\ \left| u(t) \right| \leqslant M\]
Établir : \(\forall t\in\mathbb{R}^+,\ \left| u(t) \right| \leqslant M+t^p\). En déduire : \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} L(u)(x)=0\).
Limite de \(L(u)\) en \(0\)
Soit \(u\) un élément de \(E\) tel que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}u(s)\,\mathrm{d}s\) converge.
On note, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}^+\), \(R(t) = \displaystyle\int_t^{+\infty}u(s)\,\mathrm{d}s\).
Déterminer la limite en \({+\infty}\) de \(R\). Montrer que \(R\) appartient à \(E\).
Montrer que \(R\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^+\) et : \(\forall t\in\mathbb{R}^+,\ R'(t)=-u(t)\).
En déduire : \(\forall x\in\left] 0\, ; \, {+\infty}\right[,\ L(u)(x) = R(0) - xL(R)(x)\).
Soit \(\varepsilon\in \left] 0\, ; \, {+\infty}\right[\). Justifier qu’il existe \(B\in\left[ 0\, ; \, {+\infty}\right[\) tel que : \[\forall t\in\left[ B\, ; \, {+\infty}\right[,\ \left| R(t) \right| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2}\]
En déduire : \(\displaystyle\forall x\in\left] 0 \, ;\, {+\infty}\right[,\ \left| L(u)(x) - R(0) \right| \leqslant x\int_0^B \left| R(t) \right| \mathrm{d}t+ \frac{\varepsilon}{2}\).
Conclure : \(\displaystyle\lim_{x\to 0} L(u)(x) = \int_0^{+\infty}u(t)\,\mathrm{d}t\).
Transformée de Laplace d’une dérivée
Soit \(u:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^+\) telle que \(u'\in E\).
Montrer qu’il existe \(p\in\mathbb{N}\) et \(A\in \left[ 0\,;\, {+\infty}\right[\) tel que : \[\forall t\in\left[A\,;\, {+\infty}\right[,\ \left| u(t) \right| \leqslant \left| u(A) \right| + \dfrac{t^{p+1}}{p+1}\]
En déduire que \(u\) appartient à \(E\).
Établir : \(\forall x\in\left]0 \,;\, {+\infty}\right[,\ L(u')(x)=-u(0)+xL(u)(x)\).
Dérivée puis dérivée d’une transformée de Laplace
Soit \(u\) un élément de \(E\). On considère, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(u_n:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall t\in\mathbb{R}^+,\ u_n(t)=t^n\, u(t)\]
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(u_n\) appartient à \(E\).
Montrer : \(\forall a\in\mathbb{R},\ \left| \mathrm{e}^a - 1 - a \right| \leqslant \dfrac{a^2}{2}\,\mathrm{e}^{\left| a \right|}\).
Soient \(x\in \left] 0\,;\, {+\infty}\right[\) et \(h\in\mathbb{R}^\ast\) tel que \(\left| h \right| \leqslant \dfrac{x}{2}\).
Montrer : \(\forall t\in \left[ 0\, ;\, {+\infty}\right[,\ \left| \dfrac{\mathrm{e}^{-(x+h)t } - \mathrm{e}^{-xt}}{h} + t\,\mathrm{e}^{-xt} \right| \leqslant \left| h \right| \dfrac{t^2}{2}\,\mathrm{e}^{-xt/2}\).
En déduire : \[\left| \dfrac{L(u)(x+h) - L(u)(x)}{h} + L(u_1)(x) \right| \leqslant \frac{\left| h \right| }{2} \int_0^{+\infty}t^2 \left| u(t) \right| \mathrm{e}^{-xt/2}\, \mathrm{d}t\]
Montrer que \(L(u)\) est dérivable sur \(\left] 0\,;\, {+\infty}\right[\) et exprimer \(\left( L(u) \right)'\) à l’aide de \(L(u_1)\).
Montrer que \(L(u)\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]0\, ; \, {+\infty}[\) et exprimer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), \(\left( L(u) \right)^{(n)}\) à l’aide de \(L(u_n)\).
Dans cette partie, on cherche à déterminer une fonction \(u:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^+\) vérifiant : \[\forall t\in\mathbb{R}^+,\ u''(t) + 5u'(t) + 6u(t) = \mathrm{e}^{-t} \quad\text{et}\quad u(0)=1 \quad\text{et}\quad u'(0)=-2\]
On suppose qu’il existe une fonction \(u:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^+\), solution du problème et telle que \(u''\in E\).
Montrer que \(u\) appartient à \(E\) et : \[\forall x\in \left] 0\,;\, {+\infty}\right[,\ L(u'')(x)=-xu(0)-u'(0)+x^2L(u)(x)\]
En déduire : \[\forall x\in \left] 0\,;\, {+\infty}\right[,\ \left( x^2+5x+6\right) L(u)(x) = \frac{1}{x+1} + 3+x\] puis : \(\forall x\in \left] 0\,;\, {+\infty}\right[,\ L(u)(x)=\dfrac{1}{2}\, \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{2}\, \dfrac{1}{x+3}\).
En déduire une fonction \(u:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}\) solution du problème posé.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
